F (x) = p1 + p2 + … + pm, m = 1, 2, …и така F (x) има скокове в точките x1, x2, … с височина съответно p1, p2, ….
Нека x е дискретна случайна величина, която приема стойности
x1, x2, …. Да означим pi = P (x = xi), i = 1, 2, …, pi ³ 0 и = 1.
Функционалът Ex = наричаме математическо очакване на дискретната случайна величина x. Естествено, възможно е редът да не е сходящ и тогава x няма математическо очакване. Функционалът Dx = E(x - Ex)2 наричаме дисперсия на дискретната случайна величина x. Естествено, не всички дискретни случайни величини имат дисперсии.
Свойства на математическото очакване и дисперсията:
-
EC = C. (запазване на константите)
-
Е(a.x + b.h) = a.Еx + b.Еh. (линейност)
-
Aко x £ h, то Ex £ Еh. (монотонност)
-
Ако x ^ h, то Ex.h = Ex.Еh. По-общо, ако x1, x2, …, xn са независими в съвкупност, то Ex1.x2. ….xn = Ex1.Ex2.….Exn.
-
Dx ³ 0.
-
Dx = Ex2 - (Ex)2.
-
Dax = a2Dx.
-
D(x + C) = Dx.
-
Ако x ^ h, то D(x+h) = Dx + Dh. По-общо, ако x1, x2, …, xn са независими в съвкупност, то
D(x1 + x2 + …+ xn) = Dx1 + Dx2 + … + Dxn.
Една случайна величина x наричаме целочислена, ако тя приема за стойности естествени числа, т.е. елементи на = { 0, 1, 2, …}. Естествено, всяка целочислена случайна величина е дискретна.
Нека n е произволно естествено число, n 1. Разглеждаме целочислена случайна величина x с област от стойности множеството { 1, 2, …, n }, като x приема всяка от тези стойности с равна вероятност. Така в случая, xi = i, pi = , i = 1, 2, …, n.
За математическото очакване на x имаме
Ex = .
За дисперсията на x имаме
Dx = Ex2 - (Ex)2 =
.
В случая казваме, че случайната величина x има равномерно разпределение.
Пример за задача, в която възниква равномерно разпределение при n = 6 е задачата за хвърляне на правилен зар. Величината “числото, което се е паднало” е равномерно разпределена –
тя приема стойностите 1, 2, 3, 4, 5, 6 с една и съща вероятност .
Нека p е реално число, 0 p 1, q = 1 – p.
Разглеждаме безкрайна последователност x1, x2, …, xn, … от случайни величини, като всеки краен брой от тях са независими в съвкупност и всяка от които приема две стойности 1 и 0 с вероятности съответно p и q. Такава последователност наричаме схема на Бернули. Всяка от тези случайни величини представя някакъв опит, като случайната величина приема стойност 1, ако опитът е успешен и стойност 0, ако опитът е неуспешен. Вероятността за успех при всеки от опитите е p, а за неуспех е q. Освен това, опитите са независими, т.е. резултатът от кой да е опит не влияе на резултата от останалите опити.
Нека сега n е естествено число, n 1.
Разглеждаме случайната величина hn = x1 + x2 + … + xn.
Ясно е, че hn е целочислена случайна величина, която приема стойности от 0 до n. Интерпретацията на hn е следната: броят на успешните опити от първите n опита в схемата на Бернули. Казваме, че случайната величина hn има биномно разпределение.
Теорема: P (hn = k) = за всяко k = 0, 1, …, n.
Доказателство: Да означим с W (e1, e2, …, en) събитието
(x1 = e1, x2 = e2, …, xn = en). Тъй като случайните величини
x1, x2, …, xn са независими в съвкупност, то
P (W (e1, e2, …, en)) = P (x1 = e1). P (x2 = e2). …. P (xn = en) =
= . Тогава P (hn = k) =
Сега ще пресметнем математическото очакване и дисперсията на биномно разпределената случайна величина n.
Имаме En = E(1 + 2 + …+ n) = E1 + E2 + …+ En =
= (1.p + 0.q) + (1.p + 0.q) + …+ (1.p + 0.q) = n.p.
Също Dn = D(1 + 2 + …+ n) = D1 + D2 + …+ Dn =
= E12 – (E1)2 + E22 – (E2)2 + …+ En2 – (En)2 =
= (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 + (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 + …
+ (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 = n.(p – p2) = n.p.(1 – p) = n.p.q.
При изчисляването на дисперсията използвахме, че случайните величини 1, 2, …, n са независими в съвкупност.
Пример за задача, в която възниква биномно разпределение е задачата за хвърляне на правилна монета. Величината
“броят на хвърлените ези от n хвърляния” е биномно
разпределена – при нея p = q = .
Нека p е реално число, 0 p < 1, q = 1 – p, 0 < q 1.
Казваме, че една целочислена случайна величина x има геометрично разпределение, ако P (x = m) = pm.q, m = 0, 1, 2, ….
Случайната величина x може да се интепретира като брой успехи до първи неуспех в схемата на Бернули. Посоченото разпределение е коректно: P (x = m) ³ 0 за всяко m Î и . За да пресметнем математическо очакване и дисперсията на x разглеждаме функцията
f (s)= , дефинирана при |s|< или за всяко s ,
ако p = 0. f (s) се нарича пораждаща функция на целочислената случайна величина x. Имаме f (s) = .
Също така, f (s) = при |s|<.
Използвахме, че във вътрешността на областта на сходимост на реда f (s) е в сила теоремата за почленно диференциране. От друга страна, f (s) = при |s|<.
Също така, f (s) = при |s|<.
Отново използвахме теоремата за почленно диференциране.
От друга страна, f (s) = при |s|<. Сега пресмятаме Ex = = f (1) = . Също, Dx = Ex.(x - 1) + Ex – (Ex)2 =
== f (1) =
=.
Пример за задача, в която възниква геометрично разпределение е задачата за стрелба по мишена. Величината “брой улучвания преди първи пропуск” има геометрично разпределение.
Нека l е реално число, l > 0. Казваме, че една целочислена случайна величина x има поасоново разпределение,
ако P (x = k) = , k = 0, 1, 2, …. Посоченото разпределение е коректно: P (x = k) ³ 0 за всяко k Î и освен това . За да пресметнем математическо очакване и дисперсията на x разглеждаме нейната пораждаща функция f (s) = = = , дефинирана за всяко s . От една страна, като използваме теоремата за почленно диференциране, получаваме f (s) = , от друга страна f (s) = .l. Също с теоремата за почленно диференциране, f (s) = , а от друга страна,
f (s) = (.l) = .l2.
Сега вече можем да пресметнем математическото очакване и дисперсията на x.
Ex = = f (1) = = l.
Dx = Ex.(x - 1) + Ex – (Ex)2 = + l - l2 = f (1) + l - l2 =
= + l - l2 = l.
Може да се покаже, че поасоновото разпределение е граница на биномни разпределения при n , така че np > 0.
Разпределението на Поасон е особено подходящо за моделиране на броя на случайни редки събития – например, брой засечени радиоактивни частици на единица обем, брой на радиоактивните разпадания за единица време и т.н.
Нека са фиксирани N, M, n Î , при това n N, M N.
Казваме, че една целочислена случайна величина x има хипергеометрично разпределение,
ако P (x = m) = , m = 0, 1, …, n.
Считаме, че = 0 при s < k. Посоченото разпределение е коректно: P (x = m) ³ 0 за всяко m Î { 0, 1, …, n } и
.
Използвали сме известното тъждество на Коши.
Сега ще пресметнем математическото очакване и дисперсията на хипергеометрично разпределената целочислена случайна
величина x.
Ex =
Използвахме известното равенство k. = s., а на четвъртата стъпка в сумата направихме смяната i = m-1.
Ex.(x - 1) =
На четвъртата стъпка в сумата направихме смяната i = m-2.
Dx = Ex.(x - 1) + Ex – (Ex)2 =
.
Ако означим p = , q = 1 – p, имаме Ex = n.p и Dx = n.p.q.
Оттук се вижда, че при N à ¥ математическото очакване и дисперсията на хипергеометричното разпределение клонят към тези на биномното разпределение.
За да дадем интерпретация на хипергеометрично разпределената случайна величина, нека разгледаме партида от N изделия, от които M са дефектни. С цел да се реализира статистически качествен контрол се прави случайна извадка без връщане с обем n от партидата. Тогава величината “брой извадени дефектни изделия” има хипергеометрично разпределение. Действително, броят на всевъзможните извадки с обем n от партидата с N изделия е . “Благоприятните”, т.е. тези които съдържат точно m дефектни изделия могат да се получат чрез комбиниране на извадка от M на m дефектни изделия и извадка от N-M на n-m изправни. Тъй като тези извадки се комбинират независимо и без ограничения, общият брой на благоприятните извадки е вероятността в извадката от n изделия да има точно
m дефектни е точно .
Сподели с приятели: |