2. граница на функция в точка
2.1 Активност: Въведение към понятието граница на функция в точка
Съдържание на активността:
Тази активност, следвайки пресмятанията на моментната скорост, въвежда граница на функция в точка.
Цели на активността:
С тази активност учениците трябва
-
да бъдат въведени интуитивно до ε-δ дефиниция на граница на функция в точка.
-
Да се свърже хармонично числовото и графичното предста-вяне на проблема за да се изясни понятието граница на функция.
Методология на активността:
Активността използва като отправна точка задачата за моментна скорост. От ежедневието учениците са запознати с понятието скорост, въпреки че моментната скорост включва (в скрита форма) един граничен процес. В този процес динамичният геометричен софтуер функционира по два различни начина. В първата част на работния лист са дадени числени резултати. Това ни дава въз-можност да избегнем изискващи време пресмятания. Във втората част на работния лист числовите данни са представени графично. Учениците могат да визуализират сходимостта на функцията и да стигнат по естествен начин до ε-δ дефиницията. Използването ε и δ зони в динамичната геометрична среда дава на учениците възмож-ност да боравят по динамичен начин с основните параметри на задачата за да схванат зависимистта между ε и δ. Зеленият и черве-ният цветове са използвани не като визуален ефект, а като средство, вземащо предвид словесното представяне на сложни изрази.
Например изразът “Всички (x,f(x)), такива че и ” се трансформира в “частта от графиката, която лежи в зелената област”.
Връзка на активността с учебната програма
Тази активност може да бъде преподадена в едночасов урок, като увод към дефиницията на понятието граница на функция.
В зависимост от ученическото ниво и от поставените дидакти-чески цели, активността може да доведе до интуитивен подход към дефиницията на граница на функция в точка или до ε-δ дефиницията.
2.1.1 Работен лист (Анализ)
Въведение в граница на функция в точка
ЗАДАЧА:
Камера е записала състезание на 100 м гладко бягане. Как може записът на камерата да помогне при пресмятането на скоростта на бегача в момента T=6 сек.?
Отворете EucliDraw файла 2.1.1.activity.en.euc. В тази среда можем да получим записа на камерата.
Когато се изменят значенията на t, значенията s(t), които пред-ставят разстоянието, изминато от бегача до t, също се променя.
t може да достигне T с по-малки и по-големи стойности.
Демонстрирайте (покажете) средната скорост.
Жълтата кутийка показва средната скорост в интервала определен от t и T.
Попълнете празните клетки в следната таблица.
t
|
|
T
|
|
4
|
|
8
|
|
5
|
|
7
|
|
5.5
|
|
6.5
|
|
5.8
|
|
6.3
|
|
5.9
|
|
6.1
|
|
5.93
|
|
6.07
|
|
5.95
|
|
6.03
|
|
5.99
|
|
6.01
|
|
5.995
|
|
6.005
|
|
5.999
|
|
6.001
|
|
5.9999
|
|
6.0001
|
|
5.99999
|
|
6.00001
|
|
Може да има обсъждане на понятието средна скорост.
В1: Към кое число се приближава средната скорост, когато t се приближава към T=6 сек.?
Когато t се приближава към Т с по-големи или по-малки стойности ние можем да наблюдаваме , че средната скорост се приближава към 10m/sec. Полезно е да се поясни на учениците, че t може да бъде произволно близко, но никога равно на T.
В2: Каква е скоростта на бегача в T=6 сек.?
Покажете (Демонстрирайте) функцията на средната скорост скорост U(t) в EucliDraw и потвърдете вашите данни графично.
Покажете ε-зоната в EuclidDraw file. Точките в ε-зоната имат ордината, която е по-голяма от L-ε и по-малка от L+ε.
Движете t така, че (t,U(t)) да лежи вътре в епсилон зоната и наблюдавайте стойностите на средната скорост.
Въпреки, че сме определили границата, сега ние показваме функцията и се опит- ваме да видим сходимостта на графиката.
В3: За кои значения на t точката (t,U(t)) е вътре в ε=0.8 зоната?
Вие може да бъдете подпомогнати в отговора на този въпрос с изобразяване на делта зоната.Точките вътре в δ-зоната имат абсциса по-голяма от T-δ и по-малка от T+δ. Точките, лежащи едновременно в епсилон и делта зоните, са оцветени в зелено. Точките, лежащи извън епсилон зоната, са оцветени в червено.
Ученикът може да експериментира с движение на t и наблюдение на промяната на U(t).
В4: Опитайте да намерите δ, така че никои точки от графиката да не лежат в червената област.
Ако имаме δ равно на 0.7, то получаваме търсеното.
В5: Намалете ε до 0.5 и намерете δ точките (t,U(t)) да не лежат вътре в червената област.
например δ=0.4.
В6: Ако ε=0.05 може ли да намерите такова δ?
Може да покажете уголемяващото прозорче. То може да ви помогне за оглеждане на малка област около (T,L).
например δ=0.05.
В7: Ако ε става все по-малко и по-малко, винаги ли ще е възможно да намерите подходящо δ с гореспоменатото свойство?
Учениците могат да експериментират с все по-малки и по-малки стойности на ε и да заключат, че винаги ще могат да намерят едно δ.
В8: Попълнете бланката с подходящ цвят в следното твърдение, за да се изкаже заключението на В7.
“За всяко ε>0 можем да намерим δ>0, такова че функцията не лежи в ……червена………. област.”
Трябва да обърнем внимание на това твърдение, защото то може да доведе учениците до недоразумение. Ученикът може да вярва,че даже ако функцията беше дефинирана в точката Т, то стойността L=f(T) не трябва да лежи в червената област.Тази активност не изяснява, че това което ни интересува не е какво става в точката Т, а само какво става около Т.
В някоя последваща активност би било добре да се изясни, при изследването на съществуването на граница в точка, че стойността на функцията (в случай, че тя съществува) може да лежи извън червената област.
В9: Попълнете бланката така, че следното твърдение дава същото заключение като В7.
………………..U(t) ………………………. може да бъде произволно близко до …………..L……………. ако ………………t…………….са достатъчно близо до ………T……………….. и различни от …..T………..
В10: Опитайте да формулирате заключението на В7 като използвате математически символи
Това е най-критичната стъпка и може да има обсъждане, което взима под внимание ученическите отговори. Учителят може да напомни на своите ученици , че разстоянието между две числа е равно на абсолютната стойност (модула) на тяхната разлика. Целта на този въпрос е да даде ε-δ дефиницията за граница на функция в точка.
За всяко ε>0 съществува такова δ>0 ,че ако , то.
3. НЕПРЕКЪСНАТОСТ НА ФУНКЦИЯ В ТОЧКА
3.1 Активност: Въведение в понятието непрекъснатост на функция в точка
Съдържание на активността:
Тази активност въвежда учениците в понятието непрекъснатост (и прекъснатост) на функция в точка. В хода на изучаването на въпроса, учениците се довеждат до неформално вербално представяне на дефиницията за непрекъснатост по начин, който позволява лесно преминаване към алгебраичното представяне на ε-δ дефиницията.
Цели на активността:
Чрез тази активност ние целим да дадем на учениците:
Интуитивно въведение в ε-δ дефиницията.
Запознаване с процедурата “да се намери подходящо δ за дадено ε” в динамично – геометрична среда, без да се използват алгебрични изчисления.
Да се свържат помежду си различните представяния на понятието непрекъснатост.
Да се разбере защо ε-δ дефиницията не е в сила при прекъсната графика.
Методология на активността:
Излагането на ε-δ дефиницията за непрекъснатост среща сериозни трудности. Чрез настоящата активност ние целим да въведем учениците в понятието непрекъснатост в точка по интуитивен път, без да използваме алгебрически манипулации.
Активността се провежда в три етапа. В първия етап, като задача, се дават някои конкретни стойности на епсилон, и от учениците се иска да намерят съответните стойности на δ. На втория етап ε се разглежда като параметър. На третия етап ученикът установява връзката на прекъснатостта на функцията със скока, който прави нейната графика. На всеки етап въпросите най-напред се въвеждат графично, и след това алгебрически.
Връзка на активността с учебната програма:
В зависимост от нивото на обучаваната група, активността може да бъде преподавана в два различни контекста. Тя може да бъде използвана като инструмент за въвеждане в понятието непрекъснатост, или – след подходящо уточняване – може също така да се използва за интуитивно представяне на основната идея за непрекъснатост.
Стъпки 1 и 2 могат да бъдат проведени е едночасов урок. Стъпка 3 изисква отделен едночасов урок, като се комбинира с примери, които да разсеят евентуално възникналите заблуждения (например че намереното δ е единствено, или че “Не можем да вдигнем молива от хартията при чертане на графиката на непрекъсната функция”).
Понятието непрекъснатост се въвежда независимо от понятието граница и не предполага неговото предварително разбиране.
3.1.1 Работен лист (Анализ)
Въведение в понятието непрекъснатост на функция в точка
ПЪРВА СТЪПКА:
Фармацевтична корпорация е готова да произведе нов антибиотик на хапчета, способен да лекува определена болест.
Известно е, че за да достави на пациента точната доза от лекарството, таблетката трябва да съдържа 3 мгр. от него.
Количеството на антибиотика в кръвта на пациента се дава с функцията , ако взетата таблетка е съдържала мгр. от лекарството.
Според направените изследвания, ако количеството на антибиотика в кръвта е по-малко или равно на 0.8 мгр., лекарството няма да окаже желаното действие, а ако количеството е по-голямо от 1.2 мгр, има опасност от вредни странични въздействия върху здравето на пациента.
В1: Какво е желаното съдържание на лекарството в кръвта на
пациента?
Отговор:
В2: Каква е допустимата грешка ε , с която количеството на ле-
карството в кръвта може да се различава от желаното, така
че таблетките да са ефективни и безвредни?
Отговор: Грешката ε=0.2 поставя граници за допустимите количества на антибиотика, достатъчно близки до желаното количество f(3)=1. Ще наричаме ε допустима грешка.
Тъй като грешката ε играе важна роля в цялата активност, тук биха били полезни някои въпроси, разясняващи на учениците понятието допустима грешка. Много важно е да се въведат в използване понятията “допустима грешка” и “точност” толкова бързо, колкото е възможно.
Наличната машина за производство на таблетки с количество на лекарството t=3 мгр има ниво на на точност δ=1.1.
Това означава, че машината е програмирана да произвежда таблетки от 3 мгр, но всъщност теглото им може да варира между 3 – 1.1 гр. и 3 + 1.1 гр.
В3: Дали машината е достатъчно добра, за да произвежда ефективни и безопасни таблетки?
Отворете EucliDraw файла 3.1.1a.activity.en.euc и се опитайте да отговорите на въпроса В3 с негова помощ.
Софтуерната среда ни дава графиката на f(x). Променяйки ε , ние можем да променяме допустимата грешка, а променяйки δ – точността на работата на машината.
Увеличаващият (zoom) прозорец ни позволява да се съсредоточим в околност на точката (3,1).
Очаква се учениците да забележат, че някои части от графиката се намират вътре в делта-зоната, но извън епсилон – зоната. Ако машината произвежда таблетки, някои от тях ще бъдат неефективни, а някои – опасни.
Машината може да бъде регулирана за друго ниво на точност.
В4: Може ли машината да бъде регулирана така, че да произвежда таблетки в границите на допустимата грешка?
Очаква се учениците да променят делта, за да коригират ситуацията от предния въпрос. Те трябва да погледнат и в двете посоки, за да достигнат стойност на делта от проблизително 0.8.
Трябва да се извърши обсъждане, на което да се подчертае, че δ не е единствено. Всяко δ , по-малко от намереното, също е решение на задачата.
Друг важен момент е, че ние се интересуваме от намирането на най-доброто (т.е. най-голямото) δ.
Според резултатите на нови медицински изследвания нивото на грешката трябва да бъде намалено до ε=0.1.
В5: Изисква ли тази промяна промени в производството на лекарството? Трябва ли да се промени точността на машината?
Отговорът на учениците зависи от това, какво δ е било дадено като отговор на предния въпрос.
Например, ако ученикът е получил δ=0.8 , след промяната на ε това вече не е достатъчно. Ако е било получено δ = 0.2, тогава то ще работи и в новите условия.
Изборът на δ от 0.3 или по-малко е достатъчен.
ВТОРА СТЪПКА:
В1: Да предположим, че по-нататъшни изследвания покажат, че ε трябва да бъде намалено още; ще бъде ли способна корпорацията да нагоди машината за това?
Отворете файла 3.1.1a.activity.en.euc и проверете дали можем да намерим съответното δ>0, когато ε става все по-малко. Направете графични експерименти.
Покажете червено/зелената зона и обяснете какво означава, когато графика на функцията е в зелената или в червената зона.
Този въпрос дава на учениците възможността да преминат от визуалното представяне на въпроса към неговото словесно представяне.
Зелената зона представя допустимите местоположения на точката (x,f(x)).
Алгебрично, зелената зона е множеството от всички точки (x,f(x)) в равнината, за които |x-5|<δ и |f(x)-f(5)|<ε.
Ако част от графиката на функцията преминава през червената зона, това означава, че има проблеми в производството на таблетките. С други думи, машината е програмирана така, че да произвежда таблетки, които са неефективни (частта от червената зона под зелената) или опасни (частта от червената зона под зелената).
При настоящата нагласа на машината не може да се получат точки от бялата зона.
Ако е необходимо, използвайте мащабиращия прозорец.
В хода на настоящия въпрос, ученикът играе ε-δ играта, задавайки все по-малки стойности на епсилон. При много малки ε на основния прозорец зоните са неразличими, и интересът трябва да се прехвърли към мащабиращия прозорец.
В2: Във всяко от следващите изречения, попълнете в празното място съответния цвят:
а/ При зададено ε, можем да намерим δ, така че графика на функцията не пресича .............(червената)............зона.
б/ За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко x в границите на точността на машината, точката (x,f(x)) се намира в
................(зелената)........... зона.
В3: Напишете изречението от точка б/, замествайки цветовете с алгебрични съотношения.
Първоначално учителят насочва учениците до словесно описание като следното:
“За всяка аритметична стойност на грешката, се намира ниво на точността такова, че ако x се намира в границите на дадената точност, f(x) се намира в границите на допустимата грешка. ”.
По-нататък той трябва да опита да опише горното твърдение чрез математически символи. Това е:
“За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко да имаме: ”.
Или:
“За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко x , за което , да имаме .
При подходящи условия последното изречение може да доведе до въвеждането на ε-δ дефиницията на непрекъснтост за произволна функция.
ТРЕТА СТЪПКА:
Следващото изследване показва, че формулата, дадена с горната функция за количеството лекарство в кръвта, е вярна за стойности на x по-малки от 3 мгр. За стойности на x по-големи или равни на 3 мгр. Тази формула дава значение с 0.06 мгр. по-малко от реално наличното в кръвта.
В1. Намерете формула за новата функция, даваща количеството на лекарството в кръвта, която взима пред вид резултатите на новите изследвания.
Вторият клон на функцията ттрябва да бъде
В2: Може ли машината да бъде регулирана така, че да произвежда ефективни и безопасни таблетки? Какво δ трябва да се избере за ε=0.1?
Отговор: Напр. δ=0.1 е добре.
Отворете файла 3.1.1b.activity.en.euc .
Дайте отговор на въпроса, като давате подходящи стойности на δ.
Ако е необходимо, използвайте увеличителния прозорец.
Тук ε е избрано така, че δ да може да бъде намерено.
В3: Какво се случва, ако ε се намали до 0.06? Можете ли да намерите съответното δ?
Отговор: Няма δ , за което машината да може да произвежда само ефективни таблетки, тъй като при таблетка под 3 мгр, откритото в кръвта количество ще е неефективно.
В4: На какво се дължи този неуспех?
Този въпрос може да доведе учащите се до много интересна дискусия.
Една идея, водеща до понятието прекъснатост, е че “пролуката” в графиката на f(x), поражда невъзможноста да се намери δ, тъй като точките на графиката на g(x) около аргумента 3 се появяват на разстояние една от друга.
В5: Във всяко от следващите изречения, попълнете в празното място съответния цвят:
а/ За дадено ε никое δ не може да предотврати минаването на графиката на функцията през ..........(червената)............ област.
б/ Съществува ε, така че за всяко δ съществува x в границите на точността, така че точката (x,g(x)) се намира в .....(червената)......... зона.
В6. Напишете изречението от точка б/, замествайки цветовете с алгебраични съотношения.
Съществува ε>0 такова, че за всяко δ>0 може да се намери, така че .
Или:
Съществува ε>0 такова, че за всяко δ>0 може да се намери x, така че , но .
Последното изречение съответства на последното изречение във втората стъпка, и това може да доведе до формулиране на отрицанието на дефиницията за непрекъснатост за произволна функция.
4. Производна
4.1 Активност: Понятията производна и допирателна
Съдържание на активността:
Тази активност има за задача да запознае учениците с понятието производна на функция в точка чрез геометричното и онагледяване с помощта на допирателната към графиката в точката (, f()). При съставянето на тази активност са взети под внимание познанията на учениците за допирателна към окръжност.
Цели на активността:
С помощта на тази активност целим учениците:
да разширят предишните си знания за допирателна, изградени в контекста на евклидовата геометрия, обхващайки и други криви от по-общ тип.
да се запознаят с понятието допирателна към графиката на функция в точка (, f()), като линейно приближение на графиката в тази точка.
да се запознаят с понятието производна в точка .
да разберат геометричния смисъл на производната в точка като наклон (ъглов коефициент) на допирателната към графиката в точката (, f()).
да свържат символното представяне (с формула) на производната в дадена точка с геометричното.
да разпознават от вида на кривата, представляваща графиката на функцията, в кои точки функцията е диференцируема.
Сподели с приятели: |