1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността



страница2/7
Дата12.03.2018
Размер1.04 Mb.
#62675
1   2   3   4   5   6   7

2. граница на функция в точка


2.1 Активност: Въведение към понятието граница на функция в точка
Съдържание на активността:

Тази активност, следвайки пресмятанията на моментната скорост, въвежда граница на функция в точка.



Цели на активността:

С тази активност учениците трябва



  • да бъдат въведени интуитивно до ε-δ дефиниция на граница на функция в точка.

  • Да се свърже хармонично числовото и графичното предста-вяне на проблема за да се изясни понятието граница на функция.


Методология на активността:

Активността използва като отправна точка задачата за моментна скорост. От ежедневието учениците са запознати с понятието скорост, въпреки че моментната скорост включва (в скрита форма) един граничен процес. В този процес динамичният геометричен софтуер функционира по два различни начина. В първата част на работния лист са дадени числени резултати. Това ни дава въз-можност да избегнем изискващи време пресмятания. Във втората част на работния лист числовите данни са представени графично. Учениците могат да визуализират сходимостта на функцията и да стигнат по естествен начин до ε-δ дефиницията. Използването ε и δ зони в динамичната геометрична среда дава на учениците възмож-ност да боравят по динамичен начин с основните параметри на задачата за да схванат зависимистта между ε и δ. Зеленият и черве-ният цветове са използвани не като визуален ефект, а като средство, вземащо предвид словесното представяне на сложни изрази.

Например изразът “Всички (x,f(x)), такива че и ” се трансформира в “частта от графиката, която лежи в зелената област”.

Връзка на активността с учебната програма

Тази активност може да бъде преподадена в едночасов урок, като увод към дефиницията на понятието граница на функция.

В зависимост от ученическото ниво и от поставените дидакти-чески цели, активността може да доведе до интуитивен подход към дефиницията на граница на функция в точка или до ε-δ дефиницията.

2.1.1 Работен лист (Анализ)

Въведение в граница на функция в точка
ЗАДАЧА:

Камера е записала състезание на 100 м гладко бягане. Как може записът на камерата да помогне при пресмятането на скоростта на бегача в момента T=6 сек.?

Отворете EucliDraw файла 2.1.1.activity.en.euc. В тази среда можем да получим записа на камерата.

Когато се изменят значенията на t, значенията s(t), които пред-ставят разстоянието, изминато от бегача до t, също се променя.

t може да достигне T с по-малки и по-големи стойности.

Демонстрирайте (покажете) средната скорост.

Жълтата кутийка показва средната скорост в интервала определен от t и T.


Попълнете празните клетки в следната таблица.


t



T



4




8




5




7




5.5




6.5




5.8




6.3




5.9




6.1




5.93




6.07




5.95




6.03




5.99




6.01




5.995




6.005




5.999




6.001




5.9999




6.0001




5.99999




6.00001



Може да има обсъждане на понятието средна скорост.



В1: Към кое число се приближава средната скорост, когато t се приближава към T=6 сек.?
Когато t се приближава към Т с по-големи или по-малки стойности ние можем да наблюдаваме , че средната скорост се приближава към 10m/sec. Полезно е да се поясни на учениците, че t може да бъде произволно близко, но никога равно на T.
В2: Каква е скоростта на бегача в T=6 сек.?
Покажете (Демонстрирайте) функцията на средната скорост скорост U(t) в EucliDraw и потвърдете вашите данни графично.

Покажете ε-зоната в EuclidDraw file. Точките в ε-зоната имат ордината, която е по-голяма от L-ε и по-малка от L+ε.

Движете t така, че (t,U(t)) да лежи вътре в епсилон зоната и наблюдавайте стойностите на средната скорост.
Въпреки, че сме определили границата, сега ние показваме функцията и се опит- ваме да видим сходимостта на графиката.

В3: За кои значения на t точката (t,U(t)) е вътре в ε=0.8 зоната?

Вие може да бъдете подпомогнати в отговора на този въпрос с изобразяване на делта зоната.Точките вътре в δ-зоната имат абсциса по-голяма от T-δ и по-малка от T+δ. Точките, лежащи едновременно в епсилон и делта зоните, са оцветени в зелено. Точките, лежащи извън епсилон зоната, са оцветени в червено.

Ученикът може да експериментира с движение на t и наблюдение на промяната на U(t).

В4: Опитайте да намерите δ, така че никои точки от графиката да не лежат в червената област.

Ако имаме δ равно на 0.7, то получаваме търсеното.


В5: Намалете ε до 0.5 и намерете δ точките (t,U(t)) да не лежат вътре в червената област.
например δ=0.4.
В6: Ако ε=0.05 може ли да намерите такова δ?

Може да покажете уголемяващото прозорче. То може да ви помогне за оглеждане на малка област около (T,L).


например δ=0.05.
В7: Ако ε става все по-малко и по-малко, винаги ли ще е възможно да намерите подходящо δ с гореспоменатото свойство?
Учениците могат да експериментират с все по-малки и по-малки стойности на ε и да заключат, че винаги ще могат да намерят едно δ.
В8: Попълнете бланката с подходящ цвят в следното твърдение, за да се изкаже заключението на В7.
“За всяко ε>0 можем да намерим δ>0, такова че функцията не лежи в ……червена………. област.”

Трябва да обърнем внимание на това твърдение, защото то може да доведе учениците до недоразумение. Ученикът може да вярва,че даже ако функцията беше дефинирана в точката Т, то стойността L=f(T) не трябва да лежи в червената област.Тази активност не изяснява, че това което ни интересува не е какво става в точката Т, а само какво става около Т.

В някоя последваща активност би било добре да се изясни, при изследването на съществуването на граница в точка, че стойността на функцията (в случай, че тя съществува) може да лежи извън червената област.

В9: Попълнете бланката така, че следното твърдение дава същото заключение като В7.
………………..U(t) ………………………. може да бъде произволно близко до …………..L……………. ако ………………t…………….са достатъчно близо до ………T……………….. и различни от …..T………..
В10: Опитайте да формулирате заключението на В7 като използвате математически символи

Това е най-критичната стъпка и може да има обсъждане, което взима под внимание ученическите отговори. Учителят може да напомни на своите ученици , че разстоянието между две числа е равно на абсолютната стойност (модула) на тяхната разлика. Целта на този въпрос е да даде ε-δ дефиницията за граница на функция в точка.

За всяко ε>0 съществува такова δ>0 ,че ако , то.

3. НЕПРЕКЪСНАТОСТ НА ФУНКЦИЯ В ТОЧКА


3.1 Активност: Въведение в понятието непрекъснатост на функция в точка
Съдържание на активността:

Тази активност въвежда учениците в понятието не­пре­къс­натост (и прекъснатост) на функция в точка. В хода на изу­чаването на въп­ро­са, учениците се довеждат до не­фор­мал­но вербално представяне на дефиницията за не­пре­къс­на­тост по начин, който позволява лесно пре­минаване към алгебраичното представяне на ε-δ дефиницията.



Цели на активността:

Чрез тази активност ние целим да дадем на учениците:

Интуитивно въведение в ε-δ дефиницията.

Запознаване с процедурата “да се намери подходящо δ за даде­но ε” в динамично – геометрична среда, без да се изпол­зват ал­геб­рични изчисления.

Да се свържат помежду си различните представяния на поня­тие­то непрекъснатост.

Да се разбере защо ε-δ дефиницията не е в сила при пре­къс­на­та графика.



Методология на активността:

Излагането на ε-δ дефиницията за непрекъснатост сре­ща се­ри­оз­ни трудности. Чрез настоящата активност ние целим да въведем уче­­ниците в понятието не­пре­къс­на­то­ст в точка по интуитивен път, без да използваме ал­геб­рически манипулации.

Ак­тивността се провежда в три етапа. В първия етап, като за­да­ча, се да­ват някои конкретни стойности на епсилон, и от уче­ниците се иска да намерят съответните стойности на δ. На втория етап ε се раз­глеж­да като параметър. На третия етап ученикът установява връз­ка­та на прекъснатостта на функцията със скока, който прави ней­ната графика. На всеки етап въпросите най-напред се въвеждат гра­фи­чно, и след това алгебрически.

Връзка на активността с учебната програма:

В зависимост от нивото на обучаваната група, активността може да бъ­де преподавана в два различни контекста. Тя може да бъде из­пол­зва­на като инструмент за въвеждане в понятието неп­ре­къс­натост, или – след подходящо уточняване – може също така да се използва за интуитивно представяне на основната идея за непрекъснатост.

Стъпки 1 и 2 могат да бъдат проведени е едночасов урок. Стъпка 3 изисква отделен едночасов урок, като се комбинира с примери, които да разсеят евентуално възникналите заблуждения (например че намереното δ е единствено, или че “Не можем да вдигнем молива от хартията при чертане на графиката на непрекъсната функция”).

Понятието непрекъснатост се въвежда независимо от понятието граница и не предполага неговото предварително разбиране.



3.1.1 Работен лист (Анализ)

Въведение в понятието непрекъснатост на функция в точка
ПЪРВА СТЪПКА:

Фармацевтична корпорация е готова да произведе нов анти­би­о­тик на хапчета, способен да лекува определена болест.

Известно е, че за да достави на пациента точната доза от лекар­ст­во­то, таблетката трябва да съдържа 3 мгр. от него.

Количеството на антибиотика в кръвта на пациента се дава с функ­цията , ако взетата таблетка е съдържала мгр. от лекарството.

Според направените изследвания, ако количеството на антибиотика в кръвта е по-малко или равно на 0.8 мгр., лекарството няма да ока­же желаното действие, а ако количеството е по-голямо от 1.2 мгр, има опасност от вредни странични въздействия върху здравето на па­ци­ента.
В1: Какво е желаното съдържание на лекарството в кръвта на

пациента?
Отговор:
В2: Каква е допустимата грешка ε , с която количеството на ле­-

кар­ството в кръвта може да се различава от желаното, така

че таблетките да са ефективни и безвредни?
Отговор: Грешката ε=0.2 поставя граници за допустимите количества на антибиотика, достатъчно близки до желаното количество f(3)=1. Ще наричаме ε допустима грешка.
Тъй като грешката ε играе важна роля в цялата активност, тук биха били полезни някои въпроси, разясняващи на учениците понятието допустима грешка. Много важно е да се въведат в използване понятията “допустима грешка” и “точност” толкова бързо, колкото е възможно.

Наличната машина за производство на таблетки с количество на ле­кар­ството t=3 мгр има ниво на на точност δ=1.1.

Това означава, че машината е програмирана да произвежда таблетки от 3 мгр, но всъщност теглото им може да варира между 3 – 1.1 гр. и 3 + 1.1 гр.
В3: Дали машината е достатъчно добра, за да произвежда ефективни и безопасни таблетки?
Отворете EucliDraw файла 3.1.1a.activity.en.euc и се опитайте да отговорите на въпроса В3 с негова помощ.

Софтуерната среда ни дава графиката на f(x). Променяйки ε , ние можем да променяме допустимата грешка, а променяйки δ – точността на работата на машината.

Увеличаващият (zoom) прозорец ни позволява да се съсре­до­то­чим в околност на точката (3,1).

Очаква се учениците да забележат, че някои части от графиката се намират вътре в делта-зоната, но извън епсилон – зоната. Ако машината произвежда таб­летки, някои от тях ще бъдат неефективни, а някои – опасни.


Машината може да бъде регулирана за друго ниво на точност.
В4: Може ли машината да бъде регулирана така, че да произвежда таблетки в границите на допус­ти­ма­та грешка?
Очаква се учениците да променят делта, за да коригират ситуацията от предния въпрос. Те трябва да погледнат и в двете посоки, за да достигнат стойност на делта от проблизително 0.8.

Трябва да се извърши обсъждане, на което да се подчертае, че δ не е единствено. Всяко δ , по-малко от намереното, също е решение на задачата.

Друг важен момент е, че ние се интересуваме от намирането на най-доброто (т.е. най-голямото) δ.
Според резултатите на нови медицински изследвания нивото на грешката трябва да бъде намалено до ε=0.1.
В5: Изисква ли тази промяна промени в производството на лекарството? Трябва ли да се промени точността на машината?
Отговорът на учениците зависи от това, какво δ е било дадено като отговор на предния въпрос.

Например, ако ученикът е получил δ=0.8 , след промяната на ε това вече не е достатъчно. Ако е било получено δ = 0.2, тогава то ще работи и в новите условия.

Изборът на δ от 0.3 или по-малко е достатъчен.
ВТОРА СТЪПКА:


В1: Да предположим, че по-нататъшни изследвания покажат, че ε трябва да бъде намалено още; ще бъде ли способна корпорацията да нагоди машината за това?

Отворете файла 3.1.1a.activity.en.euc и проверете дали можем да намерим съответното δ>0, когато ε става все по-малко. Направете графични експерименти.

Покажете червено/зелената зона и обяснете какво означава, ко­га­то графика на функцията е в зелената или в червената зона.
Този въпрос дава на учениците възможността да преминат от визуалното представяне на въпроса към неговото словесно представяне.

Зелената зона представя допустимите местоположения на точката (x,f(x)).

Алгебрично, зелената зона е множеството от всички точки (x,f(x)) в равнината, за които |x-5|<δ и |f(x)-f(5)|<ε.

Ако част от графиката на функцията преминава през червената зона, това оз­на­ча­ва, че има проблеми в производството на таблетките. С други думи, ма­ши­на­та е прог­ра­мирана така, че да произвежда таблетки, които са неефективни (частта от чер­вената зона под зелената) или опасни (частта от чер­вената зона под зелена­та).

При настоящата нагласа на машината не може да се получат точки от бялата зо­­на.

Ако е необходимо, използвайте мащабиращия прозорец.

В хода на настоящия въпрос, ученикът играе ε-δ играта, задавайки все по-малки стой­ности на епсилон. При много малки ε на основния прозорец зоните са неразличими, и интересът трябва да се прехвърли към мащабиращия прозорец.
В2: Във всяко от следващите изречения, попълнете в празното място съответния цвят:

а/ При зададено ε, можем да намерим δ, така че графика на функ­ци­ята не пресича .............(червената)............зона.

б/ За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко x в границите на точ­ността на машината, точката (x,f(x)) се намира в

................(зелената)........... зона.


В3: Напишете изречението от точка б/, замествайки цветовете с алгебрични съотношения.
Първоначално учителят насочва учениците до словесно описание като след­ното:

“За всяка аритметична стойност на грешката, се намира ниво на точността такова, че ако x се намира в границите на дадената точност, f(x) се намира в границите на допустимата грешка. ”.

По-нататък той трябва да опита да опише горното твърдение чрез мате­ма­ти­чес­ки символи. Това е:

“За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко да имаме: ”.

Или:

“За всяко ε можем да намерим δ така че за всяко x , за което , да имаме .



При подходящи условия последното изречение може да доведе до въвеждането на ε-δ дефиницията на непрекъснтост за произволна функция.

ТРЕТА СТЪПКА:
Следващото изследване показва, че формулата, дадена с горната функ­ция за количеството лекарство в кръвта, е вярна за стойности на x по-малки от 3 мгр. За стойности на x по-големи или равни на 3 мгр. Тази формула дава значение с 0.06 мгр. по-малко от реално на­лич­­ното в кръвта.
В1. Намерете формула за новата функция, даваща количеството на лекарството в кръвта, която взима пред вид резултатите на новите изследвания.

Вторият клон на функцията ттрябва да бъде


В2: Може ли машината да бъде регулирана така, че да произвежда ефективни и безопасни таблетки? Какво δ трябва да се избере за ε=0.1?

Отговор: Напр. δ=0.1 е добре.


Отворете файла 3.1.1b.activity.en.euc .

Дайте отговор на въпроса, като давате подходящи стойности на δ.

Ако е необходимо, използвайте увеличителния прозорец.

Тук ε е избрано така, че δ да може да бъде намерено.


В3: Какво се случва, ако ε се намали до 0.06? Можете ли да намерите съответното δ?

Отговор: Няма δ , за което машината да може да произвежда само ефективни таблетки, тъй като при таблетка под 3 мгр, откритото в кръвта количество ще е неефективно.


В4: На какво се дължи този неуспех?

Този въпрос може да доведе учащите се до много интересна дискусия.

Една идея, водеща до понятието прекъснатост, е че “пролуката” в графиката на f(x), поражда невъзможноста да се намери δ, тъй като точките на графиката на g(x) около аргумента 3 се появяват на разстояние една от друга.
В5: Във всяко от следващите изречения, попъл­нете в празното място съответния цвят:

а/ За дадено ε никое δ не може да предотврати минаването на графи­ка­та на функцията през ..........(червената)............ област.

б/ Съществува ε, така че за всяко δ съществува x в границите на точ­ност­та, така че точката (x,g(x)) се намира в .....(червената)......... зона.
В6. Напишете изречението от точка б/, замествайки цветовете с алгебраични съотношения.
Съществува ε>0 такова, че за всяко δ>0 може да се намери, така че .
Или:
Съществува ε>0 такова, че за всяко δ>0 може да се намери x, така че , но .

Последното изречение съответства на последното изречение във втората стъпка, и това може да доведе до формулиране на отрицанието на дефиницията за непрекъснатост за произволна функция.




4. Производна

4.1 Активност: Понятията производна и допирателна
Съдържание на активността:

Тази активност има за задача да запознае учениците с понятието производна на функция в точка чрез геометричното и онагледяване с помощта на допирателната към графиката в точката (, f()). При съставянето на тази активност са взети под внимание познанията на учениците за допирателна към окръжност.



Цели на активността:

С помощта на тази активност целим учениците:

да разширят предишните си знания за допирателна, изградени в контекста на евклидовата геометрия, обхващайки и други криви от по-общ тип.

да се запознаят с понятието допирателна към графиката на функция в точка (, f()), като линейно приближение на графиката в тази точка.

да се запознаят с понятието производна в точка .

да разберат геометричния смисъл на производната в точка като наклон (ъглов коефициент) на допирателната към графиката в точката (, f()).

да свържат символното представяне (с формула) на производната в дадена точка с геометричното.

да разпознават от вида на кривата, представляваща графиката на функцията, в кои точки функцията е диференцируема.





Сподели с приятели:
1   2   3   4   5   6   7




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница