В9: Дали точката, получена в резултат на ТСС, е единствената с това свойство?

Отворете файловете 4.4.3.activity.en.euc и 4.4.4.activity.en.euc. С по­мощта на броячите, включени в програмата, можете да проверите да­ли хипотезата от В6 е в сила.

Тук учителят би трябвало да коментира стойностите, които би могъл да при­ема ъгловият коефициент в роговата точка, макар че това е некоректно.

(Подчертаване на предпоставките на теоремата).

В тази активност разглеждаме понятието монотонност на функция, след което въвеждаме теоремата за монотонност на диференцируемите функции в интервал, както и нейното доказателство. Накрая, завършваме активността с едно приложение на тази теорема при изследването на функция за монотонност и екстремуми.

• 
  С тази активност се стремим учениците да:
  
• 
  Установят връзката между монотонността на дадена функция със знаците на наклоните (ъгловите коефициенти) на хордите с краища върху графиката й.
  
• 
  Разберат на интуитивно ниво понятието монотонност и да извлекат оттам формалните определения.
  
• 
  Осъзнаят необходимостта от изследване за подинтервали на дефиниционната област на функцията, в които тя е монотонна.
  
• 
  Могат да боравят комбинирано със символното (алгебричното) и графичното представяне на функциите, за да достигнат до формулиране на хипотеза, осмисляне на проблема, формулировка на теоремата за монотонност и накрая до нейното доказателство.
  
• 
  Разберат необходимостта на предположенията във формулировката на теоремата, както и невъзможността тя да се обърне.
  
• 
  Използват теоремата за изследване на функции за монотонност и локални екстремуми.
  
• 
  Могат да попълват и интерпретират таблицата за измененията на функцията.
  

Логическата структура на активността е следната:

В първата част опитваме с помощта на софтуера да свържем на интуитивно ниво знака на наклона (ъгловия коефициент) на отсечка АВ с относителното положение на краищата и А и В върху графиката на строго монотонна функция. Изследването на интервали отляво и отдясно на даден екстремум водят естествено до дефинициите на монотонност (от двата типа) на функция. Типът на монотонност се свързва графично и алгебрично със знака на наклоните на хордите с краища върху графиката на функцията или на съответните диференчни частни.

След това чрез графиката се установява на интуитивно ниво връзката между знака на производната и монотонността и учениците се насочват стъпка по стъпка към предположение за твърдението на теоремата за монотонност, към нейната точна формулировка и накрая към нейното доказателство. В последната част, от учениците се изисква от графиката да извличат свързвана информация за функцията и нейната производна. Те трябва да използват получените теореми, за да извършат алгебричните пресмятания, необходими за попълването на класическата таблица за измененията на функцията.

Учениците събират информация, комбинирайки алгебрични, числени и графични представяния, предоставени от софтуера. Алгебричните пресмятания и попълването на таблицата за измененията са крайният резултат, следващ концептуалното разбиране на въведените понятия и не представляват главната и/или единствена цел.

Връзка на активността с учебната програма

Тази активност може да се използва при следните теми:

1. 
   Въвеждане на понятието монотонност. Тази част не използва понятието производна и може да се използва в за въвеждане на функции в курса по Елементарна алгебра за долните класове (например А клас на Лицеите в Гърция).
   
2. 
   Въвеждане, доказателство и използване на теоремата за монотонност при изучаване на функциите във второто равнище на обучение или за уводен урок по диференциално смятане.
   

Предполагаемата популация в стадо елени (в стотици) в една гора се задава приблизително с функцията с , където са годините от периода 1/1/2000 до 1/1/2009.

Отворете файла 4.5.1.activity.en.euc, с който е начертана графиката на функцията . Тази функция изразява броя на елените в периода 2000-2008 година като функция на времето x.

Като използвате графиката на функцията и инструмента Point - Coordinates (Точка - Координати), която задава и мести по графиката точка M, се опитайте да отговорите на следните въпроси:
В1: В кои периоди от време смятате, че броят на елените в стадото расте?

Какво характерно за формата на графиката забелязвате в тези периоди?


В2: В кои периоди от време смятате, че броят на елените в стадото намалява?

Какво характерно за формата на графиката забелязвате в тези периоди?
Отворете файла 4.5.2.activity.en.euc, за да видите точките A и B, както и броячът, отмерващ стойностите на наклона на отсечката AB. Можете да местите коя да е от точките A и B и да следите с помощта на брояча знаците на разликите и .

Преместването на точка се реализира с Ctrl+1, позициониране на курсора (щракване с мишката) върху точката и теглене с натиснат ляв бутон на мишката.

В4: Какво забелязвате за знака на наклона на изменящата се хорда АB, когато плъзгате точките A и B върху графиката на функцията вляво от точката ?

В6: Какво може да заключите сравнявайки и, когато ?

Функция, която удовлетворява горното условие за всяка двойка от даден интервал Δ от дефиниционната си област, се нарича строго растяща в Δ.

В8: Какво забелязвате за знака на наклона на изменящата се хорда АB, когато плъзгате точките A и B върху графиката на функцията вдясно от точката ?

В9: Какво може да заключите сравнявайки и, когато ?

Функция, която удовлетворява горното условие за всяка двойка от даден интервал Δ от дефиниционната си област, се нарича строго намаляваща в Δ.

Функциите , които са строго растящи или строго намаляващи в даден интервал Δ , се наричат строго монотонни в Δ.

В11: i) Какво може да твърдите за знака на диференчното частно , ако е строго растяща в Δ?

ii) Какво може да твърдите за знака на диференчното частно , ако е строго намаляваща в Δ?

Обратно: Да предположим, че функцията е дефинирана в интервала Δ и са две различни точки, т.е. .

В12: i) Какво може да заключите за монотонността на функцията в интервала Δ, ако за всеки две точки диференчното частно е положително?

ii) Какво може да заключите за монотонността на функцията в интервала Δ, ако за всеки две точки диференчното частно е отрицателно?

В13: Нека функцията е дефинирана в интервала Δ и е вътрешна точка на Δ.

Какви условия е достатъчно да изпълнява функцията в близост до точката , за да има в тази точка:

В много случаи проверката за монотонност на функция с използване на дефиницията не е лесна (например, как бихме могли да докажем, използвайки дефиницията, че функцията , е строго растяща). Изтъквайки потенциалните трудности от такъв тип учителят може да мотивира провеждането в класа на дискусия, водеща до необходимостта от намиране на инструменти, които да помогнат при изследването за монотонност на функциите. Връзката на монотонността със запазването на знака на наклоните на хордите към графиката, установена в Работна страница 4.5.1, ще ни отведе с помощта на Теоремата за средните стойности към знака на производната.

Отворете файла 4.5.4.activity.en.euc, който изчертава графиката на функцията , която се появява на монитора. Тази функция изразява големината на популацията от елени в стадото в зависимост от времето. Натиснете бутна Tangent (Допирателна), за да се появи допирателната към графиката на в случайна точка . Наклонът на допирателната в точката K се показва от брояч и може да се записва ръчно за различни положения на K по графиката на функцията. Това може да се направи с местене на абсцисата на точката при натиснат бутон F7. Можете да следите знака на наклона на допирателната по показанията на брояча и в същото време да видите графиката на производната функция , която е начертана в същата координатна система. Тази графика представлява кривата описана от точката , когато абсцисата се мени. С Ctrl+z можете да отстраните (в обратен ред) всичките описани действия, които сте извършили с програмата.

В1: В кои интервали производната на е положителна, в кои е отрицателна и в кои точки е нула?

Очакваме учениците да осъществят първия си контакт с връзката на вида на графиката със знака на производната. Те могат да движат точката K по графиката, менейки нейната абсциса, за да установят, визуално или с помощта на брояча, кои са интервалите, в които наклонът на допирателната е положителен или отрицателен, както и кои са точките, в които той е нула (нулите на производната).

Учениците могат да експеримен-тират със софтуера и очакваме те да установят връзката между числовата информация за наклона и вида на графиката. Нещо повече, те могат да разполагат върху същия екран с графиката на функцията, а също така и с графиката на нейната производна, от която те могат да получат знака на производната и нейните нули и да ги свържат с монотонността и екстремумите на функцията.

Графиката на може да се отстрани с Ctrl+z, така че учениците могат да експериментират.

В2: Какъв извод можете да направите, изучавайки графиката на производната ­ в съответствие с тази на изходната функция ?

Целта на този въпрос е да стимулира учениците да установят връзката между монотонността на функцията в отделни участъци със знака на производната в тези участъци.

В3: Ако функцията е строго растяща и диференцируема в даден интервал Δ, какво установявате за знака на нейната производна в този интервал?

Целта е учениците първо да забележат от графиките връзката между монотонността и знака на производната, а след това да стигнат до алгебричното доказателство на този факт.

Понеже е строго растяща, при ще е в сила и следователно, от нейната диференцируемост ще следва, че за всяко от интервала.

Трябва да се отбележи случаят, когато for every с , но . Естественият пример за това е функцията при .

В4: Ако функцията е строго намаляваща и диференцируема в даден интервал Δ, какво установявате за знака на нейната производна в този интервал?

Следващите въпроси имат за цел да насочат учениците към доказателството на предположението.