4. 1 Активност: Понятията производна и допирателна Съдържание на активността

Тази активност има за задача да запознае учениците с понятието производна на функция в точка чрез геометричното и онагледяване с помощта на допирателната към графиката в точката (, f()). При съставянето на тази активност са взети под внимание познанията на учениците за допирателна към окръжност.

С помощта на тази активност целим учениците:

да разширят предишните си знания за допирателна, изградени в контекста на евклидовата геометрия, обхващайки и други криви от по-общ тип.

да се запознаят с понятието допирателна към графиката на функция в точка (, f()), като линейно приближение на графиката в тази точка.

да се запознаят с понятието производна в точка .

да разберат геометричния смисъл на производната в точка като наклон (ъглов коефициент) на допирателната към графиката в точката (, f()).

да свържат символното представяне (с формула) на производната в дадена точка с геометричното.

да разпознават от вида на кривата, представляваща графиката на функцията, в кои точки функцията е диференцируема.

Активността започва с разглеждането на понятието допирателна към окръжност, познато на учениците от уроците по евклидова геометрия (планиметрия). Познатите от преди свойства на допирателната към окръжност, като права, “която има само една обща точка с окръжността” или “която е перпендикулярна на диаметъра през точката” се свързват с други свойства, които се обобщават за произволна крива, като свойството на “най-добро линейно приближение към кривата в точката” или на “гранично положение на секущите”. За интуитивен подход към тези свойства, които са нови за учениците, се използват “локално изправяне” и “ локално увеличение” на кривата. Такъв нов подход дава възможност за преход към общото определение на допирателна права и оттам към въвеждането на понятието производна на функция в точка.

За да се мотивира изучаването на нови свойства на допирателната от учениците се иска да проверят истинността на следното твърдение:

«Ако имаме окръжност и нейната допирателна в точката Α от нея, не съществува полуправа Αx , която лежи между допирателната и окръжността.»

Това твърдение представлява опростена версия на свойството на допирателната, описано в предложение ΙΙΙ16 от «Елементите» на Евклид и гласи:

“Правата линия, перпендикулярна на диаметър на окръжност­та, прекарана през неговия край, лежи вън от кръга, и в областта между правата и окръжността не може да се разположи друга права; освен това ъгълът при полу­ок­ръж­ност­та е по-голям, а оставащият ъгъл – по-малък от всеки остър праволинеен ъгъл (с рамена полуправи).”¹

Дейността може да се раздели на три стъпки. Първата е изложена в контекста на евклидовата геометрия (планиметрията), във втората се прави преход към подхода, използван в Математическия анализ, с оглед на въвеждането на понятието производна и накрая третата стъпка е посветена на разглеждането на точки, в които функцията не е диференцируема.

При завършването на първата стъпка учениците трябва да са разбрали, че допирателната към окръжността в дадена точка Α граничното положение на секущите ΑΒ, когато Β се приближава към Α, както и че частта от окръжността в малка околност на точката Α изглежда съвпадаща със своята допирателна.

Втората стъпка представлява изследване на свойствата, установени при първата стъпка. Отначало се изследва полуокръжността, разглеждана като графика на функция. Целта е да се направи преходът от геометричния към аналитичния контекст, както и да се подпомогнат учениците при намирането на уравнението на допирателната. След това учениците се занимават с допирателна към графиката на функция и се въвежда понятието производна. След завършването на втората стъпка учениците трябва да са разбрали определението на понятието производна на функция в точка и трябва да са установили връзката между производната в точка и наклона на допирателната към графиката в съответната точка. Накрая, в третата стъпка учениците изследват графиките на функции, които не са диференцируеми в някои точки. Освен това, с увеличаване на участък от графиката се опитваме да визуализираме липсата на “гладкост” в точка от графиката в този участък.

В края на третата стъпка учениците трябва да могат да разпознават кога дадена функция е или не е диференцируема в дадена точка. По-специално, те трябва да знаят, че ако при увеличение на графиката около съответната точка тя изглежда като права линия, то функцията е диференцируема в точката.

В добавка към въведената по-горе активност са разработени няколко работни листа, които дават възможност на учениците да изследват различни аспекти на диференцирането. При реализацията на тази дейност използваме EucliDraw среда, която предлага инструменти за динамична манипулация на геометрични форми и функции, зададени аналитично. За втората и третата стъпка компютърната среда е подготвена предварително, което определено е предимство, защото учениците получават възможност да се концентрират върху задачите от работния лист 4.1.1. Ако учениците познават EucliDraw средата предварително, то и през първата стъпка те могат сами да реализират конструкциите, които се изискват в съответните работни листове. В противен случай може да им се предостави подготвената предварително среда. Същото е в сила и за останалите работни листове.

В случай, че понятието производна е изучено предварително, то тази активност може да се използва за въвеждане на понятието допирателна към графиката на функция. В този случай работните листове трябва да се преработят подходящо. На втората стъпка учителят трябва да изясни връзката на вече известното понятие производна с наклона на допирателната към полуокръжността или графиката на функцията.

Тази активност (всички работни листове) може да се използва за въвеждането на производна в един елементарен курс по Математически ананиз. Предварителните сведения, необходими за учениците, привлечени към тази активност, са елементарните познания по евклидова геометрия (планиметрия) и по-специално познания за окръжността и нейните свойства, както и за функции, графики на функции и граници на функции. В частност, първата стъпка от работния лист 4.1.1 би могъл да бъде използван в курс по планиметрия, понеже не са необходими познания за функции и граници.

Необходимото време за първите две стъпки от работния лист 4.1.1, за които се препоръчва да се провеждат заедно, е около два учебни часа, а за третата стъпка – още един час. Препоръчваната продължителност за останалите работни листове е един учебен час.

4.1.1 Работен лист (Анализ)

Въведение в понятието производна
ПЪРВА СТЪПКА: “Допирателна към окръжност”

В “Елементите” Евклид твърди, че ако разглеждаме окръжност и нейната допирателна в една нейна точка Α, не съществува полуправа Αx, която лежи между допирателната и окръжността.

Да проверим верността на това твърдение.

За да мотивираме участието на учениците в тази активност използвахме опростена формулировка на Предложение III 16 от “Елементите” на Евклид, което гласи: “Правата, прекарана на прави ъгли от диаметъра на окръжност през неговия край попада извън окръжността и в мястото между правата и окръжността не може да се вмъкне друга права линия; освен това ъгълът на полуокръжността е по-голям, а оставащият ъгъл е по-малък (от кой да е остър праволинеен ъгъл).”

В нов EucliDraw файл начертайте окръжност с център O, нанесете точка A върху нея и права l през A , перпендикулярна на OA, която е допирателна към окръжността в точката Α.

На този етап учениците построяват самостоятелно фигурата, следвайки указанията. За препоръчване е точката Α по окръжността да се добавя след построяването на окръжността, така че окръжността да остава фиксирана при промяната на разположението на точката Α. Ако учениците не са свикнали достатъчно с работата в среди като EucliDraw можем да им предложим използването на предварително подготвения файл 4.1.1.a.activity.euc и да преработим съответно работния лист.

(Упътване: прекарайте права през A и, ако е необходимо, “увеличете” областта, съдържаща частта от фигурата около A, като използвате мащабиращия инструмент, за да проверите дали правата, която сте прекарали, притежава исканото свойство. Пробвайте различни положения на правата xx΄, като ги проверявате всеки път в мащабиращия прозорец.)

При построяването на тази права би било най-добре да построите отначало свободна точка x и след това правата xx΄ , която минава през точките x и Α. За да изменяте положението на правата x΄x е достатъчно да местите точката x. Учениците могат да оцветят правата xx΄ в цвят, различен от този на l и на окръжността, за да различават добре трите линии, когато те се приближават все повече и повече.

Възможно е някои ученици да твърдят, че са намерили права с горното свойство. Това може да се случи, защото изображението не е много ясно, когато правата xx΄ се приближава до l. Дори и всички ученици да твърдят, че няма права с горното свойство, за тях ще е много трудно да подкрепят своето твърдение с правилни аргументи. При всички случаи би било добре да се насърчат учениците да използват мащабиращия инструмент, като използват различни, достатъчно големи увеличаващи фактори, така че да установят, че прекараната права не върши работа. С приближаването на xx΄ към допирателната става все по-трудно да се визуализира разликата. Тогава учениците могат да отворят друг мащабиращ прозорец около свободна точка Κ. Местейки Κ все по-близо до Α, те могат да установят, че правата xx΄ не съвпада с l и че има и друга обща точка (освен A) на xx΄с окръжността. При всички случаи, когато xx΄ стане много близка до l, проблемът с визуализацията възниква отново, но учениците биха могли вече да формулират предположение за положението на тази права и да пристъпят към следния въпрос:

Очакваният отговор е, че участъкът от окръжността изглежда като допирателната. Основната цел на този въпрос е да насочи на интуитивно ниво учениците към свойството “локална изправеност”, което характеризира допирателната.

В3: Колко общи точки с окръжността има правата xx΄ , която не съвпада с ?

Отговорът на този въпрос е очевиден. От предшестващите разглеждания е ясно, че всяка права, минаваща през Α , различна от допирателната в тази точка, ще има освен Α и друга обща точка с окръжността. Този въпрос улеснява преминаването към следващата задача на този работен лист.

Ако xx΄ е права през точката A, различна от l, означете с B другата обща точка на тази права с окръжността. Местете точката B, така че да се приближава към точката Α.

В4: Какво можете да кажете за правата AB, когато точката B се приближава все по-близко до A?

В5: Можете ли да формулирате друга дефиниция на допирателната към окръжност в нейна точка A?

Този въпрос има за задача да помогне на учениците да формулират в явен вид, че “допирателната права е граничното положение на секущите прави AB , когато B се приближава към A”. Това е ново свойство на допирателната права, което може да се използва в случая на графика на произволна функция. На следващата стъпка ще се опитаме да дадем символно представяне (с формула) на това свойство. Ролята на следващия въпрос е да осъществи прехода към следващата стъпка.

Този етап от активността е свързан с предишния чрез въпроса “Какво бихте могли да кажете, ако вместо окръжност разглеждахме крива, която е графика на функция?” Най-напред разглеждаме полуокръжност, като графика на функция спрямо подходяща координатна система. Това е междинна стъпка преди преминаването към общия случай на графика на функция. Отначало от учениците се изисква да помислят върху възможностите за намиране на уравнението на допирателна към полуокръжността. Тази част от активността е реализирана в работния лист, и то не непременно в EucliDraw среда. След това учениците изказват предположения за положението на допирателната в конкретни точки от дадена графика. На следващата стъпка им се предлага предварително подготвен EucliDraw файл и чрез работния лист - подходящи инструкции за неговото използване. Ако учениците познават добре EucliDraw средата те могат самостоятелно да реализират различни конструкции.

На фигурата по-долу е начертана графиката на функцията

f(x) , която съответства на полуокръжност с ра­ди­ус 3 и център в началото на координатната система. Прекарани са до­пирателната към полуокръжността в точката Α и случайно из­бра­на секуща ΑΒ.

Опитайте се да отговорите на следните въпроси:

Очакваният отговор е: .

В този пункт за първи път въвеждаме пресмятане на наклона с помощта на границата: . Ако учениците са запознати с понятието производна, то на този етап те могат да минат напред към разкриване на връзката между наклона на допирателната към графиката на функцията и нейната производната.

Отворете EucliDraw файла 4.1.1.b.activity.euc, който изчертава гра­фика­та на функцията , както е пока­за­но на фигурата. Щракнете червеното квад­рат­че на мащабиращия бутон. Ще забе­ле­жи­те върху графиката точките B(x₀+h, f(x₀+h)) и C(x₀-h, f(x₀-h)). Можете да мените h , за да местите тези точки. Кога­то h намалява мащабиращият коефициент расте. Намалете h , за да пре­мес­тите точките B C по-близо до A и наблюдавайте какво се про­ме­ня в конструкцията. Записвайте вашите наблюдения.

На този чертеж сме построили графиката на функцията f(x)=sin(x) и сме нанесли една от нейните точки A(x₀, f(x₀)). Точката A може да се мести по графиката. Допълнително са поставени три различни бутона, които скриват построения, необходими при следващите въпроси. Необходимото построение се появява при щракване на червеното квадратче на съответния бутон. Би било разумно, преди завършването на активността учителят да насърчава учениците да изказват предположения за възможното положение на допирателната права към графиката в конкретна точка.

Тази част има за цел да запознае учениците със специфичните възможности на средата. В тази конструкция можем да правим промени, които засягат дължината на интервала, както и мащабиращия коефициент на увеличение. Мащабиращият коефициент k е реципрочната стойност на h (k =1/h). Ето защо, намаляването на абсолютната стойност на h увеличава абсолютната стойност на k, за да получаваме по-голямо увеличение, когато дължината на интервала около точката x_o става по-малка. Стойностите на h могат да бъдат и отрицателни. В такъв случай точките B и C сменят своето положение спрямо точката Α. Въпреки че, намалявайки, h като че ли стига стойност 0, това не се отразява на мащабиращия коефициент (=1/h) , понеже h=0.0000 е всъщност приближение на ненулева стойност и 1/h е дефинирано число.

Щракнете червеното квадратче на бутона secant lines (секущи прави), за да се появят секущите AB и AC точките B(x₀-h, f(x₀-h)) и C(x₀+h, f(x₀+h)) на кривата. Намалявайте h (абсолютната стойност) и наблюдавайте какво става с тези прави.

В9: Какво забелязвате в поведението на правите AB и AC , когато абсолютната стойност на h става все по-малка и по-малка?

На този етап строим последователни секущи, за да онагледим свойствата на допирателната не само чрез увеличаване на разглежданата околност на точката на допиране, но и илюстрирайки положението на допирателната като гранично положение на секущите, когато h клони към 0.

Щракнете червеното квадратче на бутона slope (нак­лон), за да се появят стойностите на наклоните на правите AB и AC. Намалявайте h и следете случващото се с нак­ло­ни­те на правите AB и AC. Внесете в таблицата по-долу стой­ностите на наклоните AB и AC , които съответстват на за­да­дените стойности на h:

Наклоните на секущите се пресмятат по фор­му­ла­та с помощта на инструмента formula (фор­му­ла) , предлаган от софтуера, както е показано в съ­сед­ната схема. Пресмятанията са указани в Hidden Objects (Скрити обекти), които са извън работната сре­да на учениците, което предотвратява възможно обър­кване сред тях. Използваме горната таблица за съх­раняване на данните за различните стойности на h и съответните стойности на наклоните. Различни групи ученици може да са из­бра­ли различни стойности на x₀ и да са получили съответно различни стойности за нак­лоните. При всички случаи наклоните ще клонят към определено число и из­пол­зването на различни стойности на x₀ само ще усили увереността в прав­дивостта на предположението, че такава сходимост е налице.

Нека f е функция и A (x, f(x)) е точка от нейната графика

В11: Можете ли да определите допирателната към графиката на функцията в точката A?
В12: Можете ли да напишете формула за пресмятане на наклона на тази права?
В13: Можете ли да напишете уравнението на тази права?

С тези въпроси се въвеждат понятията допирателна права и производна. Би било много интересно на този етап да се обсъдят различията и общото в понятията допирателна към окръжност, както е известна от евклидовата геометрия (планиметрията), и допирателна към графиката на функция, въведено по-горе. Съществено е учениците да осъзнаят, че определението на допирателна отразява “локално” , а не “глобално” свойство. Следващият въпрос ни въвежда в последната стъпка на активността.

Този етап от активността има за цел изследването на примери на не­ди­ференцируеми функции и е свързан с разглежданията в предишната стъпка чрез въпроса: “Можете ли винаги да намерите права с горното свойство във всяка точка от графиката на дадена функция?”

В разгледания преди файл от EucliDraw 4.1.1.b.activity.euc променете функцията, полагайки f(x)=abs(sin(x)).

(Упътване: С щракване на десния бутон на мишката върху графиката изберете Parameters (Параметри), за да се появи прозо-рецът за работа с функции. В него ще можете да дефинирате новата функция променяйки sin(x) на abs(sin(x)) и щраквайки след това бутона Redefine Function (Предефиниране на функция).)

Местейки точката A учениците ще установят “странното” поведение на секущите в точките от тип (x₀, 0).

Да изследваме отначало случая, когато точката A се намира в началото на координатната система O(0,0). Преместете точката A в началото на координатната система O. Намалявайте абсолютната стойност на h и записвайте вашите наблюдения относно:

1. 
   
   Каталог: calgeo
   calgeo -> Занятие първо въвеждаме по същество теоремата на Ферма, а след това излагаме нейното доказателство
   calgeo -> История на Математическия анализ
   calgeo -> 1. 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността
   calgeo -> 1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността
   calgeo -> 4. 2 Активност: Глобални и локални екстремуми Съдържание на активността
   
   
   
   Изтегляне 337.15 Kb.
   
   Сподели с приятели: