9. Хармонично трептене на мт с една степен на свобода. Енергия на харм трептене

Деф.Под трептене се разбира процес, при който дадена физ.велич. повтаря стойностите си (точно или приблиз.точно) през равни или прибл.равни интервали от време.

Към трепт. се отнасят процеси, които са разл. по своята физ.прир., но се подчин. на едни и същи условия и се характер. с сходни закономерности.

Необх.условия за възникване на трептене:

1) Да възниква причина(сила), която се стреми да върне трепт.с-ма в изходното и полож., когато тя бъде изведена от него.

2) Трепт.с-ма да се възбуди като в нея се внесе енергия.

Ще има хармон.трепт. ако на МТ действа само харм.сила от типа F=-kx, тогава в такава с-ма ще възникв.харм.трепт. (к-const-коеф. на пропорц., който зависи от еластичн.св-ва на трепт.с-ма, а х е отклонението от равн.полож.). Знака – показва, че силата действа обратно на отклонението.

На тази харм.сила съответства потенц.енергия: .Този вид на потенц.енерг. се нар. харм. потенц. енергия(потенциал). ; От II з-н на Нютон знаем: ; ; ;, тогава  - у-е което описва харм.трепт. на една МТ. x=x(t) – закон за движение; x(t)=A₀.cos(₀t+), където x – отклонението (елонгацията), А₀ – амплитуд.на трепт.=const, като А₀=x_max, ₀ – собств.кръгова честота на трепт.с-ма(тя се опред. от самите св-ва на трепт.с-ма – от еластичн. и от масата),  - нач. фаза на трептене. Графично изобразяване на x(t)=A₀.cos(₀t+):

Най-малкият интервал от време, след който трепт.с-ма повтаря стойностите си се нар.период на трептене. ;;₀A₀=v₀–ампли-туда на скоростта; v=-v₀sin(₀t+); ; ₀²A₀=a₀ – амплит.на ускор.=> а=-а₀.cos(₀t+).

При трепт. x(t), v(t), a(t) не са симфазни, а са дефазирани с /2;

F=-kx; ;  - коеф.на триене; ; ; ; полагаме ; ; Използва се комлексен метод z=x+iy; , ; ; ;

Принудените трептения са несвободни. В/у трептящата с-ма постоянно действа външна сила.

F₀ – амплитудата на външната принуждаваща сила;

=> ;

; полаг. , ; => ; x(t)z=x+iy; ;

; , ;

; ; 

;

;

1) = - периодите трябва да са равни;

2) ;

z=x+iy; ; ; ;

; ;

;

- закон за движ. при принуд.трепт.

Приндуд. трепт. се извършват с честотата на външната принуждаваща сила. Когато честотата на външната сила съвпада с резонансната честота, трепт. се извършват с макс.амплитуда. ;

Деф. Под вълна се разбира разпростр. в простр. на локално изменение на някаква физ.величина:

1) вълни в среда от клас.частици;

2) вълни в среда от клас.полета;

1)-вид са всички еласт. (звукови) вълни, които се разпростр. във всякакви (твърди,течни) среди, вълни в/у водна повърхност и др.;

2)-я вид са ел.магн.вълни (радио вълни, инфрачерв., ултравиол., рентген. и др.);

За разпростр. на 1)-вия вид вълни е необх.материална среда, тъй като те представляват колективно трепт.на частиците в средата (не се разпростр.във вакуум);

2)-рия вид се разпростр. и във вакуум, понеже те представл. и вълна и среда.

Нека разгл. вълна в равномерна среда, като частиците са свързани по между си с еластични сили. Нека да въздействаме в/у 1-на частица:

Възникват некомпенсирани сили м/у другите частици, при което действа и на тях и постепенно се предава. Съществ. фазово закъснение.

Вълната представл.колективно трепт.на частиците на средата с някакво фазово закъсн.една спрямо друга, като трепт. се извършва около равновестното полож.

В зависим.от посоката в която трепт.вълните са:

- надлъжни – част.трепт. в направ.успоредно на направл.на разпростр.на вълната;

- напречни – част.трепт. в направл.перпендикулярно на направл.на разпростр.на вълната’;

Надлъжните се разпростр. във всякакъв вид (течни, твърди и газообр.) среди, тъй като те са свързани с еластич.на обема; Напречните вълни могат да се разпростр.само в твърди среди, тъй като са свързани с еластич.на формата;

При 1)-вия тип вълни имаме пренос на енергия заедно с вълната, но не се пренася в-во; При 2)-рия вид вълни се пренася и енергия и маса.

Вълнов фронт- геом.място на точки, до които в даден момент е достигнала вълната. В завис.от геом.на вълновия фронт вълните биват:

- линейни, които се разпростр.по една ос (вълновия фронт е точка);

- плоски вълни (тримерни) – въл.фронт е равнина;

- сферични – вълни, които се възбуждат от една точка и се разпростр.във всички посоки;

S(x,t)-елонгация; S(x,t)=A.cos((t-x/v)+) – у-е на линейна вълна; А – амплитудата,  - кръг.честота, v – скоростта на вълната,  - нач.фаза; Ф(x,t)=(t-x/v)+ - пълна фаза на вълната; /v =к – вълново число:  S=A.cos(t-kx+); За плоска вълна  , :

- у-е на плоска вълна;

За сферична вълна ъгълът м/у k и r е 0: ; A/r – амплитуда на трепт., която намалява с отдалеч.от равн.полож. T=2/-временен период на вълната; Най-малкото разстояние, на което трепт.на вълната се повтаря се нар. дължина на вълната или простр.период: =2к=vТ;

Групова скорост – скоростта, с която се разпростр. в пространството определена характерна точка на въл.

За монохром.вълни груповата и фаз.скорости съвпадат

Немонохром.е съвкупност от монохроматични:

Груповата скорост е скоростта, с която се разпространява енергията на вълната;

В някои среди груповата и фазовата скорост се разпростр.под ъгъл една спрямо друга.

;

; ; , =k.Vф 

k=2/; ;

V_ф= V_ф() – дисперсия; В завис.от дисп.средите са:

1) среда с норм.дисперс. – dv_ф/d>0; v_грф;

2) среда с анорм.дисперс. - dv_ф/d<0; v_гр>v_ф;

3) среда без дисперс. - dv_ф/d=0; v_гр=v_ф;

В среда с анорм.дисперс. пристига първо С, след това З и накрая Ч.

Деф. Интензитета се дефинира по следн.начин – равен е на енергията, която преминава през напречното сечение за единица време;

; - Е_­0 – енерг.на една частица;

Е₀=m.²A²/2;  ;

Интенз. е пропорц.на амплитудата на вълната.

Интерф.е измен.на средния интензитет на вълните в резултат от наслагването на вълните, при което в едни точки се наблюд.усилване на вълните (макс. на амплитуд) за сметка на отслабването (гасенето) на вълните в др.точки. В тях се получ.миним.на амплитуд

Вълните се наслагват по принципа на суперпозиц., който гласи: При своето разпростр.вълните не си влияят взаимно една на друга, а се разпростр.независ. като елонгацията на резултантната вълна е векторна сума от елонгац.на отделните наслагв.се вълни, а не е в сила сума на интензитетите;

За да интерфер.две вълни трябва да бъдат кохерентни Две вълни са кохер.ако са изпълнени условията:

1) ₁=₂  (к₁=к₂); 2) ₂-₁=const;

За пример се взема интерф.на 2 сфер.вълни:

A²=A₁²+A₂²-2A₁A₂.cos(180-)=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos;

A²= A₁²+A₂²+2A₁A₂cos /.c’;

;

- начин за събиране на интензитетите;

1) ако cos=1  ;

2) ако cos=-1  ;

=₂-₁=(t-kr₁)-(t-kr₂)=k(r₂-r₁);

Симфазните вълни се усилват, а противофазните – намаляват; k=2/; =₂-₁=k(r₂-r₁);  max: r₁-r₂=n=2n/2; min: r₁-r₂=(2n+1)/2;

Стояща вълна – вълна, която се получава при интерференцията на две бягащи вълни;

S=S₁+S₂=A.cos(t-kx)+A.cos(t+kx)=2A.coskx.cost – у-е на стояща вълна;

Възли на ст.вълна – точки с нулева амплитуда;

Върхове на ст.вълна – точки с max амплитуда;