Алгебра и алгебрична геометрия

Основни резултати получени през годината

Ета-функцията на Дедекинд играе важна роля в различни клонове на математиката и теоретическата физика. Един начин за конструирането на функцията на Дедекинд е да се използва явната формула за регуляризираните детермианти на Лапласиана на плоската метрика на действието на формите от тип (0,1) върху елиптични криви. Холоморфната част на регуляризираната детерминанта е Дедекиновата ета-функция. Този подход е обобщен с приложение за случая на К3-повърхнини. Дадена е явна формула за регуляризината детерминанта на Лапласиана за метрика на Калаби-Яу на К3-повърхнина, като е следвана на Р. Борчердс. Холоморфната част на регуляризираната детерминанта е многомерният аналог на Дедекиновата ета-функция. Дадена е явна формула за броя на гладките рационални криви с фиксиран обем спрямо метриката на Ходж в случая на К3-повърхнина, чиято група на Пикар е четна унимодулярна решетка, посредством използване на холомофната част exp_{3,19} на регуляризираната детерминанта det_{(0,1)}. Представена е и комбинаторна интерпретация на ограничението на автоморфната форма exp_{3,19} върху пространството на модулите на К3-повърхнини, чиято група на Пикар е унимодулярна решетка в случаите на т.нар. “A” и “B” модели.

а/ Съвместно с Кристиан Ранестад от университета в Осло е доказано, че при деформацията на кубиката на Пфаф към обща кубика, многообразието VSP(F,10) се деформира към нов вид проективно хиперкелерово многообразие, извън известните дотогава примери на такива обекти: двете безкрайни серии на Бовил, многообразието на Бовил-Донаги и двата примера на О’Грейди.

б/ Съвместно с Лоран Манивел от институт “Фурие” в Гренобъл е установено съществуването на един специален вид лагранжеви фибрации, съставени от якобиани на многообразия на Фано. Задачата се свежда до проверка на условията за лагранжевост на алгебрична фамилия от комплексни торове в два специални случая: фамилията от 21-мерните якобиани на гладките 5-мерни кубики, съдържащи фиксирана обща 4-мерна кубика и фамилията от якобиани на гладки многообразия на Фано от индекс 1 и род g, съдържащи фиксирана обща К3-повърхнина от род g. За отбелязване е, че досега подобна алгебрична лагранжева фамилия от якобиани (алгебрична интегрируема система), непроизлизащи от якобиани на криви, е била известна само в един случай, описан в началото на 90-те години от Донаги и Маркман – фамилията от 5-мерни якобиани на гладки 3-мерни кубики във фиксирана 4-мерна кубика.
Валентин Илиев

През 2006 г. основната работа беше съсредоточена върху завършване на описанието на дериватите на циклопропана и на заместителните реакции между тях с изключение на тези от вида (16), (2,14), (22,12).

В съвместна работа с H. Lange са изследвани инвариантите на поляризациите на многообразия на Прим-Тюрин асоциирани с фиксирано покритие на Галоа на алгебрична крива от произволен род с група на Галоа, изоморфна на група на Вайл и различни тегла на съответната корнева група. Изчислени са инвариантите за групи на Вайл от тип Bn при n ≤ 3. Подготвя се съвместна публикация.

а/ Съвместно с Джиетаи Ю от Университета в Хонг е решена хипотезата за съкращение за свободни алгебри от ранг 2: Ако комплексната свободна алгебра C от ранг 2 е изоморфна на свободното произведение A*C[z], то A е изоморфна на полиномната алгебра C[t].

б/ Съвместно с Леонид Макар-Лиманов от Университета Уейн в Детройт, САЩ, е показано, че локално нилпотентните диференцирания на свободната алгебра C се определят еднозначно, с точност до мултипликативна константа, от своята алгебра от константи (т.е. от ядрото си).

в/ Съвместно с Ралф Холткамп от Рурския университет в Бохум, Германия, са изучени алгебрите от инварианти на циклична група от матрици, действаща върху абсолютно свободната алгебра с произволен набор от n-арни операции. Изненадващо се оказва, че при пресмятането на редовете на Хилберт на алгебрите от инварианти по естествен начин се появяват елиптични интеграли.

г/ Съвместно с Франческа Бенанти от Университета в Палермо, Италия, са намерени всички определящи съотношения от минимална степен на алгебрата на инвариантите на три или повече матрици от трети ред. Изненадващо се оказва, че минималната степен е 7 (за разлика от случая на две матрици, когато тази степен е 12) и има множество съотношения от седма степен.
Георги Генов

През 2006 г. бяха изследвани редовете на кратностите на една серия от симетрични функции. Получено бе, че те са неприводими рационални функции с точно определени знаменатели и с числители – целочислени нормирани реципрочни полиноми. Получените резултати са използувани за установяване на редица свойства на редовете на Хилберт на алгeбрите на инвариантите на линейни унипотентни оператори с жорданова нормална форма, съставена само от клетки от втори ред. Конкретно изчислени редове на Хилберт са използувани за получаване на нов тип доказателства на някои резултати на А. Новицки.

В съавторство с проф. Ст. Миховски и проф. Т. Моллов бе написан и даден за печат нов учебник по алгебра, предназначен за студентите от Пловдивския университет.
Георги Томанов

a/ Доказана беше хипотезата Б. Вайс за орбити на максимални торове върху S-адични еднородни пространства.

b/ Получено е широко обобщение на резултат на Д. Ферте относно описанието на потоците на Вейл в термините на действието на групи върху границите на Фюрстенбърг на симетрични пространства.
Димитър Стефанов

През 2006 г. e работил главно по дисертацията си в щатския университет на Флорида в Талахаси, САЩ.

През 2006 г. е работил основно по дисертацията си, отнасяща се за действието на групата PGL(4) върху пространството P^N, параметризиращо повърхнини от фиксирана степен в проективното прастранство. Орбитата на повърхнина под това действие е образът на рационално изображение от P¹⁵ към P^N. Затворената обвивка е интересен и естествен обект за изучаване. Нейната пра-степен е дефинирана като степента на горното изображение, ограничено върху общо подпространство P^j, където j е размерността на орбитата. Намерени бяха пра-степените, а също и други инварианти на всички повърхнини. Съществената информация се съдържа в т.нар. пра-степенни полиноми, които притежават добри мултипликационни свойства, позволявайки ни лесно да намерим полиномите на различни видове от специални конфигурации от равнини. Пра-степенните полиноми отделно имат и самостоятелна комбинаторна и геометрична значимост.

Отправна точка за изследванията ми през отчетния период бе фактът, че съвършено поле Е е ненаредено и квазилокално тогава и само тогава, когато силовите про-p-подгрупи G(p) на абсолютната група на Галоа на Е е p-група от дьомушкинов тип, където p пробягва множеството Q(E) на онези прости числа p, за които G(p) е нетривиална. Основни кохомологични инварианти за поле Е от разглеждания вид са степените d(p) на G(p), т.е. размерностите на втората група непрекъснати кохомологии на G(p) с коефициенти в полето с p елемента. Това описание е намерено с използването на основните свойства на полетата от функции на многообразията на Брауер-Севери, както и на разлаганията на периодични модули на Галоа от типа на Машке, съчетано с прилагането на техниката на т.н. спускане на А. Вейл. От този резултат следва, че периодична абелева група се реализира като група на Брауер на квазилокално поле точно тогава, когато тя е делима или има ред 2.

С Шах Маджид бяха продължени изследванията в квантови групи на теоретико-множествени решения на уравнението на Янг-Бакстер (YBE), (X,r). В духа на белязани двойки от полугрупи и групи, бяха дефинирани и изследвани М3-моноиди (S,r_S) (полугрупов аналог на т.нар. групата на плитките (braided groups)). Намерена бе точна характеристика кога r_S удовлетворява YBE. Приложен бе подхода на белязани двойки за изучаването на регулярни разширения на решения на YBE. Намираме необходимо и достатъчно условие регулярно разширение (Z,r) =X U Y да удовлетворява YBE: а) комбинаторни-в термините на лявото и дясно действие и б) в термините на белязани двойки за асоциираните полугрупите S=S(X,r₁) и T=S(Y,r₂). Тези резултати бяха приложени за да се докаже, че разширението (Z,r) на решенията (X,r₁) и (Y,r₂) е решение на YBE тогава и само тогава, когато асоциираната полугрупа U=S(Z,r) e двойно косо произведение на полугрупите S=S(X,r₁) и T=S(Y,r₂). Доказан беше и аналогичен резултат за групата G(Z,r). Получени бяха приложения за инволютивни, неизродени разширения (Z,r) на (X,r₁) и (Y,r₂), и за обобщени засукани разширения. Teзи резултати и асоциирания граф (дефиниран в по-ранни мои работи) се използват за изследване на символно смятане (Symbolic Computations) в един важен клас решения на (YBE), т.нар. решения свободни от квадрати (виж “Set-theoretic solutions of YBE, graphs and computations”).

Изследвани бяха линейните серии върху общи комплексни алгебрични криви от гоналност 6 и 7. Получени са резултати за класификацията им в термините на типовете въведени от М. Копенс и Г. Мартенс, както и резултати за съществуване на различни компоненти на многообразията от линейни разслоения, чийто общ елемент е един от идентифицираните типове.

Публикации (пълно библиографско описание)

2.1.1. в чужбина

2.1.1.1 излезли от печат през 2006 г.

1) Kanev, V. Hurwitz spaces of Galois coverings of P^1, whose Galois groups are Weyl groups, J. Algebra 305, (2006), no. 1, 442-456.

2) Aslaksen, H.; Drensky, V.; Sadikova, L. Defining relations of invariants of two 3x3 matrices, J. Algebra 298 (2006), 41-57.

3) Drensky, V.; Genov, G.; Valenti, A. Multiplicities in the mixed trace cocharacter sequence of two 3x3 matrices, International J. Algebra and Computations 16 (2006), no. 2, 275-285.

4) Benanti, F., Drensky, V. Defining relations of noncommutative trace algebra of two 3x3 matrices, Adv. Appl. Math. 37 (2006), no. 2, 162-182.

5) Drensky, V.; Holtkamp, R. Constants of formal derivatives of non-associative algebras, Taylor expansions and applications, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Ser. II 55 (2006).

6) Drensky, V., La Scala, R. Grobner bases of ideals invariant under endomorphisms, J. Symbol. Comp. 41 (2006), no. 7, 835-846.

7) Drensky, V., Yu, J.-T. The strong Anick conjecture, Proc. Nat. Acad. Sci. 103 (2006), no. 13, 4836-4840.

8) Chipchakov, I. Class field theory for strictly quasilocal fields with Henselian discrete valuations, Manuscripta mathematica 119 (2006), no. 3, 383-394.

9) Iliev, H. On the irreducibility of the Hilbert scheme of space curves, Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), 2823-2832.

2.1.1.2 приети за печат през 2006 г.:

1) Iliev, A.; Ranestad, K. The abelian fibration on the Hilbert cube of a K3 surface of genus 9, e-print math.AG/0507016; International Journal of Math (to appear).

2) Iliev, A.; Manivel, L.; Pfaffian Lines and Vector Bundles on Fano Threefolds of Genus 8, e-print math.AG/0504595; Journal of Algebraic Geometry (to appear)

3) Iliev, A.; Markushevich, D. Parametrization of Sing(Theta) for a Fano threefold of genus 7 by moduli of vector bundles, e-print math.AG/0403122, Asian Journal of Math. (to appear)

4) Iliev, V. The Genetic Reactions of Cyclopropane. Part I, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. (to appear)

5) Drensky, V., Yu, J.-T. Automorphic equivalence problem for free associative algebras of rank two, International J. Algebra and Computations (to appear).

6) Drensky, V., Yu, J.-T. The strong Anick conjecture is true, J. European Math. Soc. (to appear).

7) Drensky, V., Yu, J.-T. Tame automorphisms fixing a variable of free associative algebras of rank three, International J. Algebra and Computations (to appear).

8) Drensky, V., Yu, J.-T. Coordinates and automorphisms of polynomial and free associative algebras of rank three, Front. Math. China 2 (2007), no. 1, 13-46 (to appear).

9) Tomanov, G. Divergent orbits on S-adic homogeneous spaces, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (to appear).

10) Tomanov, G. Values of decomposable forms at S-integral points and tori orbits on homogeneous spaces, Duke Mathematical Journal (to appear).

11) Iliev, H. A refinement of the classical Clifford inequality, Journal of the Korean Mathematical Society, 44 (2007), no. 4 (to appear).

2.1.2. в България

2.1.2.1. излезли от печат през 2006 г.

1) Drensky, V.; Sadikova, L. Generators of invariants of two 4x4 matrices, C.R. Acad. Bulg. Sci. 59 (2006), no. 5, 477-484.

2.1.2.2. приети за печат през 2006 г.

1) Drensky, V. Computing with matrix invariants, Math. Balk., New Ser. 21 (2007) (to appear).

2.4. Издадени през 2006 г. учебници и печатни учебни пособия

1) Г. Генов, Ст. Миховски и Т. Моллов, Учебник по алгебра (за студентите от Пловдивския университет).

План за работата през 2007 г.

Атанас Илиев

а/ В неотдавнашна работа на К. Мадона е дадено описание на всички евентуално възможни векторни разслоения без междинни кохомологии върху многообразия на Фано от индекс 1, но въпросът за съществуването на част от тези разслоения остава открит. Съвместно с Кристиан Ранестад от университета в Осло планираме да подготвим за печат работа относно съществуването на някои от векторните разслоения от списъка на К. Мадона.

б/ Планирам съвместна работа с Оливие Дебар от университета в Страсбург върху описанието на особеностите на тета-дивизора на якобиана на многообразие на Фано от степен 10.
Валентин Илиев

През 2007 г. основната дейност ще бъде посветена за писането на монография, посветена на теорията на Лан-Сеньор за изомерията в органичната химия.

Васил Кънев

Ще бъде продължена работата по изчисляване на инвариантите на поляризациите на многообразия на Прим-Тюрин, асоциирани с покрития с монодромна група, изоморфна на група на Вайл. Ще бъде продължена работата по пространства на Хурвиц, параметризиращи покрития от степен 5 и многообразията на Зигел A_3(1,1,5).

Веселин Дренски

а/ Съвместно с Роберто Ла Скала от Университета в Бари, Италия, ще бъдат намерени определящите съотношения от степен 12 и 13 на алгебрата на инвариантите на две матрици от четвърти ред.

б/ Ще бъдат завършени изследванията с Лотар Геритцен от Рурския университет в Бохум, Германия, върху апроксимацията на реда на Хаусдорф за свободната алгебра на Ли
Георги Генов

Възнамерявам да продължа предходните изследванията като следващата стъпка ще бъде да се получат подобни резултати за алгебрите на инвариантите на линейни оператори с жорданова нормална форма съставена само от клетки от ред 3. Една от целите е да се получат нови резултати за този тип алгебри.

Георги Томанов

През 2007г. възнамерявам да работя по хипотезата на Литълууд от теорията на Диофантовите апроксимации на числата и свързаните с нея неотдавнашни резултати на Айнсайдлър, Каток и Линденщраус.

Димитър Циганчев

През настоящата 2007 г. възнамерявам да продължа работата си по намиране на пра-степенните полиноми на произволни повърхнини и да публикувам получените досега резултати.

Иван Чипчаков

а/ Да се направи съществена стъпка към изчерпателното характеризиране на основните типове стабилност в класа на полетата с хензелеви нормирания, в т.н. случай на равни характеристики, като се получи окончателен резултат за дискретни нормирания.

б/ Да се изясни дали групите на Брауер на квазилокалните полета с хензелеви нормирания и напълно неделими групи от значения се влагат във фактор-групата на рационалните числа по подгрупата на целите числа. Тази задача възниква естествено при изучаването на връзките между абстрактната локална теория на полета от класове и проразрешимите абсолютни групи на Галоа.
Татяна Гатева-Иванова

a/ Ще бъдат изследвани специални класове решения на YBE-обобшени засукани разширения и мултипермутационни решения. Задачи: 1) Да се определи как зависи мултипермутационната степен mpl Z на разщирението ( Z,r) = X U Y от степените mpl X, mpl Y на компонентите (X,r₁) и (Y,r₂) Вярно ли е, че ако (X,r) е свободно от квадрати мултипермутационно решение от степен mpl X=n, то се представя като обобщено засукано разширение на решения от по-ниска степен?

б/ Ще бъде изследвана групата от автоморфизми Aut(X,r) на решения, свободни от квадрати, и по специално на обобщени засукани разширения на решения, свободни от квадрати.

в/ Вярно ли е, че ако (X, r) е теоретико-множествено решение на УВЕ, с условие за 2-съкрашение, (r(a,b)=(a,c) => b=c), и (r(a,b)=(c,b)=> a=c), то асоциираният УВЕ-моноид S(X,r) е със закон за съкращение.

г/ Съвместно с Дмитрий Румънин от университета на Уороик, ще бъдат продължени изследванията върху т.нар. наредени Braid Monoids B (полугрупи на плитките). Ще използваме получените вече резултати за изучаване на асоциираните Алгебри на Хеке H(B). Получените резултати ще се използват за изучаване на асоциираните алгебри на Хеке H(B).
Христо Илиев

а/ Ще бъде продължена работата по пресмятането на линейни серии върху общите алгебрични криви от гоналност 6 и 7, като целта ще е да се направят геометрични конструкции на криви с различни типове компоненти на многообразията им от линейни разслоения от фиксирана степен и размерност.

б/ Ще се работи и върху конструирането на семейства от алгебрични криви с фиксирани инварианти за които т.нар. число на Брил-Ньотер е -1 или 0.

Членове на работния колектив от секция “Алгебра” на ИМИ, БАН за 2006 г.

Учени (научно звание и степен, име и фамилия):

Специалисти с висше и средно образование (длъжност, име и фамилия):

Доц. д-р Андрей Николов Тодоров Ст.н.с.II ст., д-р Атанас Илиев Илиев Ст.н.с.II ст., д-р Валентин Ванков Илиев Ст.н.с.II ст., д-р Васил Иванов Кънев Чл.-кор., ст.н.с.I ст., д.м.н. Веселин Стоянов Дренски Ст.н.с.II ст., д-р Георги Кузманов Генов Ст.н.с.II ст., д.м.н. Георги Методиев Томанов Д-р Димитър Георгиев Циганчев Ст.н.с.II ст., д-р Иван Делчев Чипчаков Ст.н.с.II ст., д-р Татяна Велкова Гатева-Иванова Н.с. III ст. д-р Христо Красимиров Илиев

Димитър Георгиев Стефанов

Отчетът е приет от Научния съвет на звеното с Протокол № ........... от ............................................, точка...........


ПОДПИСИ И ПЕЧАТ

Ръководител на проекта:
Директор на звеното:

Каталог: algebra -> Report2006
algebra -> Полиноми с рационални коефициенти. Критерий на Айзенщайн
algebra -> Характеристика на поле. Основни свойства на полетата с ненулева характеристика
algebra -> Крайни полета
algebra -> Конкурс по алгебра Петър Кирилов Русев, който впоследствие става аспирант на Любомир Илиев и се занимава с комплексен анализ
algebra -> Научни публикации в списания и поредици
algebra -> Анотация На проект Алгебра, логика, алгебрична геометрия и приложения
algebra -> Групи Определение
Report2006 -> Отчет на секция "Алгебра" към ими-бан за 2006 г. Съдържание Връзка на научната проблематика на секцията с националните и международни приоритети

Изтегляне 118.85 Kb.

Сподели с приятели: