Чист опън и чист натиск напрежения и деформации при чист опън и чист натиск



страница1/4
Дата03.09.2017
Размер0.86 Mb.
  1   2   3   4
ГЛАВА 4
ЧИСТ ОПЪН И ЧИСТ НАТИСК
4.1. Напрежения и деформации при чист опън и чист натиск

Даден конструктивен елемент от гредови тип е натоварен на чист опън или чист натиск, когато в произволно негово напречно сечение само надлъжната сила N е различна от нула, а останалите разрезни усилия са равни на нула, т.е.



, , , , , . (4.1)

Типичен пример в това отношение са прътите на ставно-прътовите системи, известни от курса по Теоретична механика.



Фиг. 4. 1

Чист опън имаме, когато надлъжната сила е положителна. Ако надлъжната сила е отрицателна, тогава напрегнатото състояние е чист натиск. Очевидно е, че прътът от фиг. 4.1а е натоварен на чист опън. Прът, подложен на чист натиск, е показан на фиг. 4.1б. Трябва да се отбележи, че и в двата случая външната концентрирана сила F е приложена центрично, т.е. директрисата на силата съвпада с надлъжната ос на пръта (фиг. 4.1а,б). Ако собственото тегло на пръта се пренебрегне, тогава за случаите от фиг. 4.1а,б надлъжната сила N има постоянна стойност по оста на пръта.

Външното натоварване обаче може да включва както концентрирани осови сили, така и разпределени осови товари. Ясно е, че в по-общ случай на натоварване надлъжната сила е променлива величина по оста на пръта. В зависимост от натоварването в един и същи прът може да има участъци, работещи на чист опън и такива, работещи на чист натиск.

Да преминем към определяне на нормалните напрежения х в едно произволно напречно сечене на прът, натоварен на чист опън или чист натиск. Съгласно резултатите от гл. 3 и като вземем предвид (4.1) получаваме

сист. , (4.2)

откъдето имаме

. (4.3)

Тук А е лицето на напречното сечение на пръта. По-нататък ще използваме предпоставката, че нормалните напрежения са разпределени равномерно по напречното сечение, т.е. Тази предпоставка се основава на опитно установения факт, че в прът, натоварен на чист опън или чист натиск, сеченията, които преди деформацията са равнинни и перпендикулярни на оста на пръта, остават такива и след деформацията (хипотеза на Бернули), като само се изменят разстоянията между тях (при опън разстоянията се увеличават, а при натиск те намаляват). По принцип тази предпоставка се отнася за случая, когато напречното сечение е постоянно по дължината на пръта. Опитът показва, че предпоставката може да се използва и когато напречното сечение се изменя плавно по дължината на пръта. Щом , от (4.3) получаваме



. (4.4)

Фиг. 4. 2

Диаграмата на нормалното напрежение е правоъгълник (фиг. 4.2а). В някои случаи вместо диаграма на нормалното напрежение се чертае тяло на напрежението . Да разгледаме един опънат прът с правоъгълно напречно сечение (фиг. 4.2б). Тялото на напрежението представлява призма с основа напречното сечение на пръта и височина, равна на напрежението . Ако имаме натиснат прът, тялото на напрежението е със същата форма. Стрелките обаче трябва да бъдат насочени към напречното сечение.

По опитен път е установено, че връзката между нормалното напрежение и надлъжната деформация на пръта е линейна, т.е. валиден е простият закон на Хук



, (4.5)

където Е е модулът на линейна деформация на материала.

Трябва да се подчертае, че уравнение (4.5) може да се прилага само ако напрежението не надвишава определено гранично ниво, зависещо от материала.

Да разгледаме едно наклонено сечение, чиято нормала сключва ъгъл с положителната посока на оста х. Предвид еднородния характер на напрегнатото състояние на пръта е логично да се приеме, че пълното напрежение върху площадките от наклоненото сечение е успоредно на надлъжната сила и има постоянна големина (фиг. 4.3а). Тогава от равновесното условие имаме



, (4.6)

където е лицето на наклоненото сечение. Като вземем предвид, че от уравнение (4.6) получаваме



. (4.7)

Фиг. 4.3


Разлагаме пълното напрежение на нормална и тангенциална компонента (фиг. 4.3б). Резултатът е

, . (4.8)

След елементарни преобразования окончателно получаваме



, . (4.9)

Вижда се, че формули (4.9) съвпадат с формулите от гл. 3 за определяне на нормалното и тангенциалното напрежение върху произволна площадка при едномерно напрегнато състояние. Изследването на напреженията се извършва аналитично или графично (прилагат се методите, разгледани в гл. 3).



Фиг. 4. 4

Ще се спрем на проблема за концентрация на напреженията при чист опън или чист натиск. Под концентрация на напреженията ще разбираме нарастване на напреженията в сравнение с номиналните (определени по формула (4.4)) в места, където имаме изменение на напречното сечение на пръта. На фиг. 4.4 са показани два източника на концентрация на напреженията в пръти, натоварени на чист опън. На фиг. 4.4а в пръта има центрично разположен кръгъл отвор, а на фиг. 4.4б напречното сечение е отслабено с два симетрично изрязани полукръга. Логично е да се предположи, че изменението на напречното сечение на пръта води до нарушаване на равномерното разпределение на напреженията х, т.е. получава се концентрация на напреженията. За количествена оценка на концентрация на напреженията се използва отношението , което се нарича коефициент на концентрация на напреженията. Колкото по-рязка е промяната в напречното сечение, толкова по-голям е коефициентът на концентрация на напреженията. Номиналното напрежение за случаите от фиг. 4.4а,б се намира по формулата , където t е дебелината на пръта. Максималното напрежение max се определя с решение по Теория на еластичността, или се намира по експериментален път. За по-често срещаните случаи коефициентът k се дава в справочната литература. Например за кръгъл отвор имаме k =3.

Както вече отбелязахме, връзката между напреженията и деформациите се дава с простия закон на Хук (4.5). Тогава за линейната деформация имаме



. (4.10)

В гл. 3 беше показано, че връзката между линейната деформация и преместването u по оста х се дава с частната производна . Тъй като при чист опън или чист натиск е валидна хипотезата на Бернули, а нормалното напрежение е разпределено равномерно по сечението, преместванията на точките от пръта имат компонента само по оста х, т.е. u зависи само от х. Следователно връзката между x и u се дава с обикновена производна, т.е.



. (4.11)

Като използваме простия закон на Хук, получаваме следното диференциално уравнение за u(x):



. (4.12)

Като вземем предвид формула (4.4), окончателно получаваме



. (4.13)

Това диференциално уравнение е с отделящи се променливи. След интегриране получаваме



. (4.14)

Интеграционната константа С се определя от граничните условия. Например за прътите от фиг. 4.1 граничното условие е u(0)=0, тъй като запънатото сечение е неподвижно (тук е взето предвид също, че абсцисата х се измерва от запъването).

Нека имаме прът с дължина l и постоянно напречно сечение, натоварен на чист опън или чист натиск с две концентрирани сили, приложени в краищата му. Удължаването (или скъсяването) l на пръта се определя по формулата , която се получава след като се замести (4.4) в (4.10) и се вземе предвид, че в случая .
4.2. Статически определими и статически неопределими системи при чист опън и чист натиск

За да определим напреженията и деформациите в прът, натоварен на чист опън или чист натиск, първо трябва да намерим надлъжната сила във всяко напречно сечение на пръта. Ако задачата е статически определима, това може да стане с уравненията на статиката. При статически определимите задачи броят на неизвестните опорни реакции (или прътови усилия) е равен на броя на уравненията на статиката. В инженерната практика обаче много често се използват статически неопределими системи, т.е. броят на неизвестните n е по-голям от броя на уравненията на статиката s. Тук ще припомним, че при система съравнинни сили броят на уравненията на статиката е три, а при система съначални съравнинни сили този брой е две, както е известно от курса по Теоретична механика. Разликата между броя на неизвестните и броя на уравненията на статиката дава степента на статическа неопрделимост k на разглежданата система, т.е. . Очевидно е, че за да решим дадена статически неопределима задача трябва да съставим k броя допълнителни уравнения. Тези уравнения се съставят като се отчита обстоятелството, че разглежданата система е деформируема. По своята същност допълнителните уравнения представляват геометрични зависимости между деформациите на отделните елементи на системата. Ето защо те се наричат уравнения на геометрията. Деформациите в уравненията на геометрията се изразяват чрез надлъжните сили, като се приложи законът на Хук. Накрая уравненията на статиката се решават съвместно с уравненията на геометрията за да се получат търсените неизвестни.

Този начин за изследване на статически неопределими системи ще илюстрираме с един пример.

Пример 4.1. Да се определят усилията в пръти BD и CH на системата, показана на фиг. 4.5а, ако греда АС е абсолютно корава (недеформируема). Прътите са изработени от един и същи материал. Отношението между лицата на напречните сечения на прътите е А1:А2=1:2. Системата е натоварена със сила F=60 kN. Прът СН сключва ъгъл =500 с вертикалната ос.

Фиг. 4. 5



Решение: Системата е един път статически неопределима. Съставяме уравненията на статиката за греда АС

: ,

: , (4.15)

: .

За да съставим уравнението на геометрията ще използваме деформираната схема на системата, показана на фиг. 4.5б. При получаване на деформираната схема е взето предвид, че прътите при даденото натоварване ще претърпят удължение, така че греда АС ще се завърти около опора А и ще заеме положение АС1. Точки В и С съответно ще заемат положения В1 и С1. Тъй като греда АС е недеформируема, нейната ос ще остане праволинейна, така че точки А, В1 и С1 ще лежат на една права. От подобните триъгълници АВВ1 и АСС1 имаме



, (4.16)

което е уравнението на геометрията в разглеждания случай. За удълженията на пръти ВD и CH съгласно простия закон на Хук съответно имаме



и . (4.17)

Вертикалното преместване ВВ1 е равно на l1. По-сложен е въпросът за вертикалното преместване СС1. Точка С ще се премести по дъга от окръжност с център А и радиус АС, тъй като греда АС е недеформируема. Дъгата може да се замени с отсечка, перпендикулярна на направлението на гредата преди деформирането на системата, понеже е валидна хипотезата за малките деформации. Тази хипотеза също ни дава основание да приемем, че ъгъл НС1С е равен на (фиг. 4.5б). Тогава от правоъгълен триъгълник СС1С2 получаваме



. (4.18)

Заместваме (4.17) и (4.18) в (4.16). Така полученото уравнение решаваме съвместно с третото уравнение от (4.15). По този начин за усилията в пръти BD и CH съответно получаваме



, . (4.19)

Компонентите на реакцията в опора А можем да определим от първото и второто уравнение на (4.15). За проверка на получените резултати можем да съставим моментово уравнение например за приложната точка на силата F (фиг.4.5а).

След заместване на F и с техните стойности в (4.19) получаваме S1=33,928 kN, S2=43,616 kN. Трябва да се изтъкне, че формули (4.19) са валидни при зададеното съотношение А1:А2=1:2. Ако съотношението между лицата на напречните сечения на прътите се промени, усилията S1 и S2 също ще претърпят промяна. Това ни дава основание да формулираме следния извод: разпределението на усилията в статически неопределимите системи зависи от съотношението на лицата на напречните сечения на отделните пръти. Ако прътите са изпълнени от различни материали, може да се покаже, че усилията зависят от съотношението на коравините на прътите (коравината на прът при чист опън (натиск) се дава с формулата ЕА, където Е е модулът на линейна деформация на материала, А е лицето на напречното сечение на пръта). В статически определимите системи коравините не оказват влияние върху разпределението на усилията, тъй като не участват в условията за равновесие.

Да предположим, че някой от прътите в една статически неопределима система е нагрят или охладен с температурна разлика t. Това би довело до промяна на неговата дължина. Тази промяна обаче няма да се реализира в пълен размер, понеже останалите пръти и опорни устройства се противопоставят на свободното деформиране на въпросния прът. Ето защо температурната промяна води до възникване на допълнителни усилия в статически неопределимите системи. Тези усилия се наричат температурни.



Фиг. 4. 6

Ще разгледаме определянето на температурните усилия за системата от фиг. 4.6а, ако прът BD е нагрят равномерно с температурна разлика t=300. Пръти BD и CH са изработени от стомана с коефициент на линейно разширение t=1,2.10-5 и модул на линейна деформация Е=2,1.105 MPa. Съотношението между лицата на напречните сечения на прътите е А1:А2=1:2, като А1=0,002 m2. Греда АС е недеформируема.

В резултат на нагряването прът BD би се удължил с (тази формула е известна от курса по Физика). Прът СН ще противодейства на това удължаване. Ето защо удължението на прът ВD всъщност ще бъде по-малко от lt. Ясно е, че при това положение прът BD ще бъде натоварен на натиск. Не е трудна да се съобрази, че поради удължаването на BD, прът CН ще бъде натоварен на опън. По този начин определяме посоките на реакциите S1 и S2 (фиг. 4.6а). Тъй като търсим само усилията в прътите BD и CН, от уравненията на статиката ще използваме само моментовото уравнение за т. А, т.е.



: . (4.20)

Деформираната схема на системата е показана на фиг. 4.6б. Както вече отбелязахме, прът BD ще бъде натоварен на натиск. Това ще доведе до допълнително скъсяване на този прът с l1 (фиг. 4.6б), т.е. . От подобието на триъгълници ABB1 и ACC1 имаме следната пропорция:



. (4.21)

От правоъгълен триъгълник СС1С2 получаваме



. (4.22)

След като по закона на Хук изразим l1 и l2 съответно чрез S1 и S2, геометричното условие (4.21) приема следният вид:



. (4.23)

За да определим S1 и S2 решаваме съвместно уравнения (4.20) и (4.23). Резултатът е



, (4.24)

. (4.25)

След заместване на числените данни в (4.24) и (4.25) получаваме S1=94,201 kN и S2=73,274 kN.

Ако системата от фиг. 4.6а беше статически определима (например отстранен е прът СН), тогава допълнителни усилия не биха възникнали, понеже температурната деформация lt на прът BD би се реализирала свободно.

По аналогичен начин стоят нещата с производствените неточности в статически неопределимите системи. Под производствени неточности ще разбираме разлики между проектните и действителните размери на конструктивните елементи. Не е трудно да се съобрази, че включването на даден конструктивен елемент, който е произведен с известна неточност, в работата на една статически неопределима система ще доведе до поява на начални напрежения още преди прилагането на външния товар.

Определянето на началните напрежения ще илюстрираме със следния пример (фиг. 4.7а). Нека прът BD е произведен с дължина 3,006 m. Проектната дължина на този прът е 3 m. Производствената неточност в случая е =0,006 m (фиг. 4.7б). Ясно е, че прът BD трябва да получи допълнително скъсяване l1 за да бъде включен в работата на статически неопределимата система (фиг. 4.7б). С други думи, този прът трябва да бъде натоварен на натиск. При това положение прът CH ще бъде опънат. Така определяме посоките на реакциите S1 и S2 (фиг. 4.7а). От подобието на триъгълници АВВ1 и АСС1 съставяме уравнението на геометрията

, (4.26)

където


, (4.27)

. (4.28)

Фиг. 4. 7

Заместваме (4.27) и (4.28) в (4.26). Така получената зависимост решаваме съвместно с уравнението на статиката (4.20). По този начин определяме началните усилия в прътите, а именно

, (4.29)

. (4.30)

След заместване на числените данни намираме S1=523,349 kN, S2=407,093 kN (тук е взето предвид, че Е=2,1.105 МРа, А1:А2=1:2, =500 и А1=0,002 m2).

Да видим какво е поведението на една статически определима система при наличие на производствена неточност. Да допуснем, че прът СН е отстранен. Тогава системата от фиг. 4.7 се превръща в статически определима. В такъв случай греда АС ще може свободно да се завърти около опората в сечение А, което ще позволи прът BD (който е с производствена неточност ) да се включи в работата на системата, без това да доведе до поява на начални напрежения.

  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница