Чист опън и чист натиск напрежения и деформации при чист опън и чист натиск

1. 
   да се начертае диаграмата на надлъжните сили;
   
2. 
   да се начертае диаграмата на ЕА₁-кратните стойности на надлъжните премествания;
   
3. 
   да се определи надлъжната сила, ако се отстрани външното натоварване и участък ВС на колоната се охлади с t=-20⁰C;
   
4. 
   да се определи надлъжната сила, ако колоната е произведена по-къса с =0,003 m от проектната й дължина.
   

Фиг. 4. 8

Понеже неизвестните са две, системата е един път статически неопределима. Тъй като двете крайни сечения на колоната са неподвижни (запънати), нейната абсолютна осова деформация е равна на нула, т.е.

Осовите деформации в двата участъка на колоната определяме по закона на Хук. Тогава уравнение (4.32) може да се запише по следния начин:

където

Заместваме (4.34) в (4.33) и след решаване на интегралите за реакцията в опора В получаваме В=105,714 kN. Окончателния вид на функциите на надлъжните сили в двата участъка намираме след заместване на стойността на реакцията В в (4.34), т.е.

Диаграмата на надлъжните сили е показана на фиг. 4.8в.

Функциите на надлъжните премествания определяме по формула (4.14). За участък ВС имаме

. (4.36)

За да получим ЕА₁-кратните стойности на надлъжните премествания, умножаваме по ЕА₁ двете страни на равенство (4.36). Резултатът е

където е новата интеграционна константа, получена след умножаване на по ЕА₁. След решаване на интеграла в (4.37) имаме

Интеграционната константа определяме от условието, че сечение В на колоната е неподвижно, т.е.

За функцията на надлъжните премествания в участък ВС на колоната окончателно получаваме

За участък СD съгласно формула (4.14) имаме

Умножаваме двете страни на (4.41) по ЕА₁, т.е.

По условие А₁:А₂=3:2. Следователно можем да запишем

Интеграционната константа определяме от условието

или

Тогава за окончателно имаме

Диаграмата на надлъжните премествания е начертана на фиг. 4.8г. Знакът “минус” показва, че преместванията са насочени обратно на положителната посока на оста х. Отбелязваме, че функцията трябва да се изследва за екстремум. В случая обаче екстремумът се намира извън границите на участък ВС, т.е. няма физически смисъл.

Да преминем към определяне на надлъжната сила от охлаждането на участък ВС. Да допуснем, че колоната е статически определима (например отстранено е запъването в сечение D). Тогава в резултат на охлаждането колоната би получила скъсяване

. (4.47)

В действителност двете крайни сечения на колоната (В и D) са неподвижни. Ето защо стремежът на колоната към скъсяване е възпрепятстван, което ще доведе до поява на допълнителна надлъжна сила N_t. В случая уравнението на геометрията изглежда така

Надлъжните премествания и от N_t изразяваме по закона на Хук, т.е.

Уравнение (4.48) записваме в следния вид:

откъдето за N_t получаваме

След заместване на числените стойности от условието на задачата в (4.51) получаваме N_t=144 kN. Ясно е, че ако колоната е статически определима, надлъжната сила N_t ще бъде равна на нула, защото скъсяването на колоната ще може свободно да се реализира.

Надлъжната сила N_с в резултат на производствената неточност  ще определим по следния начин. За да се реализира проектната дължина (която е m), колоната трябва да бъде удължена с , като бъде опъната със сила N_с. Уравнението на геометрията в случая е

, (4.52)

където удълженията и от силата N_с се изразяват чрез закона на Хук

Заместваме (4.53) в (4.52) и от така полученото уравнение намираме

Стойността на N_с се получава след заместване в (4.52) на числените данни от условието на задачата. Резултатът е N_с=450 kN. Не е трудно да се прецени, че ако колоната е статически определима, производствената неточност няма да доведе до поява на допълнително усилие.

Може да се обобщи, че температурните разлики и производствените неточности в статически неопределимите системи водят до поява на допълнителни напрежения. В статически определимите системи такива напрежения не възникват.

4.3. Експериментално изследване на материалите при чист опън и чист натиск

Вече беше отбелязано, че законът на Хук може да се използва само ако напрежението не надвишава определено гранично ниво, което зависи от вида на материала и се намира по експериментален път. Освен границата на валидност на закона на Хук, чрез експериментални изпитвания се получават също и стойностите на Е-модула, G-модула и коефициента на Поасон , както и други важни характеристики на якостните и деформационните свойства на материалите. Резултатите от експерименти на чист опън и чист натиск се използват и за разработване на теории за опасно състояние за различните материали при по-сложни случаи на натоварване. Ето защо експерименталното изследване на материалите при чист опън и чист натиск представлява задача с важно практическо значение.

Изпитването на чист опън се извършва с помощта на стандартни опитни тела, които се наричат епруветки. Обикновено напречното сечение на опитното тяло е кръг. В някои случаи се използват също така и опитни тела с правоъгълно напречно сечение. Формата на най-често използваното опитно тяло за изпитване на чист опън е показана на фиг. 4.9. То представлява прът с кръгло напречно сечение и уширения в краищата за захващане с челюстите на изпитвателната машина. Работната част на опитното тяло е с дължина l₀ и диаметър d₀. Между работната част и уширенията има плавен преход, за да се избегне концентрацията на напрежения. Съотношението между l₀ и d₀ се определя от използвания стандарт. Според БДС опитните тела с кръгло напречно сечение са къси (l₀=5 d₀) и дълги (l₀=10 d₀).

Фиг. 4. 10

Опитните тела за експерименти на чист натиск имат цилиндрична или призматична форма (фиг. 4.10). Техните размери са определени така, че да се избегне разрушаване вследствие на загуба на устойчивост. Например височината не трябва да превишава повече от два пъти размерите на напречното сечение.

Експериментите на чист опън и чист натиск се извършват със специални машини, които работят на механичен или хидравличен принцип. Съвременните изпитвателни машини са компютъризирани, което значително разширява техните възможности и повишава точността на провежданите експерименти. Трябва да се отбележи, че натоварването, прилагано върху опитното тяло по време на експеримента, може да нараства бавно от нула до крайната си стойност. В този случай говорим за изпитване при статично натоварване. Ако натоварването нараства бързо, тогава имаме изпитване при динамично натоварване. Основната цел на експеримента е да се получи зависимостта между нормалното напрежение и осовата деформация на опитното тяло. Тази зависимост се нарича работна диаграма на материала.

Фиг. 4. 11

Подробно ще се спрем на работната диаграма на ниско-въглеродната стомана, показана на фиг. 4.11. Началният участък ОА на диаграмата е праволинеен. Това показва, че до достигане на напрежение f_pr материалът следва закона на Хук. Напрежението f_pr (т.е. ординатата на т. А) се нарича граница на пропорционалност и представлява важна характеристика на материала. Уравнението на работната диаграма в участък ОА се дава с простия закон на Хук, т.е. . Следователно Е-модулът е равен на тангенса на ъгъла на наклона на участък ОА, т.е. E=tg (фиг. 4.11).

Необходимо е да се уточни, че f_pr не може да се определи с абсолютна точност, тъй като е трудно да се каже точно докъде работната диаграма е права линия. Експериментите показват, че даже и при ниска стойност на напрежението работната диаграма не е строго права линия. Ето защо се анализира производната . Ако тази производна е постоянна величина, диаграмата е права линия. Приема се, че границата на пропорционалност е достигната, когато .

В участък АВ работната диаграма вече има нелинеен характер. Опитът показва, че в този участък материалът има нелинейно еластично поведение, тъй като при разтоварване опитното тяло не получава остатъчни деформации. Напрежението f_е (т.е. ординатата на т. В) се нарича граница на еластичност (фиг. 4.11). Трябва да се изтъкне, че f_е (както и f_pr) не може да се определи с абсолютна точност. Причината се състои в това, че даже и при ниски стойности на напрежението след разтоварване в опитното тяло се получават остатъчни деформации, макар и със съвсем малки стойности. Ето защо се приема, че границата на еластичност е достигната, ако остатъчната деформация e в интервала 10^-55.10^-5.

Тъй като f_pr и f_е се определят условно, а и техните стойности са твърде близки, обикновено между тях не се прави разлика и се говори за една обща граница на еластичност, до която материалът следва закона на Хук.

В т. В наклонът на кривата рязко намалява (фиг. 4.11). След незначително увеличаване на напрежението се достига границата на провлачане f_y (т.е. ординатата на т. С). След т. С диаграмата има хоризонтален (или почти хоризонтален) участък CD, в който деформацията нараства при практически постоянно напрежение. Казва се, че в участък CD материалът “тече”, т.е. настъпва провлачане. Ето защо участък CD се нарича площадка на провлачане, а напрежението f_y – граница на провлачане. Напрежението f_y представлява важна характеристика за всеки материал. Необходимо е да се уточни, че съществуват материали, чиито работни диаграми нямат ясно изразена граница на провлачане.

Фиг. 4. 12

Например на фиг. 4.12 са показани работните диаграми на висококачествена легирана стомана (крива 1) и алуминий (крива 2). Вижда се, че и двете диаграми нямат граница на провлачане. За такива материали се дефинира условна граница на провлачане f_0,2, равна на напрежението, при което остатъчната деформация е 0,2 % (), както е показано на фиг. 4.13.

Фиг. 4. 13

Да се върнем към работната диаграма на нисковъглеродната стомана (фиг. 4.11). Важна особеност на поведението на материала след достигане на f_у е развитието на значителни пластични (необратими) деформации. След като те достигнат определена стойност, поведението на материала се характеризира с нарастване на напрежението (участък DKP на диаграмата), т.е. налице е уякчаване на материала. Забелязваме, че наклонът на тангентата към която и да е точка на работната диаграма в участък DKP е по-малък от наклона на линейно-еластичния участък ОА. Това показва, че в участък DKP деформируемостта на материала значително нараства в сравнение с участък ОА. Установено е, че в процеса на пластично деформиране върху повърхността на опитното тяло се образуват линии, наклонени под ъгъл 45⁰ спрямо оста му. Те се наричат линии на Людерс-Чернов. Тези линии показват, че материалът се провлача по равнините в които тангенциалните напрежения имат максимални стойности.

Нека опитното тяло е натоварено до т. К и разтоварено (фиг. 4.11). Експериментът показва, че при разтоварване опитното тяло се “връща” по правата КL, която е успоредна на участък ОА. Вижда се, че пълната деформация има две части, а именно еластична част , която е обратима, и пластична част , която е необратима (остатъчна). При повторно натоварване, опитното тяло “върви” първоначално по правата LK и след това по кривата KPS. Това показва, че са настъпили промени в механичното поведение на материала. Например границата на пропорционалност вече е увеличена и е равна на напрежението _K, съответстващо на т. К. Освен това липсва площадка на провлачане. С други думи работната диаграма зависи от историята на натоварването.

Интересно е да се отбележи, че ако след разтоварването KL натоварим опитното тяло на натиск, работната диаграма отново ще бъде права линия LK₁. Пластифицирането обаче ще започне при напрежение, което е по-малко по абсолютна стойност от _K. Причината за това са остатъчните деформации в опитното тяло, получени при натоварването на опън. Явлението се нарича ефект на Баушингер.

Да се върнем към работната диаграма при натоварване на опън (фиг. 4.11). Уякчаването на материала продължава до т. Р, където започва процесът на разрушаване на опитното тяло. Максималното напрежение, съответстващо на т. Р, се нарича граница на разрушаване на материала. По-нататъшното натоварване води до разрушаване на опитното тяло в т. S на работната диаграма. Тъй като участък PS на работната диаграма има низходящ характер, на пръв поглед изглежда, че напрежението намалява и разрушаването в т. S настъпва при напрежение, по-малко от. Всъщност това не е така. Експериментът показва, че при достигане на напрежение в опитното тяло започва да се образува шийка, т.е. локално стесняване, както е показано на фиг. 4.14.

Фиг. 4. 14

В шийката напречното сечение постепенно намалява до разрушаване на опитното тяло в резултат на скъсване. Низходящият клон PS се получава, като напрежението се определя по формулата , където А₀ е лицето на първоначалното напречно сечение на опитното тяло (т.е. при изчисляване на  се приема, че лицето остава постоянно и равно на А₀). Тъй като след т. Р силата F намалява, напрежението също намалява. В действителност лицето на напречното сечение в шийката намалява по-бързо от силата. Ето защо напрежението в шийката всъщност нараства. Така се получава възходящият участък PS₁ на работната диаграма, т.е. разрушаването настъпва в т. S₁ (фиг. 4.11). За целите на инженерната практика обаче като граница на разрушаване се приема напрежението .

Пластичните свойства се оценяват с две характеристики, които се определят от изпитването на чист опън. Първата характеристика се нарича остатъчно относително удължение

където e първоначалната дължина на опитното тяло (преди изпитването), е дължината на опитното тяло след изпитването. Остатъчното относително свиване (изтъняване) е другата характеристика. Тя се намира по формулата

където е лицето на напречното сечение на опитното тяло преди изпитването, е лицето на напречното сечение в шийката след скъсване на опитното тяло.

Резултатите от експерименталното изследване на нисковъглеродната стомана на чист опън показват, че тя понася големи пластични деформации преди да се разруши. Материалите, които имат това свойство, се наричат жилави. Към групата на жилавите материали спадат алуминият, медта, цинкът, бронзът, висококачествените легирани стомани и др. За жилавите материали е характерно и това, че якостите им, както и границите им на провлачане при опън и при натиск са приблизително равни. Жилавите материали обикновено се разрушават от максимални нормални напрежения.

Фиг. 4. 15

Материалите, които се разрушават при съвсем незначителни остатъчни деформации, се наричат крехки. Към тази група спадат чугунът, камъкът, стъклото, бетонът, високовъглеродната инструментална стомана и др. Крехките материали имат многократно по-голяма якост на натиск, отколкото на опън. Разрушаването на крехките материали настъпва от максимални тангенциални напрежения. На фиг. 4.15 е показана работната диаграма на чугуна при опън. Вижда се, че диаграмата е криволинейна още в началния си участък. Следователно Е-модулът не може да се определи като при жилавите материали. Ясно е, че тук този модул зависи от големината на напрежението. За целите на инженерната практика се въвежда среден модул, който се определя като действителната работна диаграма ОВ се замени с правата ОА (фиг. 4.15).

Както вече отбелязахме, за експериментално изследване на чист натиск се използват цилиндрични и призматични опитни тела (фиг. 4.10).

Фиг. 4. 16

Разликата между поведението на жилавите и крехките материали при изпитване на натиск е съществена. При изпитване на жилави материали на натиск опитното тяло не се разрушава, а приема бъчвообразна форма, както може да се види на фиг. 4.16. Причината за образуване на бъчвообразна форма е триенето между плочите и опитното тяло, което възпрепятства свободните напречни деформации в краищата. Тук трябва да се поясни, че при изпитване на натиск натоварването върху опитното тяло се прилага с помощта на две успоредни плочи.

Фиг. 4. 17

На фиг. 4.17 е показана работната диаграма на нисковъглеродна стомана (жилав материал) при изпитване на натиск. Вижда се, че диаграмата има три участъка: начална праволинейна част ОА, площадка на провлачане АВ и участък на уякчаване ВС. Важна особеност тук е това, че участъкът на уякчаване непрекъснато нараства, т.е. до разрушаване изобщо не се стига, тъй като, както отбелязахме, в процеса на изпитване опитното тяло приема бъчвообразна форма и неговото напречно сечение непрекъснато се увеличава.

Експериментите с крехки материали при натиск показват, че разрушаването настъпва внезапно по сечение, което е наклонено под ъгъл 45⁰ спрямо оста на опитното тяло (фиг. 4.18а,б). Друга особеност е това, че разрушаването настъпва при малки деформации.

Трябва да се отбележи, че голямо влияние върху разрушаването на крехките материали при натиск оказват силите на триене между опитното тяло и плочите, чрез които се прилага натоварването.

Фиг. 4. 18

Формата на разрушаване от фиг. 4.18б се получава, когато между плочите и опитното тяло не е използвана смазка, т.е. имаме значителни сили на триене, които ограничават напречните деформации на опитното тяло в сеченията, близо до плочите. Ако между плочите и опитното тяло се използва смазка, тогава разрушаването настъпва в резултат на поява на вертикални пукнатини.

Материалf_y, MPaf_u,t, MPaf_u,c, MPaСтомана Ст.3240450450Стомана 45340610610Алуминий508484Чугун СЧ15-32-150640Гранит-4,97,888,3226Таблица 4.1

Необходимо е да се уточни, че делението на материалите на жилави и крехки в голяма степен е условно. Причината за това е, че поведението на материалите зависи твърде много от условията на провеждане на експеримента. Например голямо влияние има скоростта на натоварване, а също и температурата при която се извършва изпитването.

Данни за границите на провлачане, а също и за границите на разрушение при опън и натиск на някои материали са представени в Таблица 4.1.

Ще се спрем на влиянието на температурата върху механичното поведение на материалите при чист опън и чист натиск. Този въпрос е важен, тъй като елементите на инженерните конструкции и съоръжения по време на тяхната експлоатация често пъти са подложени на температурно въздействие (повишени температури от различни технологични процеси в промишлеността, пряко слънчево нагряване и др.). Графиките от фиг. 4.19 показват влиянието на температурата в интервала 0500⁰С върху Е-модула, границата на разрушаване f_u и границата на провлачане f_y за нисковъглеродна стомана при чист опън. Вижда се, че Е и f_y намаляват с увеличаване на температурата, като ефектът е по-силно изразен при температури над 300⁰С. Влиянието на температурата върху f_u има по-сложен характер.

Несъмнен интерес представлява въпросът за поведението на материалите при динамично натоварване. Опитът показва, че динамичното натоварване затруднява развитието на пластичните деформации, но от друга страна води до повишаване на границата на разрушаване. Тези ефекти ясно могат да се видят на фиг. 4.20.

Фиг. 4. 19

Фиг. 4. 20

Фиг. 4. 21

Фиг. 4. 22

Инженерната практика показва, че натоварването на конструктивни елементи с постоянен товар за продължителен период от време оказва съществено влияние върху поведението на материала. По-специално тук става въпрос за промяна на напреженията и деформациите с течение на времето. Този процес се нарича пълзене. Той има два частни случая, а именно последействие и релаксация. Нарастването на деформациите при постоянно напрежение се нарича последействие. Характерни криви за последействието при постоянни напрежения ₁, ₂ и ₃ са показани на фиг. 4.21. Под релаксация разбираме изменение на напреженията при постоянни деформации. Криви, характеризиращи релаксация при постоянни деформации , и , са дадени на фиг. 4.22. Вижда се типичното за релаксацията намаляване на напрежението с течение на времето.