Чист опън и чист натиск напрежения и деформации при чист опън и чист натиск

Оразмеряването на конструктивните елементи представлява една от основните задачи на Съпротивление на материалите. Целта е размерите на конструктивния елемент да бъдат определени по такъв начин, че неговата якост, коравина и устойчивост да бъдат осигурени при най-малък разход на материал. Очевидно тази цел е вътрешно противоречива, тъй като конструктивният елемент трябва да бъде осигурен с необходимите якост, коравина и устойчивост, от една страна, и от друга - разходът на материал трябва да бъде минимален. Именно това противоречие представлява най-силният стимул за развитие на методите за оразмеряване на елементите на строителните конструкции.

Исторически най-рано е възникнал методът за оразмеряване по допустими напрежения. Първо ще разгледаме приложението на този метод при жилав материал. Застрашено е сечението, в което надлъжната сила е максимална по абсолютна стойност, защото границата на провлачане на материала при опън и при натиск е една и съща. Поставя се изискване максималното нормално напрежение в изследвания конструктивен елемент по абсолютна стойност да не надвишава допустимото нормално напрежение за съответния материал (тук индексът adm идва от admissible – допустим). Това изискване, съчетано с формула (4.4), води до следното оразмерително условие:

където е максималната по абсолютна стойност надлъжна сила. От (а) за лицето на напречното сечение на конструктивния елемент получаваме .

Разбира се, допустимото напрежение е различно за различните материали. То се определя въз основа на следните съображения. Ясно е, че допустимото напрежение не може да бъде равно на границата на разрушение, защото това би довело до разрушаване на конструктивния елемент. То не може да бъде равно и на границата на провлачане, защото това би дало възможност за възникване на големи деформации, които биха застрашили нормалното функциониране на конструкцията. Ето защо допустимото напрежение се намира по формулата

, (б)

където е границата на провлачане на материала, а е коефициент на сигурност, чрез който се взема предвид вероятността за различия между поведението на конструкцията съгласно приетия теоретичен модел и действителността. Например, възможно е статическата схема, използвана за определяне на разрезните усилия, да се различава от действителната работа на конструктивния елемент. Възможно е, също така, натоварването, от което са получени разрезните усилия, да се различава в някаква степен от натоварването, действащо върху конструктивния елемент (причината е, че големината на действащото натоварване варира в някакви граници). Освен това, има вероятност големините на якостните характеристики на материала, използвани при оразмеряването, да се различават от тези на същия материал в конструкцията. Споменатите различия може да са в неблагоприятна посока (например, действащото натоварване да достигне по-високи стойности, фактическата якост на материала да се окаже по-ниска и др.), което да доведе до компроментиране на конструкцията. Ето защо допустимото напрежение се приема -пъти по-малко от границата на провлачане (виж формула (б). Стойностите на се дават в нормите за проектиране.

Да преминем към оразмеряване на конструктивни елементи от крехък материал по метода на допустимите напрежения. Тук се използват границите на разрушение на опън и на натиск , понеже крехките материали нямат ясно изразена граница на провлачане. Оразмерителните условия са две:

, , (в) (в)

където е най-голямата опънна надлъжна сила, е най-голямата по абсолютна стойност натискова надлъжна сила, и са допустимите напрежения съответно на опън и на натиск, а и са подходящо подбрани коефициенти на сигурност. Трябва да се уточни, че границата на разрушение на натиск участва по абсолютна стойност в съответното оразмерително условие. За определяне на лицето на напречното сечение от условия (в) се получават следните неравенства: и .

В заключение трябва да се изтъкне, че методът за оразмеряване по допустими напрежения има сериозни недостатъци. На първо място може да се посочи това, че с използването само на един коефициент на сигурност не е възможно да се вземат предвид всички фактори, влияещи върху работата на строителните конструкции. Освен това, въвеждането на ограничение напрежението да достига допустимата големина само в застрашената точка не дава възможност за използване на резервите от якост, които конструкцията като цяло притежава. Инженерната практика показва, че оразмеряването по метода на допустимите напрежения обикновено води до преразход на материал. Ето защо този метод е икономически неизгоден.
4.4.2. ОРАЗМЕРЯВАНЕ ПО РАЗРУШАВАЩИ НАТОВАРВАНИЯ

Приложението на метода е свързано с определяне на опасното външно натоварване (тук индексът u идва от ultimate – краен). Натоварването, при което конструкцията повече не е в състояние да изпълнява своите функции (излиза от строя) в резултат на разрушаване или поради възникване на прекомерни деформации се нарича опасно натоварване. Трябва да се уточни, че за разрушаване може да става въпрос главно при конструкциите, изпълнени от крехък материал. Излизането от строя на конструкциите от жилав материал е свързано с развитие на пластични деформации и превръщане на конструкцията в механизъм (методите за определяне на опасното натоварване за конструкциите от жилав материал са разгледан в гл. 13).

Допустимото натоварване се определя по формулата , където е коефициент на сигурност. Оразмеряването се извършва от условието действителното натоварване да не превишава .

Приложението на метода по разрушаващи натоварвания при някои конструкции води до икономия на материал. Причината за това е, че този метод дава възможност за използване на резервите от носимоспособност на конструкцията като цяло. Сравнения между резултати от оразмеряване по разрушаващи натоварвания и по допустими напрежения са направени в гл. 13.

В метода за оразмеряване по гранични състояния се използват три отделни коефициента за разлика от методите по допустими напрежения и разрушаващи натоварвания, където коефициентът е един. Въвеждането на три отделни коефициента е стъпка към усъвършенстване на оразмерителния процес. Целта е да се постигне по-прецизно отчитане на влиянието на натоварването, якостните характеристики на материала и условията на работа на конструкцията върху оразмеряването. Може да се каже, че методът за оразмеряване по гранични състояния представлява по-нататъшно развитие на метода за оразмеряване по разрушаващи натоварвания.

Вероятността натоварването, действащо върху конструкцията, да се различава от натоварването, предписано в нормите за проектиране, се отчита чрез коефициента на натоварване n. Във връзка с това се прилага следната формула: , където е изчислителното натоварване (чрез него се определят изчислителните разрезни усилия, които след това се прилагат в съответните оразмерителни формули), а е нормативното натоварване (то е дадено в нормите за проектиране). Различните нормативни натоварвания се получават в резултат на многогодишни наблюдения или въз основа на голям брой експериментални данни, обработени по методите на математическата статистика. Стойността на коефициента n зависи от вида на товара. В тази връзка трябва да се поясни, че товарите се делят на четири вида, а именно: постоянни (към този вид спада собственото тегло на конструктивните елементи, ограждащите стени, настилките, както и някои други товари, действащи през целия период на експлоатация); временни с продължително действие (обзавеждане, технологично оборудване в производствени сгради, материали в складови помещения и др.); кратковременни (сняг, вятър, полезен товар от хора, температурни климатични въздействия и др.); особени (земетръсни сили, взривни въздействия, аварийни товари при рязко нарушаване на технологичния процес и др.). Например за товара от собственото тегло на стоманените конструкции стойността на n е сравнително малка (1,1 или 0,9), понеже този товар може да се определи с достатъчна точност въз основа на проектните размери на конструкцията и обемното тегло на стоманата. Трябва да се поясни, че n се приема 0,9 само ако това се окаже по-неблагоприятно за носимоспособността на конструкцията. За товари, при които вероятността от претоварване е по-неизяснена, n може да има по-големи стойности (например за товар от сняг стойността на n може да достигне 1,6).

При оразмеряване на строителните конструкции се разглеждат различни съчетания (комбинации) от товари. Малката вероятност товарите, участващи в дадено съчетание, едновременно да достигнат максималните си стойности се отчита чрез умножаване на изчислителните им стойности с коефициент на съчетание .

Фактическата якост на материала в строителната конструкция може да се окаже по-малка от тази, която е дадена в нормите за проектиране. Вероятността за неблагоприятно отклонение в якостта на материала се отчита чрез коефициента на еднородност на материала к. За целта се прилага следната формула: , където е изчислителното съпротивление на материала, а е нормативното съпротивление (дава се в нормите за проектиране). Нормативното съпротивление представлява минималната якост, установена чрез стандарти изпитвания на образци с обезпеченост, не по –малка от 95%. За якост на жилавите материали се приема границата на провлачане, а на крехките – границата на разрушение.

Оразмеряването на конструктивни елементи от жилав материал при чист опън (натиск) се извършва по формулата , където е максималната по абсолютна стойност изчислителна надлъжна сила (получена от изчислителен товар ), а m е коефициент за условия на работа, който отчита влиянието на редица фактори (агресивна околна среда, висока влажност, концентрация на напреженията, условност на приетата статическа схема и др.) върху работата на строителната конструкция. Коефициентът m може да бъде както по-малък, така и по-голям от единица. Колкото е по-малък m, толкова е по-голям общият запас от якост на конструкцията.

Основният принцип на този оразмерителен метод е да не се допусне конструкцията да достигне гранично състояние (това е състояние, при което конструкцията не може повече да изпълнява нормално своите функции). Граничните състояния обикновено се делят на три групи: І група – по носеща способност (якост, устойчивост); ІІ група – по развитие на недопустими деформации; ІІІ група – по образуване и разтваряне на пукнатини.

Оразмеряването на якост всъщност цели удовлетворяване на изискването максималното възможно усилие (получено от изчислителни товари) да не надвишава минималната носеща способност на конструктивния елемент (определена с отчитане на вероятността за неблагоприятни отклонения в якостните характеристики на материала, като при това се вземат предвид и специфичните условия на работа на конструкцията).

Методът на граничните състояния разкрива възможности за по-рационално използване на носещата способност на конструкцията, а оттам и за намаляване на разхода на материал в сравнение с предишните методи. Това се дължи преди всичко на по-точното отчитане на различните фактори, влияещи на сигурността на конструкцията.

Методът на граничните състояния е в основата на процедурите за оразмеряване на строителните конструкции съгласно европейските норми (еврокодовете). Този метод се прилага и в Еврокод 3 за оразмеряване на стоманените конструкции.

В Еврокод 3 се въвеждат два частни коефициента на сигурност, а именно коефициент за въздействия (тук под въздействия се разбира различни товари, земетръсни сили, температурни разлики и др.) и коефициент за характеристиките на материала . Изчислителната стойност на дадено въздействие се получава като характеристичната му стойност се умножи по . Коефициентът се използва за получаване на изчислителните стойности на характеристиките на материала. За целта характеристичната (основната) стойност на дадена характеристика на материала (например номиналната стойност на границата на провлачане на стоманата) се разделя на .

Еврокодовете предвиждат две групи гранични състояния. Към първата група спадат крайните гранични състояния, за които е характерно изчерпване на носимоспособността на конструкцията (т.е. разрушение). Към втората група се отнасят експлоатационните гранични състояния, при които нормалната работа на конструкцията е затруднена вследствие на недопустими деформации.

По-конкретно тук ще се спрем на оразмеряването при чисто опън (натиск) по крайни гранични състояния.

По принцип ще се придържаме към процедурата за оразмеряване на елементите на стоманените конструкции от Еврокод 3.

Първо ще разгледаме оразмеряването при жилав материал. Оразмерителното неравенство при чист опън се представя по следния начин:

, (4.55)

където е максималната опънна надлъжна сила, получена от изчислителни товари. Носимоспособността на напречното сечение при чист опън е равна на по-малката от:

1) носимоспособността на брутното (неотслабеното с отвори за съединителни средства (болтове, нитове)) сечение в пластичен стадий на работа

;

2) носимоспособността на нетното напречно сечение в местата с отвори за съединителни средства

,

където А и са лицата съответно на брутното (неотслабеното) и нетното (отслабеното) напречно сечение, f_y и са границите съответно на провлачане и на разрушение при опън, и са частни коефициенти на сигурност. Трябва да се поясни, че нетното сечение се получава като от брутното сечение се приспаднат отворите за съединителните средства. От (4.55) получаваме

При чист натиск оразмеряването се извършва въз основа на следното неравенство:

където е максималната по абсолютна стойност натискова надлъжна сила, получена от изчислителни товари. Носимоспособността при чист натиск на напречни сечения от класове 1, 2, и 3 се определя по формулата

За лицето на напречното сечение получаваме

Ако конструктивният елемент е натоварен само на опън или само на натиск, оразмеряването извършваме съответно по (4.56) или по (4.57). Обаче ако в конструктивния елемент едни участъци са натоварени на натиск, а други – на опън, от (4.56) и (4.57) избираме по-голямото напречно сечение.

Да преминем към оразмеряване при крехък материал. Тук трябва да се държи сметка за това, че при крехките материали липсва граница на провлачане, което налага да се използва границата на разрушаване. Освен това границата на разрушаване при натиск е значително по-голяма от тази при опън. Ето защо при крехките материали е възможно да имаме изобщо две застрашени сечения, а именно сечението с най-голяма опънна изчислителна надлъжна сила и сечението с най-голяма по абсолютна стойност натискова изчислителна надлъжна сила . Поради това при крехките материали имаме две оразмерителни неравенства

, (4.58)

, (4.59)

където

са носимоспособностите на напречното сечение съответно при опън и натиск. Тук и са границите на разрушаване съответно при опън и натиск. Следователно за определяне на А се използват две оразмерителни формули

Във формули (4.60) и (4.62) f_u,c участва по абсолютна стойност. Формули (4.55), (4.58) и (4.59) показват, че оразмеряването по крайни гранични състояния всъщност представлява сравнение между максималната възможна надлъжна сила (получена от изчислителни товари) и минималната носимоспособност на напречното сечение.

Важно е да се отбележи, че при оразмеряване на статически неопределимите системи трябва да се спазва отношението на лицата на напречните сечения в отделните участъци, което е зададено предварително. Ако отношението бъде променено, ще се получи промяна и в усилията.

Пример 4.3. Да се оразмери колоната от фиг. 4.8а за даденото външно натоварване. Колоната е с кръгло напречно сечение и е изградена от крехък материал с f_u,t=0,6 kN/cm² и f_u,c=1,4 kN/cm². Частният коефициент на сигурност е . Диаметърът на напречното сечение на колоната в двата участъка да се приеме с точност до 1 mm.

Решение: Диаграмата на надлъжните сили е показана на фиг. 4.8в. Тази диаграма е получена при отношение на лицата на напречните сечения А₁:А₂=3:2. При оразмеряване това отношение трябва да бъде запазено, защото в противен случай диаграмата на надлъжните сили ще претърпи промяна.

В участък ВС е застрашено сечение В с kN (предполагаме, че надлъжната сила е получена от изчислителен товар). Лицето А₁ получаваме по формула (4.62), тъй като в този участък колоната е натоварена на натиск, т.е. cm². За лицето А₂ имаме cm². В участък CD надлъжната сила има постоянна стойност 74,286 kN. Лицето А₂ определяме по формула (4.61), понеже в участък CD колоната е опъната. Резултатът е cm². За лицето А₁ получаваме cm². Сравняваме стойностите на А₁, получени от оразмеряването за двата участъка. Меродавна е по-голямата стойност. В случая това е стойността от оразмеряването за участък CD. До същия извод ще достигнем и ако сравним стойностите на лицето А₂, получени от оразмеряването за двата участъка. Следователно за диаметъра на напречното сечение на колоната в участък ВС получаваме cm. Окончателната стойност на диаметъра трябва да бъде по-голяма от изчислената, но възможно най-близо до нея с цел икономия на материал. Освен това, по условие диаметърът трябва да се приеме с точност до 1 mm. Ето защо окончателно приемаме cm. Тогава за лицето на напречното сечение в участък ВС имаме cm. Лицето А₂ намираме от отношението А₁:А₂=3:2. Резултатът е А₂=130,645 cm². За диаметъра на напречното сечение на колоната в участък CD имаме cm. Окончателно приемаме d₂=13,00 cm, т.е. A₂=132,665 cm². Проверяваме носещата способност в двата участъка на колоната с така определените напречни сечения. За участък BC (натоварен на натиск) съгласно формула (4.59) имаме

Проверката за участък CD извършваме по формула (4.58), понеже в този участък колоната е опъната, т.е.

Виждаме, че и в двата участъка проверката излиза. Формула (4.63) показва, че в участък ВС колоната е значително преоразмерена. Това се дължи на факта, че в случая меродавно се оказа оразмеряването в участък CD. Необходимо е да се уточни, че за избраните размери на напречното сечение отношението А₁:А₂ е 1,477, т.е. не е 1,5. Разликата обаче е малка и няма да доведе до съществено изменение в диаграмата на надлъжните сили. Строго погледнато, статическата неопределимост би трябвало да се разкрие отново, като се използва отношението А₁:А₂=1,477. След което отново трябва да се провери носимоспособността на колоната, като се използват новите стойности на надлъжните сили в застрашените сечения.