Една функция се нарича растяща, ако за всеки две стойности на аргумента от дефиниционното й множество, стойностите на функцията запазват посоката на неравенството между аргументите, т.е. ако (фиг. 4.6).
Примери за растящи1 функции:
; ; ; ;
; ;
;
, ; , .
Ако две функции и са растящи, функцията
е растяща при и .
Ако две функции и са растящи, сложната функция
също е растяща: . Например .
Една функция се нарича намаляваща, ако за всеки две стойности на аргумента от дефиниционното й множество, стойностите на функцията заменят неравенството между аргументите на противоположното, т.е. ако (фиг. 4.7).
фиг. 4.7
Ако една функция е растяща, нейната противоположна функция
е намаляваща.
Ако две функции и са намаляващи, функцията
е намаляваща при и .
Ако в сложната функция едната от функциите е растяща, а другата намаляваща, сложната функция е намаляваща. Например, ако f е растяща, а g е намаляваща то: .
Ако и двете функции в сложната функция са намаляващи, сложната функция е растяща.
Примери за намаляващи функции:
; ; ; ;
; ; ;
;
, ; , .
Пример 4.9: Да се докаже, че функцията е намаляваща и да се намери множеството от стойности, които функцията приема.
Решение: Функциите и са растящи и значи функцията е растяща. Понеже функцията е растяща, то и сложната функция е растяща. Понеже функцията е намаляваща, а е растяща, то функцията е намаляваща. Множеството от стойности на една намаляваща функция, зададена в интервала [a; b], е интервала [ ]. В конкретния случай множеството от стойности е [ ].
За растящите и намаляващите функции се казва също, че са съответно строго растящи и строго намаляващи функции. Тези функции се наричат още и монотонни функции. Когато в дефинициите за растяща и намаляваща функция се допуска и равенство, функциите се наричат ненамаляващи и нерастящи или монотонни. Ако трябва да се акцентира, че функцията не намалява, използва се термина монотонно растяща функция, а в случая, когато функцията не нараства, използва се термина монотонно намаляваща функция.
Освен растящи, намаляващи и монотонни има функции, които не са нито растящи, нито намаляващи и следователно не са и монотонни.
Пример 4.10: има дефиниционно множество и
, но
.
Следователно при неравенствата са разнопосочни, а при еднопосочни – функцията не е монотонна.
Примери за функции, които не са монотонни:
; ;
; ;
, .
Една функция се нарича растяща (монотонно растяща) в множеството X, което е част от дефиниционното й множество когато от . Една функция се нарича намаляваща (монотонно намаляваща) в множеството X, което е част от дефиниционното Ł множество когато от .
Ако е дефинирана в интервала (x0-, x0+) и за всяко x(x0-, x0+) се казва, че функцията има локален максимум (или накратко максимум) в точката x0 и , а ако за всяко x(x0-, x0+) се казва, че функцията притежава локален минимум (или накратко минимум) в точката x0 и . Казано по друг начин, ако е дефинирана в интервала
(x0-,x0+), функция е в (x0-, x0] монотонно растяща и в [x0, x0+) е монотонно намаляваща, то в x0 има локален максимум. Ако е дефинирана в интервала (x0-,x0+) и в (x0-, x0] функцията е монотонно намаляваща, а в [x0, x0+) е монотонно растяща, то в т. x0 има локален минимум. Когато една функция има локален минимум или локален максимум в някаква точка се казва още, че тя има локален екстремум в тази точка - последният термин обобщава двата случая без да уточнява за кой от тях става дума.
П ример 4.12: е растяща в , а в е намаляваща - следователно в точката има локален максимум, който е ; намаляваща в и растяща в - в има локален минимум .
фиг. 4.8
Сподели с приятели: |