Диференциално смятане на функция на една променлива функция. Обратна функция



страница8/12
Дата03.01.2022
Размер0.98 Mb.
#112329
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
ФУНКЦИЯ НА ЕДНА ПРОМЕНЛИВА
Свързани:
ФУНКЦИЯ НА ЕДНА ПРОМЕНЛИВА

4.9. Обратна функция


Нека е зададена функцията . Ако на различните стойности на аргумента тя съпоставя различни стойности , може да се определи функцията 3 като се съпостави на елемента y този елемент , който се изобразява в от първоначалната функция . Така определената обратна функция изпълнява следните две свойства, които напълно я характеризират като обратна функция:

.

Теорема 4.1: За всяка строго растяща (намаляваща) функция съществува обратна функция.

Доказателство: Нека за определеност функцията е растяща. Ако , то или , или . Тогава в първия случай и във втория случай. Нека съществува поне една стойност , на която може да се съпоставят две различни стойности така, че . От казаното по-горе веднага следва, че или . Полученото противоречие доказва теоремата, т.е. съществува обратната функция и е еднозначна, .

Като следствие от направеното разсъждение се получава, че ако правата функция е растяща (намаляваща), обратната функция е растяща (намаляваща).

Например, ако , то за ( ) има възможност или , или , или . От условието за растене (намаляване) на функцията f следва, че първото и второто (третото) съотношения отпадат и остава третото (второто), което показва, че обратната функция запазва (променя) неравенството между аргументите си и затова е растяща (намаляваща).

Всички строго монотонни функции имат еднозначни обратни функции. По-долу са дадени някои често използвани функции, които са строго монотонни: , , , , , .

Ако дефиниционното множество на функцията може да се раздели на подинтервали, в които функцията да е строго монотонна, функцията има обратна във всеки от тези интервали. Тези обратни функции най-често са различни. Например, функцията има две обратни функции. За стойностите на аргумента от интервала тя има обратна , а за стойностите на аргумента от интервала тя има обратна .

По-нататък за аргумент обикновено се използва x както за правата, така и за обратната функция. При задаването на интервал на изменение на аргумента за две взаимно обратни функции се има предвид изменението на аргумента на правата функция. Аргументът на обратната функция пробягва множеството от стойности на правата функция.

Графиките на две взаимно обратни функции са симетрични относно ъглополовящата на първия и третия квадранти.




Сподели с приятели:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница