Глава 7.
Динамични модели, основаващи се на микроикономическо поведение
7.1. Увод
Модел от този тип беше разглеждан в §5.2. В тази глава се разглеждат изследвания от теорията на икономическия растеж и главно с резултати на Ramsey и Solow. Исторически сведения за развитието на този клон от икономическата наука могат да се намерят напр. в [W] и [BS]. Последната книга съдържа много интересен обзор на статистическите данни, илюстриращи основни факти, свързани с икономическия растеж.
Ще отбележим, изброените от Kaldor през 1963г. т.нар. “стилизирани факти”, които характеризират икономическия растеж:
-
Производството на глава от населението расте с течение на времето и съответния темп на растеж (вж.гл.6) не намалява.
-
Физическият капитал за един активно зает в производството расте.
-
Възвращаемостта на средствата, вложени в капитал е приблизително постоянна.
-
Отношението на физическия капитал и произведената продукция е приблизително постоянно.
-
Дяловете на труда ина физическия капитал (вж. §7.2) в националния доход са приблизително постоянни.
-
Темпът на растеж на продукцията на глава от активното население се различава значително в отделните страни.
§ 7.2. модел на Солоу-Суон
Моделът на Solow-Swan (1956) често се нарича и некласически модел на икономическия растеж. За разлика от модела на Рамзи, в който склонността спестяване s е ендогенно определена функция, тук ще считаме, че s=const ℮(0,1).
Щ е приемем, чеработната сила L(t) расте с постоянен темп n=const>0. С помощта на нормирането L(0)=1 получаваме
Р азглежда се неокласическа производна функция
което по дефиниция означава, че F притежава свойствата
( 7.2.1)
( 7.2.2
т .е. F осигурява постоянна възвращаемост при съответния мащаб, (7.2.3)
Последните свойства се наричат условия на Inada (1963).
А ко означим
о т условието (7.2.2) cледва, че
което ни дава
(7.2.4)
( производсвена функция в интензивна форма).
Понеже Y=L.f(k), намираме
( 7.2.5)
и от условията на Инада следва, че
(7.2.6)
З абележка. Всеки от факторите на производство е съществен, т.е.
З а да установим това, най-напред с правилото на Лопитал и (7.2.3) намираме
Следователно, поради (7.2.2),
Тогава F(K,0)=K.F(1,0)=0.
Пример. Функцията на Cobb-Douglas
е неокласическа производствена функция.
Изходното уравнение за модела на Солоу-Суон е връзката между капитал и инвестиции, както и равенството на последните със спестяването s Y:
к ъдето δ=const>0 отчита обезценяването на капитала. Следователно
откъдето
(7.2.7)
Ще казваме, че икономиката е в устойчиво състояние, ако величините, които я описват (k, y, c,…) имат постоянен темп на растеж (т.е. k΄/k=const и т.н.).
Щ е установим, че в модела на Солоу-Суон това условие всъщност означава, че величините са постоянни. Например от (7.2.7) следва, че в устойчиво положение:
о ткъдето
О ттук, след диференциране по времето t,
Понеже числителят на последната дроб е положителен (вж. (7.2.5) и (7.2.1)), производната k΄=0, т.е. k(t)=k0=const (в устойчиво състояние). Тогава са постоянни също у0=f(k0) и
c0=(1-s)f(k0).
Очевидно е, че в устойчиво състояние величините K, Y, C растат с постоянен темп, а именно темпа n на нарастване на работната сила.
В устойчиво състояние числото k=k0>0 удовлетворява
( 7.2.8)
О пределяме функцията ko=ko(s) от последното уравнение; възможно е, защото
поради (7.2.5).
П роизводната на функцията ko=ko(s) е положителна, защото от (7.2.8) следва, че
откъдето
( 7.2.9)
С лед тези бележки можем да изведем т.нар. златно правило за натрупване на капитала. В устойчиво състояние потреблението на глава от населението
и ма производна
П ри малки стойности на s (т.е. за малки kо(s)) тя е положителна (вж. 7.2.6), а за големи s – отрицателна. Следователно co(s) достига максимума си за онази стойност на s, за която
тъй като производната на ko е положителна. Тази стойност на ko я означават kgold ; съответно sgold, cgold. Смисълът на названието (въведено от Phelps, 1966) на това правило е, че при този темп на спестяване се осигурява същото (максимално възможно!) ниво на потребление и за бъдещите поколения (а не се консумира всичко, с което се разполага във фиксиран момент).
Във врязка със стойността sgold трябва да се отбележи, че по-висок коефициент на спестяване е неефективен, защото всъщност при него потреблението ще намалее. Това твърдение може лесно да се илюстрира и графично (вж. [BS], стр.21).
О т основното уравнение (7.2.7) се вижда, че темпът на растеж на k(t)
e положителен при малки стойности на k и отрицателен – при големи. (За да се убедите в това, приложете правилото на Лопитал и свойства 7.2.6.) На фиг. 7.1 е илюстрирано поведението на k(t) при начална стойност k(0)ko).
Фиг. 7.1
Скоростта на прехода към устойчиво състояние е толкова по-малка, колкото k(0) е по близо до ko.
А налогично бихме могли да изучим темпа на растеж на продукцията на глава от населението:
к ъдето величината
се нарича дял на капитала* (като част от общия доход).
След диференциране относно k намираме
( 7.2.10)
Т ъй като Sh(k)℮(0,1), като вземем предвид знаците на производните на f(k), виждаме че при γк ≥0 производната (7.2.10) е отрицателна. Следователно за икономика с k(0)к намалява с нарастването на k. Ако обаче γк <0 (т.е. k>ko), тогава знакът на (7.2.10) не е точно определен (за случая на разглежданата обща производствена функция). Разбира се, ако k>ko е много близо до ko, тогава γк е много малко и следователно отново
Като непосредствено следствие от изучаването на γу се получават сведения за поведението на потреблението c=(1-s).y, защото очевидно γс = γу.
Задача. Нека
Покажете, че
От израза за γк намираме
Зависимостта на темпа на растеж на k при различни начални стойности k(0) – малки или големи (т.е. за страни, които според дохода на глава са бедни или съответно богати) е изучавана за различни групи страни (вж. [BS], стр. 26-29). Получените резултати показват, че за близки икономики (отделни щати в САЩ) зависимостта между темпа на растеж на у (годишен доход на глава) и lny връзката е практически линейна.
0>
Сподели с приятели: |