Следствие 2.
Окръжността допира окръжностите и като допирните точки (Фигура 6) са средите на отсечките и , а центъра е среда на отсечката .
Доказателство:
Доказателството на твърдението следва веднага от Теорема 2 и Лема 1.
Ще отбележим, че при , окръжността се превръща в
the midway circle12. Тази окръжност е свързана с няколко Архимедови окръжности.
На (Фигура 9) виждаме Архимедовата окръжност под номер 6 в онлайн каталога [2]. През всеки от центровете на малките полуокръжности е построена допирателна към другата полуокръжност. Окръжността с център точка P и радиус равен на допира тези допирателни.
Фигура
Да разгледаме аналогично построение, когато AB е хорда.
Теорема 3.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 10). Ако през средите на отсечките са построени допирателни към окръжностите , то в четириъгълника образуван от тези допирателни може да се впише Архимедова окръжност.
Фигура
Доказателство:
Нека е пресечната точка на с правата през точка P перпендикулярна на AB. От подобността на триъгълниците и получаваме, че
(12) .
След аналогично пресмятане виждаме, че точка лежи и на .
Нека е перпендикулярна на допирателната . От подобността на триъгълниците и получаваме, че ,
от където .
По подобен начин получаваме, че разстоянията от точка до другите допирателни са също равни на . Това означава, че окръжността с център точка и радиус
(13)
е вписана в четириъгълника образуван от дадените допирателни и е Архимедова окръжност. Теоремата е доказана.
От формули (12) и (13) и направеното доказателство виждаме, че при , точките , и ще съвпаднат съответно с , P и , което означава, че окръжността в класическия арбелос е частен случай на построената в Теорема 3 окръжност. Тази окръжност остава Архимедова окръжност за всяка стойност на ъгъла ?.
На (Фигура 11) виждаме Архимедовите окръжности под номера 5a и 5b в онлайн каталога [2]. През точките A и B са построени допирателните към другите полуокръжности. Окръжностите с центрове върху AB и допиращи CP и съоветната допирателна са Архимедови окръжности.
Фигура
Ще разгледаме аналогично построение, когато AB е хорда.
Теорема 4.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 12). Окръжностите допиращи допирателните през точките към окръжностите и допирателната през точка P към окръжностите са Архимедови окръжности.
Фигура
Доказателство:
Нека е пресечната точка на и . От подобността на триъгълниците и получаваме, че
(14) .
Нека е перпендикулярна на допирателната . От подобността на триъгълниците и получаваме, че
,
от където .
По подобен начин получаваме, че разстоянието от точка до другата допирателна е също . Това означава, че окръжността с център точка и радиус
(15)
допира дадените допирателни и е Архимедова окръжност.
Другата окръжност има център , който е пресечната точка на и . Доказателството, че е Архимедова окръжност е същото. Теоремата е доказана.
Отново при виждаме, че окръжностите и в класическия арбелос са частен случай на построените в Теорема 4 окръжности. Тези окръжности остават Архимедови окръжности за всяка стойност на ъгъл ?.
В класическият арбелос окръжността с център точка P (Фигура 11) и радиус равен на допира окръжността на Bankoff и окръжностите и .
Ще намерим свойствата на аналогичната окръжност, когато AB е хорда.
Фигура
Теорема 5.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 13). Нека са построени обобщените окръжности на Bankoff и от Теорема 2, и окръжностите , и от Теорема 3 и Теорема 4. Построена е още окръжност с център средата на отсечката и радиус равен на . Тогава:
- Окръжността допира окръжностите , , и .
- Окръжностите , , определят класически арбелос, за който радиуса на Архимедовите окръжности – близнаци са равен на половината от радиуса на ?-Архимедовите близнаци.
Доказателство:
Точките , P и лежат на една права перпендикулярна на AB (Теорема 2), (от равенство (10)). Следователно Окръжността допира окръжностите и .
Лесно се пресмята, че разстоянията (виж (12)) от центровете на окръжностите и до правата AB са ранни на и, че . Следователно е симетрала на и окръжностите и минават през центъра . Това показва, че окръжността допира и окръжностите и . Допирните точки и лежат на AB.
Тъй като , и са диаметри на окръжностите, , . Следователно определят класически арбелос. Радиуса на неговите Архимедовите окръжности – близнаци получаваме от равенство (11). Теоремата е доказана.
Най-удивителното на тази конструкция13 е, че класически арбелос и негови елементи са „сглобени само от части” на ?-арбелос и негови елементи и връката меду тях е съвсем пряка. Нека забележим още (от (8), (9) и (12)), че центровете на окръжностите , лежат на окръжността , а това означава, че окръжността е the midway circle за този арбелос. Окръжностите и пък (веж Теорема 2) ще определят окръжността на Schoch за този арбелос. И накрая като бонус сърцевината на тази конструкция ни подарява идеята за две нови Архимедови окръжности (пак близнаци!) и две „полу” Архимедови окръжности (оцветени в тъмно жълто).
Теорема 6.
Върху диаметъра AB е даден арбелос (Фигура 14) ограничен от окръжностите , и допиращи се взаимно в точките A, B и P, като . Нека CD е общата допирателна към окръжностите и през точка P, а окръжността е the midway circle за арбелоса. Построени са още описаните окръжности и съответно около триъгълниците POC и POD. Тогава:
- Окръжностите и допиращи външно окръжността и вътрешно окръжностите и са Архимедови окръжности14.
- Окръжностите и допиращи вътрешно окръжността и външно окръжностите и имат радиуси равни на .
Доказателство:
Тъй като радиусите на окръжностите , и са равни15 на , и точките , и са среди съответно на OC, OD и OP, то лесно пресмятаме, че
(16) .
Точките и лежат на общата хорда на окръжностите и . Следователно точка M е среда на и
(17) .
Фигура
Ако радиусът на окръжността означим с x, то от триъгълниците и и равенства (16) и (17) получаваме
,
от където
.
Ако радиусът на окръжността означим с y, то от триъгълник имаме
,
от където
.
Теоремата е доказана.
На (Фигура 15) виждаме окръжността на Schoch, която е под номер 11 в онлайн каталога [2]. С центрове точките A и B са построени окръжности с радиуси съответно 2a и 2b. Окръжността допираща тези окръжности и голямата полуокръжност е Архимедова окръжност.
Фигура
Да разгледаме аналогично построение, когато AB е хорда.
Теорема 7.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 16). Точките и са съответно от окръжностите и така че, и са диаметри. Тогава окръжностите и , които допират вътрешно окръжността и външно окръжностите и са ?-Архимедови окръжности.
Фигура
Доказателство:
Означаваме радиуса на окръжността с x. Тогава
(18) , , .
Косинусова теорема за триъгълник ни дава
(19) .
Тъй като точка O е среда на отсечката , то е медиана в триъгълник и като заместим от (18) и (19) във формулата за медиана на триъгълник, получаваме
.
От където
.
Радиуса на окръжността е същият. Теоремата е доказана.
Поради симетрията относно правата имаме, че правата е перпендикулярна на правата . Тогава ако :
- правата ще съвпадне с правата AB,
- окръжностт ще се превърне в окръжността на Schoch,
- правата ще се превърне в правата на Schoch16.
Естествено ще проверим запазва ли правата свойствата на правата на Schoch17.
На (Фигура 17) виждаме правата на Schoch. Тя минава през центъра на окръжността на Schoch и е перпендикулярна на правата AB. Теоремата на Woo доказва, че правата на Schoch съдържа центровете на Архимедовите окръжности допиращи външно окръжностите и (), които се допират външно в точка P и центровете им и лежат на правата AB.
Фигура
Теорема 8.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигури 18, 19, 20) като P и Q са общите точки на от окръжностите и . Нека окръжностите и са образи съответно на окръжностите и при хомотетия с център точка P и коефициент k. Тогава центровете на ?-Архимедовите окръжности и допиращи окръжностите и лежат на права s успоредна на правата PQ и отстояща на разстояние
от нея, като:
- окръжностите и допират и външно ако ;
- окръжностите и допират и вътрешно ако , където
;
- окръжностите и допират и вътрешно ако
, където
.
Фигура
Доказателство:
Нека (Фигура 18).
Означаваме разстоянието от центъра до правата PQ с d, а , . Понеже е успоредна на , то правата PQ е перпендикулярна на и следователно
(20) .
От косинусова теорема за триъгълниците и имаме
и
.
Като заместим в (20) и пресметнем
,
което показва, че центъра лежи на правата s.
Поради симетрията относно правата , центъра също лежи на правата s.
Случаят е елементарен.
Нека (Фигура 19).
Означаваме разстоянието от центъра до правата PQ с d , .
Фигура
Тъй като , и , то
и след аналогични изчисления получаваме същия резултат, както в предходния случай.
Поради симетрията относно правата , окръжностите и допират вътрешно окръжностите и ако
.
Понеже , решенията на горното неравенство са
.
Нека (Фигура 20) и k приема такива стойности, че окръжностите и допират и вътрешно.
Фигура
Означаваме разстоянието от центъра до правата PQ с d , .
Сега имаме , , и
.
След пресмятане получаваме същия резултат, както в първия случай.
Окръжностите и допират и вътрешно ако
.
Понеже , решенията на горното неравенство са
.
Теоремата е доказана.
Правата на Schoch е частен случай на правата s при .
За и се получават аналогичните в ?-арбелоса окръжност на Schoch-Woo и окръжност на Schoch.
Сподели с приятели: |