Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности Димитър Белев



страница3/3
Дата23.10.2018
Размер393.93 Kb.
#93430
1   2   3

Следствие 1.

Теоремата на Woo за правата на Schoch в класическия арбелос е частен случай на Теорема 8 за , като и18


.

Центърът на Архимедовата окръжност, която се получава за , е пресечната точка на правата на Schoch с диаметъра AB (Фигура 21).




Фигура
Тъй като в класическия арбелос окръжностите и се допират, то когато няма Архимедови окръжности центровете, на които да лежат на правата на Schoch. Това означава, че ?-Архимедови окръжности, чиито центрове лежат на правата s нямат аналози в класическия арбелос.
Следствие 2.

При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 22). Нека е


?-Архимедова окръжност допираща допирателните CD и EF и лежаща от страната на по-малкия сегмент определен от хордата AB. Центърът на тази окръжност лежи на правата s.
Доказателство:

Тъй като правите CD и EF са границите на окръжностите и , когато коефициентът к расте (или намалява) неограничено, то центърът е граничната точка на единия от центровете на ?-Архимедови окръжности и , които лежат на правата s (от Теорема 8).




Фигура
Ъглополовяща на е перпендикулярна на AB, а правата s е перпендикулярна на , следователно е граничната точка на .
Окръжността има някои странности.

Тази окръжност няма аналог в класическия арбелос. Когато правите CD и EF се сливат и тя просто изчезва някъде в безкрайността!

Хордата AB разделя окръжността на различни сегменти, което „налагаше” на изледваните досега окръжности „да се държат равнопоставено” и с двата сегмента, независимо дали бяха „по двойки” или самостоятелни. Окръжността очевидно пренебрегва единия сегмент!


  1. Равносметка.

Както видяхме аналогичните на Архимедовите окръжности в обобщения арбелос не се държат еднозначно. Можем да систематизираме техните свойства като ги подредим в следните групи:
A) Окръжности, които остават Архимедови окръжности независимо от ъгъл ?.

В тази група за сега можем да поставим Архимедовите окръжности19 , и .

Можем да отбележим, че макар да не са Архимедови окръжности, постоянни остават и:
- Окръжността описана в Теорема 2.
- Окръжността описана в Теорема 5.
B) Окръжности, чиито аналози са еднакви на обобщените
?-Архимедовите близнаци, тоест имат радиуси равни на .

В тази група за сега попадат самите Архимедови окръжности – близнаци20, както и всички Архимедови окръжности с центрове върху правата на Schoch.


C) Окръжности, чиито аналози са двойки окръжности свързани с различните сегменти, на които хордата AB разделя голямата окръжност, но средно аритметичното на техните радиуси е и / или средно хармоничното на техните радиуси е r.

Доказахме, че тези свойства има окръжността на Bankoff.

Без доказателство тук ще добавим:
- Окръжностите и - средно хармоничното на радиусите на техните аналози е r.
- Окръжностите - аналозите им имат и двете описани свойства.
D) Окръжности, чиито аналози нямат нито едно от свойствата на предходните групи.

Без доказателство тук ще поставим окръжности и - Schoch twins. Веднага обаче трябва да направим уговорката, че поради описаните по-горе трудности тук могат да попаднат Архимедови окръжности, чиито аналози просто не са намерени.


Разбира се този списък е отворен. Изследваните тук Архимедови окръжности (и съответните конструкции) са само една малка част от всички намерени такива.

References

[1] L. Bankoff, Are the twin circles of Archimedes really twins?, Math. Mag., 47 (1974) 214–218.

[2] Floor van Lamoen, Online catalogue of Archimedean circles http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/Catalogue.htm

[3] P. Woo, Simple constructions of the incircle of an arbelos, Forum Geom., 1 (2001) 133–136.

[4] P. Yiu, Elegant geometric constructions, Forum Geom., 5 (2005) 75–96.

[5] P. Yiu, Euclidean Geometry Notes, 50.

[6] А. Мякишев, Элементы геометрии треугольника, Библиотека „Математическое просвещение” №19 (2002) 14–15.

[7] Floor van Lamoen, Archimedean Adventures, Forum Geom., 6 (2006) 79–96.

Dimitar Belev: g.k. “Ovtcha Kupel -2” bl.23 vh.V, Sofia, Bulgaria 1632

E-male address: dbelev@gbg.bg



1 Първата намерена Архимедова окръжност е описана в [1].

2 Каталог на тези окръжности можете да намерите в [2].

3 Различните сегменти, на които AB разделя окръжността предполагат, че в общия случай тези окръжности „вървят по двойки”. По-долу ще видим, че не винаги е така.

4 Това е една от лемите на Архимед. Може да бъде намерена в [6].

5 Тази теорема ни дава и начин за построение на вписаната в ?-арбелос окръжност. Аналогично построение за класическия арбелос е описано в [4].

6 съвпада с допирателната EF.

7 От това следва, че точките A, , и B лежат на една окръжност, центъра на която е пресечната точка на правата и права през точка A перпендикулярна на правата . Тъй като , то можем да построим окръжността по начин подобен на Construction 3 на P. Woo описан в [3].

8 Тази окръжност не минава през точка и не можем да построим окръжността подобно на Construction 1 на P. Woo описан в [3].

9 Разглеждаме инверсия относно окръжността B(C) (Фигура 3).

10 Лесно можем да построим окръжността като намерим точка , намерим като пресечна точка на TQ (Фигура 6) и перпендикуляра през точка P към правата AB, построим окръжността с диаметър и получим точките и .

11 Радиусите и могат да бъдат пресметнати лесно и като радиуси на окръжности вписани (Фигура 6) в сегментите, на които дадена хорда (част от AB) разделя дадена окръжнаст (окръжнастта ) допиращи хордата в една и съща точка (точка P). Формулите могат да бъдат намерени в [5].

12 Названието дава Floor van Lamoen в [7].

13 Виждате ли прилика с „бременна костенурка”? ?

14 Аналагично могат да бъдат зададени и окръжностите симетрични на и относно AB.

15 Да добавим още, че окръжностите и допират окръжността съответно в точките C и D.

16 Не мога да цитирам. Нямам информация за статията, в която са въведени окръжността на Schoch и правата на Schoch. Help me!

17 Нямам информация за статията, в която е описана теоремата на Woo. Help!

18 Коефициентът к може да приема отрицателни стойности само ако раглеждаме и като окръжности, а не като полуокръжности.

19 Номерацията е взета от онлайн каталога [2].

20 Floor van Lamoen ги нарича „Адам и Ева на Архимедовите окръжности”. Съобразявайки се със свойствата, които притежават окръжностите , и , то можем продължим тази аналогия като ги наречем „Светата Тройца на Архимедовите окръжности” ?

Каталог: upload -> files -> dbelev -> Documents
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Списък на участниците – 22 ученици от икономически професионални гимназии и 3-ма учители
files -> З а п о в е д № от г. На основание чл. 162, ал. 4 от Кодекса за застраховането, образците на отчет
files -> Наредба №23 от 18 декември 2009 Г. За условията и реда за предоставяне на безвъзмездна финансова помощ по мярка "прилагане на стратегиите за местно развитие" и по мярка "управление на местни инициативни групи
files -> Съдържание увод глава първа. Особености на отразяването на кризата в медийния дискурс
files -> Единни в многообразието замяза на „Еднообразни в разединението”
files -> Заседанието на кабинета, в което участваше и министър Москов продължава
Documents -> Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева Резюме


Сподели с приятели:
1   2   3




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница