Следствие 1.
Теоремата на Woo за правата на Schoch в класическия арбелос е частен случай на Теорема 8 за , като и18
.
Центърът на Архимедовата окръжност, която се получава за , е пресечната точка на правата на Schoch с диаметъра AB (Фигура 21).
Фигура
Тъй като в класическия арбелос окръжностите и се допират, то когато няма Архимедови окръжности центровете, на които да лежат на правата на Schoch. Това означава, че ?-Архимедови окръжности, чиито центрове лежат на правата s нямат аналози в класическия арбелос.
Следствие 2.
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 22). Нека е
?-Архимедова окръжност допираща допирателните CD и EF и лежаща от страната на по-малкия сегмент определен от хордата AB. Центърът на тази окръжност лежи на правата s.
Доказателство:
Тъй като правите CD и EF са границите на окръжностите и , когато коефициентът к расте (или намалява) неограничено, то центърът е граничната точка на единия от центровете на ?-Архимедови окръжности и , които лежат на правата s (от Теорема 8).
Фигура
Ъглополовяща на е перпендикулярна на AB, а правата s е перпендикулярна на , следователно е граничната точка на .
Окръжността има някои странности.
Тази окръжност няма аналог в класическия арбелос. Когато правите CD и EF се сливат и тя просто изчезва някъде в безкрайността!
Хордата AB разделя окръжността на различни сегменти, което „налагаше” на изледваните досега окръжности „да се държат равнопоставено” и с двата сегмента, независимо дали бяха „по двойки” или самостоятелни. Окръжността очевидно пренебрегва единия сегмент!
-
Равносметка.
Както видяхме аналогичните на Архимедовите окръжности в обобщения арбелос не се държат еднозначно. Можем да систематизираме техните свойства като ги подредим в следните групи:
A) Окръжности, които остават Архимедови окръжности независимо от ъгъл ?.
В тази група за сега можем да поставим Архимедовите окръжности19 , и .
Можем да отбележим, че макар да не са Архимедови окръжности, постоянни остават и:
- Окръжността описана в Теорема 2.
- Окръжността описана в Теорема 5.
B) Окръжности, чиито аналози са еднакви на обобщените
?-Архимедовите близнаци, тоест имат радиуси равни на .
В тази група за сега попадат самите Архимедови окръжности – близнаци20, както и всички Архимедови окръжности с центрове върху правата на Schoch.
C) Окръжности, чиито аналози са двойки окръжности свързани с различните сегменти, на които хордата AB разделя голямата окръжност, но средно аритметичното на техните радиуси е и / или средно хармоничното на техните радиуси е r.
Доказахме, че тези свойства има окръжността на Bankoff.
Без доказателство тук ще добавим:
- Окръжностите и - средно хармоничното на радиусите на техните аналози е r.
- Окръжностите - аналозите им имат и двете описани свойства.
D) Окръжности, чиито аналози нямат нито едно от свойствата на предходните групи.
Без доказателство тук ще поставим окръжности и - Schoch twins. Веднага обаче трябва да направим уговорката, че поради описаните по-горе трудности тук могат да попаднат Архимедови окръжности, чиито аналози просто не са намерени.
Разбира се този списък е отворен. Изследваните тук Архимедови окръжности (и съответните конструкции) са само една малка част от всички намерени такива.
References
[1] L. Bankoff, Are the twin circles of Archimedes really twins?, Math. Mag., 47 (1974) 214–218.
[2] Floor van Lamoen, Online catalogue of Archimedean circles http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/Catalogue.htm
[3] P. Woo, Simple constructions of the incircle of an arbelos, Forum Geom., 1 (2001) 133–136.
[4] P. Yiu, Elegant geometric constructions, Forum Geom., 5 (2005) 75–96.
[5] P. Yiu, Euclidean Geometry Notes, 50.
[6] А. Мякишев, Элементы геометрии треугольника, Библиотека „Математическое просвещение” №19 (2002) 14–15.
[7] Floor van Lamoen, Archimedean Adventures, Forum Geom., 6 (2006) 79–96.
Dimitar Belev: g.k. “Ovtcha Kupel -2” bl.23 vh.V, Sofia, Bulgaria 1632
E-male address: dbelev@gbg.bg
Сподели с приятели: |