Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници
Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева
Резюме: Представяме едно обобщение на Наполеоновите
триъгълници и изследваме някои техни свойства.
-
Наполеонови триъгълници.
Външно за , върху страните му са построени равностранни триъгълници. Ако , и са центровете на тези равностранни триъгълници, то наричаме първи (външен) Наполеонов триъгълник. Аналогично , където , и са центровете на равностранните триъгълници, построени вътрешно за - наричаме втори (вътрешен) Наполеонов триъгълник (фиг. 1).
Теорема 1. Нека и са Наполеоновите триъгълници на . Тогава1:
-
Наполеоновите триъгълници са равностранни.
-
Ако ориентираните лица на и са и , то .
-
Триъгълникът ABC и Наполеоновите триъгълници имат общ медицентър G.
фиг. 1
-
Обобщение на Наполеоновите триъгълници.
Първо, ще покажем едно свойство на класическите Наполеонови триъгълници.
Твърдение 1. Нека и са Наполеоновите триъгълници на и точките , , и , , са средите на страните им (фиг. 1). Тогава: и са среди на и ; и са среди на и ; и са среди на и .
Доказателство:
Нека точка . Тъй като G е медицентър на и , то . Следователно G е медицентър на ( и са среди на и ) и тогава , т.е. .
Построение. Нека положително ориентираният и отрицателно ориентираният имат общ медицентър G (фиг. 2). Точките , , и , , са среди на страните им. Построяваме точките: , , , , , , , , . Построяваме още точки , и така, че , и да са медицентрове съответно на триъгълници , и .
фиг. 2
Твърдение 2. Ако при направените построения (фиг. 2) с , , , и означим ориентираните лица съответно на , , , и то:
-
Триъгълници , , , и имат общ медицентър G.
-
.
-
Сумата от периметрите на триъгълниците , и е равна на сумата от периметрите на триъгълниците , и .
Доказателство:
a) Тъй като е среда на и (доказателството е като на Твърдение 1), то , от където
(1) , , (аналогично).
Като съберем равенства (1) и отчетем, че G е медицентър на и , то ,
от където следва, че G е медицентър и на (аналогично и на и ).
b) Нека G е център на координатна система, в която точките , , , , и имат координати , , , , и . Тогава от равенства (1) получаваме координатите на точките:
,
(2)
, .
Съставяме разликата.
И пресмятаме.
Равенството е доказано.
c) Разглеждаме векторите и . Като използваме (2) получаваме
.
Като използваме, че
( и G са медицетрове на триъгълниците , и ) и (2) пресмятаме
. Следователно или (останалите – по аналогичен начин):
, и ;
(3) , и ;
, и .
Тоест сумите от периметрите на двете тройки триъгълници са равни.
Следствие. Ако при направените построения, триъгълниците и са равностранни (фиг. 3), то:
-
Триъгълниците , и са еднакви и имат общ медицентър G с триъгълниците и .
-
Триъгълниците , и са равностранни с дължини на страните равни на дължините на страните на триъгълниците , и .
-
(при означенията от Твърдение 2).
Доказателство:
a) Тъй като триъгълниците и са равностранни, точките и се изобразяват в точките и при ротация с център G и ъгъл 120. Точките и са среди на отсечките и (виж Твърдение 1) и следователно точка се изобразява в точка (ротацията е еднаквост). Аналогично точките и се изобразяват в точките и . Следоватлно . По същият начин , като:
(4) ; ; .
От Твърдение 2а) G е медицентър на триъгълници , , , и .
b) От равенства (3) на Твърдение 2c и равенства (4) на Следствие a) следва, че триъгълниците , и са равностранни с дължини на страните съответно равни на a, b и c.
фиг. 3
c) Равенствата следват веднага от еднаквостта на триъгълниците , и .
Така доказахме, че класическите Наполеонови триъгълници и техните основни свойства (Теорема 1) са частен случай на построеното от нас обобщение и неговите свойства (Твърдение 2).
Нека отбележим още, че , тъй като са получени от чрез хомотетии с коефициенти 2 и 2 и центрове , , и G (фиг. 2). Аналогично .
Литература:
[1] H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer – “Geometry Revisited” Toronto – New York 1967
София, пк 1632
ж.к.”Овча Купел -2” бл.23 вх.В
Димитър Андонов Белев, Василка Петрова Игнатова-Белева:
тел. 956-51-56, GSM 0889-70-86-34, 0878-70-86-34
E-mail: dbelev@gbg.bg
One generalization of the Napoleon triangles
Dimitar Andonov Belev, Vasilka Petrova IgnatovaBeleva
Abstract.
We present you one generalization of the Napoleon triangles and we investigate some of their properties.
София, пк 1632
ж.к.”Овча Купел -2” бл.23 вх.В
Димитър Андонов Белев, Василка Петрова Игнатова-Белева:
тел. 956-51-56, GSM 0889-70-86-34, 0878-70-86-34
E-mail: dbelev@gbg.bg
Сподели с приятели: |