Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева Резюме



Дата06.05.2017
Размер62.59 Kb.




Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници
Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева

Резюме: Представяме едно обобщение на Наполеоновите
триъгълници и изследваме някои техни свойства.



  1. Наполеонови триъгълници.

Външно за , върху страните му са построени равностранни триъгълници. Ако , и са центровете на тези равностранни триъгълници, то наричаме първи (външен) Наполеонов триъгълник. Аналогично , където , и са центровете на равностранните триъгълници, построени вътрешно за - наричаме втори (вътрешен) Наполеонов триъгълник (фиг. 1).

Теорема 1. Нека и са Наполеоновите триъгълници на . Тогава1:

    1. Наполеоновите триъгълници са равностранни.

    2. Ако ориентираните лица на и са и , то .

    3. Триъгълникът ABC и Наполеоновите триъгълници имат общ медицентър  G.


фиг. 1


  1. Обобщение на Наполеоновите триъгълници.

Първо, ще покажем едно свойство на класическите Наполеонови триъгълници.

Твърдение 1. Нека и са Наполеоновите триъгълници на и точките , , и , , са средите на страните им (фиг. 1). Тогава: и са среди на и ; и са среди на и ; и са среди на и .

Доказателство:

Нека точка . Тъй като G е медицентър на и , то . Следователно G е медицентър на ( и са среди на и ) и тогава , т.е. .



Построение. Нека положително ориентираният и отрицателно ориентираният имат общ медицентър G (фиг. 2). Точките , , и , , са среди на страните им. Построяваме точките: , , , , , , , , . Построяваме още точки , и така, че , и да са медицентрове съответно на триъгълници , и .

фиг. 2
Твърдение 2. Ако при направените построения (фиг. 2) с , , , и означим ориентираните лица съответно на , , , и то:



    1. Триъгълници , , , и имат общ медицентър G.

    2. .

    3. Сумата от периметрите на триъгълниците , и е равна на сумата от периметрите на триъгълниците , и .

Доказателство:

a) Тъй като е среда на и (доказателството е като на Твърдение 1), то , от където
(1) , , (аналогично).

Като съберем равенства (1) и отчетем, че G е медицентър на и , то ,


от където следва, че G е медицентър и на (аналогично и на и ).

b) Нека G е център на координатна система, в която точките , , , , и имат координати , , , , и . Тогава от равенства (1) получаваме координатите на точките:
,
(2)
, .
Съставяме разликата.

И пресмятаме.



Равенството е доказано.

c) Разглеждаме векторите и . Като използваме (2) получаваме

.

Като използваме, че


( и G са медицетрове на триъгълниците , и ) и (2) пресмятаме

. Следователно или (останалите – по аналогичен начин):

, и ;
(3) , и ;

, и .

Тоест сумите от периметрите на двете тройки триъгълници са равни.



Следствие. Ако при направените построения, триъгълниците и са равностранни (фиг. 3), то:

  1. Триъгълниците , и са еднакви и имат общ медицентър G с триъгълниците и .

  2. Триъгълниците , и са равностранни с дължини на страните равни на дължините на страните на триъгълниците , и .

  3. (при означенията от Твърдение 2).

Доказателство:

a) Тъй като триъгълниците и са равностранни, точките и се изобразяват в точките и при ротация с център G и ъгъл 120. Точките и са среди на отсечките и (виж Твърдение 1) и следователно точка се изобразява в точка (ротацията е еднаквост). Аналогично  точките и се изобразяват в точките и . Следоватлно . По същият начин  , като:
(4) ; ; .

От Твърдение 2а)G е медицентър на триъгълници , , , и .



b) От равенства (3) на Твърдение 2c и равенства (4) на Следствие a) следва, че триъгълниците , и са равностранни с дължини на страните съответно равни на a, b и c.

фиг. 3
c) Равенствата следват веднага от еднаквостта на триъгълниците , и .

Така доказахме, че класическите Наполеонови триъгълници и техните основни свойства (Теорема 1) са частен случай на построеното от нас обобщение и неговите свойства (Твърдение 2).

Нека отбележим още, че , тъй като са получени от чрез хомотетии с коефициенти 2 и 2 и центрове , , и G (фиг. 2). Аналогично  .


Литература:

[1] H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer – “Geometry Revisited” Toronto – New York 1967


София, пк 1632
ж.к.”Овча Купел -2” бл.23 вх.В
Димитър Андонов Белев, Василка Петрова Игнатова-Белева:
тел. 956-51-56, GSM 0889-70-86-34, 0878-70-86-34
E-mail: dbelev@gbg.bg
One generalization of the Napoleon triangles
Dimitar Andonov Belev, Vasilka Petrova IgnatovaBeleva
Abstract.

We present you one generalization of the Napoleon triangles and we investigate some of their properties.


София, пк 1632
ж.к.”Овча Купел -2” бл.23 вх.В
Димитър Андонов Белев, Василка Петрова Игнатова-Белева:
тел. 956-51-56, GSM 0889-70-86-34, 0878-70-86-34
E-mail: dbelev@gbg.bg


1 Доказателство може да бъде намерено в [1].


Каталог: upload -> files -> dbelev -> Documents
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Списък на участниците – 22 ученици от икономически професионални гимназии и 3-ма учители
files -> З а п о в е д № от г. На основание чл. 162, ал. 4 от Кодекса за застраховането, образците на отчет
files -> Наредба №23 от 18 декември 2009 Г. За условията и реда за предоставяне на безвъзмездна финансова помощ по мярка "прилагане на стратегиите за местно развитие" и по мярка "управление на местни инициативни групи
files -> Съдържание увод глава първа. Особености на отразяването на кризата в медийния дискурс
files -> Единни в многообразието замяза на „Еднообразни в разединението”
files -> Заседанието на кабинета, в което участваше и министър Москов продължава
Documents -> Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности Димитър Белев


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница