Енергетични методи 11 увод

В тази глава са разгледани т. нар. енергетични методи, които намират широко приложение в механиката на деформируемото твърдо тяло. Получен е както общ израз за потенциалната енергия на деформацията, така и изрази за потенциалната енергия на деформацията за тела от гредови тип при различни комбинации от разрезни усилия. Представени са основните енергетични теореми. Тяхното практическо приложение е илюстрирано с различни примери.

Потенциалната енергия на деформацията представлява основно понятие в енергетичните методи. Същността на това понятие ще изясним по следния начин. Известно е, че външните сили извършват работа в процеса на деформиране на едно естествено твърдо тяло. Предполагаме, че е валидна хипотезата за статично прилагане на силите. Ще установим зависимост между работата на външните сили, приложени върху тялото, и работата на вътрешните сили. Под вътрешни сили ще разбираме силите на взаимодействие между малките частици на които можем да си мислим, че е разделено тялото. Предполагаме, че тялото е в състояние на покой. Да приложим интегралната форма на теоремата за изменение на кинетичната енергия, известна от курса по Теоретична механика

. (11.1)

Тук под положение (1) разбираме състоянието на тялото преди прилагане на външните сили. Положение (2) съответства на състоянието на тялото при което външните сили са достигнали своята крайна стойност. Работата на външните и вътрешните сили при преминаване на тялото от положение (1) в положение (2) е означена с W_ext и W_int, съответно. Тъй като е в сила хипотезата за статично прилагане на външните сили, кинетичната енергия е равна на нула. Тогава от (11.1) получаваме

Ако тялото е идеално еластично, работата на външните сили напълно преминава в потенциална енергия на деформацията U. Ето защо идеално еластичното тяло може да се разглежда като акумулатор на енергия (типичен пример в това отношение е пружината на часовника). При разтоварване натрупаната потенциална енергия напълно се изразходва за връщане на идеално еластичното тяло в неговото първоначално недеформирано състояние, като тази работа се извършва от вътрешните сили. Следователно потенциалната енергия на деформацията е равна на работата на вътрешните сили, взета с обратен знак, т.е.

От (11.2) и (11.3) имаме

Този резултат показва, че потенциалната енергия на деформацията е равна на работата на външните сили, извършена при деформиране на тялото. Тази работа се нарича деформационна работа.

Ако напрежението надвишава границата на провлачане на материала, т.е. тялото се деформира еласто-пластично, част от деформационната работа се изразходва за необратими процеси (например за повишаване на температурата). Ето защо натрупаната потенциална енергия не е достатъчна за пълно връщане към първоначалното (недеформирано) състояние на тялото при разтоварване, т.е. част от получените деформации са остатъчни (необратими).

Фиг. 11. 1

Ако тялото е с идеално пластично поведение, т.е. развиват се само пластични деформации, цялата деформационна работа се изразходва за необратими процеси. В резултат на това тялото остава в деформирано състояние, даже и след пълно разтоварване.

Фиг. 11. 2

Ще определим работата на външните сили за случая на линейно-еластичен прът, натоварен на чист опън с концентрирана сила F (фиг. 11.1). Валидна е хипотезата за статично прилагане на натоварването. За елементарната работа имаме

, (11.5)

където F(δ) е текуща стойност на силата, а dδ е безкрайно малко удължение на пръта. Пълната работа получаваме след интегриране

където l е удължението на пръта, когато силата достигне крайната си стойност F. Формула (11.6) показва, че работата на външната сила е равна на лицето на триъгълник OAB от фиг. 11.2а (тук трябва да се припомни, че при линейно-еластичния материал зависимостта между силата и удължението на пръта, респективно между напрежението и деформацията (фиг. 11.2б), е линейна). Следователно за W_ext получаваме

За потенциалната енергия на деформацията съгласно (11.4) имаме

Потенциалната енергия, акумулирана в единица обем на пръта, се нарича специфична потенциална енергия. Означава се с u. В случая тя се намира по формулата

Тук е взето предвид, че , и , където A и l са съответно лицето на напречното сечение и дължината на пръта. Геометричната интерпретация на (11.9) е, че специфичната потенциална енергия е числено равна на лицето на триъгълник под работната диаграма (фиг. 11.2б).

Формула (11.9) изразява теоремата на Клапейрон при едномерно напрегнато състояние.
11.2. ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ НА ДЕФОРМАЦИЯТА ПРИ ТРИМЕРНО НАПРЕГНАТО СЪСТОЯНИЕ

Нека мислено разделим едно линейно-еластично тяло на система от безкрайно малки правоъгълни паралелепипеди. Взаимодействието между паралелепипедите при деформиране на тялото води до възникване на нормални _x, _y, _z и тангенциални _xy, _yz, _zx напрежения върху стените на паралелепипедите. Да разгледаме един паралелепипед с размери dx, dy, dz (фиг. 11.3а).

Фиг. 11. 3

Задаваме удължение _xdx на паралелепипеда по оста х. Като се отчете, че е валидна хипотезата за статично прилагане на натоварването, по аналогия с формула (11.8), потенциалната енергия на деформацията, натрупана в паралелепипеда, може да се определи като деформационна работа на външната за паралелепипеда сила _xdydz, т.е.

, (11.10)

където .

По подобен начин за приноса на силата _xydydz при преместване _xydx (фиг. 11.3б) имаме

. (11.11)

За приноса на останалите сили _ydxdz, _zdxdy, _yzdxdz, _zxdxdy при съответни премествания _ydy, _zdz, _yzdy, _zxdz получаваме аналогични резултати. Тъй като е валиден принципът за независимото действие на силите, за потенциалната енергия на деформацията, натрупана в паралелепипеда, ще имаме

където е въведена функцията

която се нарича деформационен потенциал. Зависимостта (11.13), която е известна като теорема на Клапейрон, изразява специфичната потенциална енергия на деформацията при тримерно напрегнато състояние. Потенциалът u може да се изрази също така само чрез напреженията или само чрез деформациите с помощта на обобщения закон на Хук. Потенциалната енергия на деформацията за цялото тяло U се получава чрез интегриране на (11.12) по обема на тялото

Ако изразим деформациите чрез напреженията с помощта на обобщения закон на Хук, формулата за потенциалната енергия на деформацията може да се запише като

Ако осите x, y, z съвпадат с главните направления в разглежданата точка, U може да се изрази чрез главните нормални напрежения по следния начин:

Потенциалната енергия на деформацията може също така да се изрази чрез деформациите като се използва законът на Хук. Резултатът е

Ако осите x, y, z съвпадат с главните направления в разглежданата точка, този израз се опростява по следния начин:

Да преминем към определяне на потенциалната енергия на деформацията на участък от греда с постоянно напречно сечение при различни съчетания на разрезните усилия. Първо ще разгледаме случая на общо огъване, съчетано с опън (натиск). Известно е, че нормалните напрежения се определят по формулата

Заместваме (11.19) в (11.15) и получаваме

Решаването на този интеграл свеждаме до решаване на шест отделни интеграла. За целта записваме израз (11.20) във вида

(11.21)

Тогава от (11.21) получаваме следния окончателен резултат:

Тук трябва да се припомни, че M_y, M_z и N са функции на абсцисата х. От (11.23) като частни случаи получаваме изрази за потенциалната енергия на деформацията при чист опън (натиск)

чисто специално огъване около ос y

чисто специално огъване около ос z

За случаите на чисто усукване и на чисто срязване оставяме на читателя сам да достигне до формулите

Ще се спрем на случая на специално огъване, съчетано със срязване. Предполагаме, че M_y и V_z са различни от нула. Напреженията се дават с формулите

Заместваме σ_x и _xz в (11.15) и след преобразувания получаваме

Ще се спрем на второто събираемо в (11.30). То се получава по следния начин:

където

е безразмерен коефициент, който отчита неравномерното разпределение на тангенциалните напрежения и ъгловите деформации по напречното сечение.

Всъщност k представлява отношението на ъгловата деформация в центъра на тежестта на сечението към средната му ъглова деформация. Формула (11.32) показва, че k е геометрична характеристика на напречното сечение. Например за правоъгълно напречно сечение с основа b и височина h имаме

, , , (11.33)

Заместваме (11.33) в (11.32) и получаваме

По аналогичен начин за кръгово напречно сечение се получава k=1,11.

Дотук разгледахме определянето на потенциалната енергия на деформацията за един участък при различни съчетания на разрезните усилия. За случая на конструкция, съдържаща n на брой участъка, потенциалната енергия на деформацията се определя чрез сумиране по участъци, т.е.

, (11.35)

където k_y и k_z съответстват на коефициента k и зависят от ориентацията на напречното сечение.

Трябва да се отбележи, че някои от събираемите в (11.35) могат да се пренебрегнат в зависимост от конкретния случай. Например при огъване, съчетано с опън (натиск), приносът на надлъжната сила обикновено се пренебрегва. Все пак по въпроса за пренебрегване на приноса на едно или друго разрезно усилие не може да се даде някакво общо указание, а към всеки конкретен случай трябва да се подхожда индивидуално. Например приносът на напречната сила обикновено също се пренебрегва, освен при къси греди. Тук обаче трябва да се припомни, че късите греди са въобще извън предмета на Съпротивление на материалите.

За ставно-прътовите системи формула (11.35) се опростява значително и се записва по следния начин:

където n е броят на прътите, а S_i , l_i и A_i са съответно усилието, дължината и лицето на напречното сечение на i-я прът.

Във връзка с доказателството на теоремата на Бети ще припомним, че при статично прилагане на натоварването работата на сила се дава с формула, аналогична на (11.7), т.е.

където _i е проекцията на преместването на приложната точка на силата F_i върху направлението на силата. Величината _i се нарича проектирано преместване.

Фиг. 11. 4

Теоремата за взаимност на работите, известна като теорема на Бети, се отнася за линейно-еластичните тела. Ето защо при доказателството на теоремата ще използваме принципа за независимост на действието на силите. Съгласно този принцип окончателното напрегнато и деформирано състояние не се влияе от последователността на прилагане на товарите. Да разгледаме една линейно-еластична греда, натоварена с две сили (фиг. 11.4). Нека първо е приложена силата F₁ (фиг. 11.4а). Преместването на нейната приложна точка е ₁₁, а преместването на приложната точка на сила F₂ e ₂₁. Първият индекс на преместването отговаря на точката за която се отнася това преместване, а вторият индекс отговаря на силата, предизвикала преместването. Например ₂₁ означава преместване на приложната точка на силата F₂, породено от силата F₁. За състоянието на гредата, показано на фиг. 11.4а, работата на F₁ е

. (11.38)

След това върху гредата е приложена и силата F₂ (фиг.11.4б). За новото състояние на гредата (фиг. 11.4б) работите на силите F₁ и F₂, дължащи се на премествания, предизвикани от F₂, се дават с изразите

При определяне на е съобразено, че силата F₁ остава постоянна при допълнителното преместване на нейната приложна точка ₁₂ в резултат на действието на допълнително приложената сила F₂.

От (11.38) и (11.39) за общата деформационна работа получаваме

. (11.40)

Да променим реда на прилагане на силите. Нека първо е приложена сила F₂ (фиг. 11.4в). За нейната работа имаме

След това е приложена силата F₁ (фиг. 11.4г). Работите на F₁ и F₂, дължащи се на премествания, породени от F₁, са

За общата работа получаваме

Съгласно споменатия вече принцип за независимост на действието на силите, деформационната работа не зависи от реда на прилагане на силите, а само от крайните им стойности. Следователно можем да запишем

откъдето получаваме

Аналогичен резултат може да се получи и за случая на линейно-еластично тяло, натоварено с две системи сили.

Това ни дава основание да формулираме теоремата на Бети, известна още като теорема за взаимност на работите, по следния начин:

Ако дадено линейно-еластично тяло е натоварено с две системи сили, работата на първата система сили от премествания, предизвикани от втората система, е равна на работата на втората система сили от премествания, дължащи се на първата система.

Теоремата на Максуел, известна още като теорема за взаимност на преместванията, представлява частен случай на теоремата на Бети. Ако за гредата на фиг. 11.4 приемем, че силите F₁ и F₂ имат големина единица, формула (11.45) се записва като

Това равенство изразява теоремата на Максуел, която може да се изкаже така: проектираното преместване на приложната точка на сила F₁=1, дължащо се на сила F₂=1, е равно на проектираното преместване на приложната точка на втората единична сила, дължащо се на първата единична сила.

Фиг. 11. 5

Теоремата на Рейли, известна като теорема за взаимност на реакциите, се отнася за статически неопределими конструкции (фиг. 11.5). Тя гласи: реакцията в опора i вследствие на преместване единица на опора j е равна на реакцията в опора j вследствие на преместване единица на опора i, т.е.

. (11.47)
11.5. ТЕОРЕМА НА КАСТИЛЯНО

Теоремата на Кастиляно гласи: частната производна на потенциалната енергия на деформацията по отношение на една от силите е равна на проектираното преместване на приложната точка на тази сила.

Доказателството на теоремата на Кастиляно се основава на следните разсъждения. Да разгледаме едно линейно-еластично тяло, натоварено с уравновесена система сили. Означаваме с U потенциалната енергия на деформацията, натрупана в тялото при неговото деформиране. Даваме безкрайно малко нарастване dF_i на една от силите. В резултат на това потенциалната енергия на деформацията нараства с . За новата стойност на потенциалната енергия имаме

. (11.48)

Да променим реда на прилагане на натоварването. Нека първо е приложена силата dF_i. Нейната приложна точка ще получи безкрайно малко проектирано преместване d_i. Валидна е хипотезата за статично прилагане на натоварването. Следователно работата на силата dF_i се дава с израза . След прилагането на силата dF_i да приложим цялото външно натоварване. Работата на външните сили би била равна точно на U, ако вече не беше приложена силата dF_i. Тъй като при втория етап на натоварване силата dF_i остава постоянна, нейната работа се определя по формулата , където _i е проектираното преместване на приложната й точка. Окончателният израз за потенциалната енергия на деформацията при втората последователност на прилагане на натоварването може да се запише като

Понеже тялото е линейно-еластично, т.е. валиден е законът на Хук, окончателната стойност на потенциалната енергия на деформацията не зависи от реда на прилагане на натоварването. Това ни дава право да приравним изразите (11.48) и (11.49). Пренебрегваме безкрайно малката величина от по-висок ред и получаваме

което представлява търсеното доказателство. До аналогичен резултат може да се достигне ако се замени силата с момент, а проектираното преместване – с проектирано завъртане (под проектирано завъртане се разбира проекцията на ъгъла на завъртане върху направлението на външния момент). Следователно проектираното завъртане _i на сечение, където е приложен външен момент M_i, се дава с производната

В по-нататъшното изложение под понятието “преместване” ще разбираме проектирано преместване или проектирано завъртане в зависимост от конкретния случай.

Теоремата на Кастиляно може да се прилага за определяне на премествания в линейно-еластични тела с произволна форма. За целта трябва да изразим потенциалната енергия на деформацията на тялото чрез съответната сила и да определим необходимата частна производна. Ако в сечението на което търсим преместването не е приложена външна сила, трябва да добавим произволна по големина сила по направление на търсеното преместване, да определим потенциалната енергия на деформацията във функция на тази сила, да намерим съответната частна производна и в получения резултат да положим силата равна на нула.

Обратната теорема на Кастиляно е известна и като теорема на Лагранж. Тя гласи: частната производна на потенциалната енергия на деформацията по отношение на проектираното преместване на приложната точка на дадена сила е равна на големината на тази сила, т.е. .

Трябва да се отбележи, че обратната теорема на Кастиляно има сравнително малко практическо приложение.

Пример 11.1. С теоремата на Кастиляно да се определи провисването на сечение В и завъртането на сечение А за показаната конструкция (фиг. 11.6). Външното натоварване се състои от концентрирана сила F, приложена в сечение B.

Решение. Греда АС е натоварена на специално огъване и срязване. Прът CD е натоварен на чист опън. Функциите на огъващия момент в двата участъка на гредата записваме като:

, ,

а усилието в прът CD е . За потенциалната енергия на деформацията при пренебрегване на приноса на напречните сили получаваме

Тук E е модулът на линейна деформация, I_y е инерционният момент на греда AC, а A₁ е лицето на напречното сечение на прът CD.

Фиг. 11. 6

Съгласно теоремата на Кастиляно, вертикалното преместване на сечение B намираме като частната производна на U по отношение на F, т.е.

,

откъдето получаваме

Очевидно е, че w_B се получава със знак “плюс”. Това показва, че провисването на сечение B е насочено по посоката на сила F, т.е. надолу.

Преминаваме към определяне на завъртането на сечение A. Тъй като в това сечение няма външен момент, трябва да приложим допълнителен (фиктивен) момент  с произволна посока и големина (фиг. 11.6). За функциите на огъващия момент в двата участъка на греда AC и за усилието в прът CD получаваме

, , .

Заместваме тези изрази във формулата за U. Намираме завъртането на сечение A като частната производна на U по отношение на , т.е.

откъдето имаме

Припомняме, че при получаването на _A е положено =0.

Завъртането се получава със знак “плюс”, което показва, че то е насочено по посоката на момента .
11.6. ИНТЕГРАЛИ НА МАКСУЕЛ-МОР. ПРАВИЛО НА ВЕРЕШЧАГИН

Да разгледаме случая на специално огъване. Съгласно теоремата на Кастиляно проектираното преместване на приложната точка на силата F_i се дава с формулата

където n е броят на участъците на конструкцията.

Предполага се, че натоварването се състои от m броя концентрирани сили и r броя концентрирани моменти. В такъв случай огъващият момент в произволно сечение е линейна функция на външните сили и моменти, т.е.

. (11.53)

Това е така, защото външните сили и моменти участват на първа степен в уравненията за определяне на функциите на разрезните усилия. Важно е да се разбере, че величините a_i (i=1, 2, …, m) и b_k (k=1, 2, …, r) не зависят от големините на външните сили и моменти, а зависят само от разположението им, от x и от разположението и вида на опорните устройства. При това положение за частните производни на функцията на огъващия момент по F_i и M_k ще имаме

Да предположим, че F_i=1, а всички останали външни товари са равни на нула. Тогава от формула (11.53) получаваме

Функцията M₁(x) се нарича функция на огъващия момент от единичното натоварване, което представлява сила с големина единица (ако търсим преместване) или момент с големина единица (ако търсим завъртане). Силата (моментът) с големина единица трябва да бъде приложена в сечението на което търсим преместването (завъртането) по направление на преместването (завъртането).

От (11.54) и (11.55) получаваме

. (11.56)

Заместваме (11.56) в (11.52) и получаваме следната формула за проектираното преместване:

Израз (11.57) е известен като интеграл на Максуел-Мор. Подобни формули се получават за преместванията от действието и на останалите разрезни усилия. В случай, че се отчита приносът и на шестте разрезни усилия, формулата за _i се записва по следния начин:

При ставно-прътовите системи интегралите на Максуел-Мор се трансформират в следната сума:

където S_j и S_1j са усилията в j-я прът съответно от външния товар и от единичното натоварване.

Приложението на интегралите на Максуел-Мор е свързано с определяне на разрезните усилия в две състояния на конструкцията. Първото се нарича товарно състояние. При него конструкцията е натоварена със зададения външен товар. Второто се нарича единично състояние. Върху конструкцията е приложена само единичната сила (или единичният момент).

Пример 11.2. Ще илюстрираме приложението на интегралите на Максуел-Мор като определим провисването на сечение В на конструкцията от фиг. 11.6.

Фиг. 11. 7

Усилието в прът CD от единичната сила е . Функциите на разрезните усилия от силата F вече бяха определени при решението на пример 11.1. Заместваме в (11.58) и получаваме

Приносът на напречните сили в греда АС се пренебрегва. Окончателният резултат за провисването на сечение В е

което съвпада с полученото по теоремата на Кастиляно.

Провисването w_B се получава със знак “плюс”, което показва, че то е насочено по посоката на единичната сила.

Фиг. 11. 8

По подобен начин може да се пресметне и завъртането на сечение А. За целта трябва да се разгледа единичното състояние, показано на фиг. 11.8. За разрезните усилия от единичното натоварване получаваме

, , .

Заместваме тези функции, както и функциите на разрезните усилия от силата F (получени при решението на пример 11.1) в интегралите на Максуел-Мор, т.е.

откъдето за завъртането на сечение А имаме

Този резултат съвпада с получения по теоремата на Кастиляно. Знакът “плюс” в израза за _А показва, че завъртането е насочено по посоката на единичния момент.

Фиг. 11. 9

Логично е да се потърси начин за по-лесно и бързо изчисляване на интегралите на Максуел-Мор. Да разгледаме праволинеен участък с дължина l и постоянна коравина на огъване EI. Да построим диаграмите на огъващите моменти от външното натоварване M(х) и от единичната сила М₁(x) една под друга (фиг. 11.9). Диаграмата на огъващия момент от външното натоварване може да бъде най-различна по характер (фиг. 11.9а). Диаграмата от единичното натоварване обаче е линейна функция на абсцисата х (фиг. 11.9б). Това е така, защото в единичното състояние натоварването се състои само от една концентрирана сила (или момент) с големина единица (тогава от диференциалните зависимости между функциите на разрезните усилия и функциите на външните разпределени товари следва, че единичната диаграма е линейна). Да запишем линейната функция M₁(x) в следния вид:

, (11.60)

където a и b са константи. Тогава интегралът на Максуел-Мор може да се представи така

Интегралът представлява лицето на моментовата диаграма М(х), а интегралът е статичният момент на това лице спрямо оста М (фиг. 11.9). Да означим с x_c абсцисата на центъра на тежестта на диаграмата M(x). Тогава за статичния момент имаме

където А е лицето на M(x). В такъв случай интегралът на Максуел-Мор може да се запише по следния начин:

Изразът дава ординатата на единичната диаграма, съответстваща на центъра на тежестта на диаграмата М(х), както е показано на фиг. 11.9. Да означим тази ордината с M_1c . Формула (11.63) записваме като

Тогава за преместването от (11.58) окончателно получаваме

където n е броят на участъците.

В (11.65) е отчетен само приносът на огъващия момент. Изразите, отчитащи приносите на останалите разрезни усилия, имат аналогичен характер.

Изчисляването на интегралите на Максуел-Мор по формула (11.65) е известно като метод на Верешчагин (или правило на Верешчагин). Нарича се още умножаване на диаграмите. Основното му предимство е в това, че заменя интегрирането с далеч по-простата задача за намиране на лица и центрове на фигури и тяхното умножаване. Важно е да се има предвид, че във формула (11.65) участва лицето на криволинейната диаграма. В случай, че и двете диаграми (от външно натоварване и от единична сила) са линейни, е без значение коя от тях ще участва в (11.65) с лицето си и коя с ординатата под центъра на това лице. Трябва да се почертае, че A и M_1c са алгебрични величини, които участват в произведението (11.64) със своите знаци. Крайният резултат се получава чрез алгебрично сумиране по участъци съгласно формула (11.65). Така се получава и знакът на преместването _i. Ако знакът е “плюс”, преместването е насочено по посока на единичната сила. Във връзка с практическото приложение на правилото на Верешчагин е необходимо да се има предвид, че в повечето случаи диаграмата на огъващия момент може да се представи като съставена от няколко прости фигури: правоъгълник, триъгълник, квадратна и кубична парабола. Лицата и центровете на тези фигури са известни, което значително улеснява пресмятанията по правилото на Верешчагин. В тази връзка са разработени специални таблици за умножаване на диаграми, където са представени формули за повечето случаи, които се срещат в инженерната практика.

Извършените дотук изследвания са основани на предпоставката, че във всеки отделен участък гредата има постоянен инерционен момент. Трябва да се отбележи, че правилото на Верешчагин може да се прилага и когато инерционният момент е функция на абсцисата, т.е. I=I(x). В този случай интегралът на Максуел-Мор след умножаване с произволен постоянен множител EI₀ се записва по следния начин:

. (11.66)

Въвеждаме означението

Тогава формула (11.66) може да се запише като

Вижда се, че интегралът вдясно на (11.68) е от същия вид като този в (11.61). Следователно правилото на Верешчагин може да се използва и в случая I=I(x) с единствената разлика, че М-диаграмата трябва да се редуцира по формула (11.67).

Провисването на сечение В се намира чрез интегралите на Максуел-Мор, решени по правилото на Верешчагин. Приносът на напречните сили в греда АС се пренебрегва, затова V-диаграмите не са показани на фиг.11.10. Умножаването на диаграмите M_y и M₁ в участъци АВ и ВС от фигури 11.10б и 11.10д и диаграмите N и N₁ от фигура 11.10а и 11.10г за прът CD се дава с формулата

Получихме същия резултат както в примери 11.1 и 11.2, но по един значително по-прост начин. Провисването се получи със знак “плюс”, което показва, че то е насочено по посоката на единичната сила.

Да преминем към определяне на завъртането на сечение А. Единичното натоварване е дадено на фиг.11.11а. Построяваме единичните диаграми, както е показано на фиг. 11.11б,в. Завъртането получаваме като умножим по правилото на Веречагин М-диаграмите от фигури 11.10б и 11.11 в и N-диаграмите в прът CD от фигури 11.10а и 11.11б, т.е.

.


Фиг. 11. 10

Фиг. 11. 11

Тук трябва да се поясни, че трапецовидната диаграма в участък AB е разделена на два триъгълника, както е показано на фиг. 11.11в. Лицата на тези триъгълници са умножени с ординатите на диаграма M_y от фиг. 11.10б, съответстващи на центровете им.

Полученият резултат съвпада с този от примери 11.1 и 11.2. Знакът “плюс” в израза за завъртането показва, че то е насочено по посоката на единичния момент.

Фиг. 11. 12

Единичното натоварване за определяне на провисването на сечение С е показано на фиг. 11.12г. Единичната диаграма М₁ е дадена на фиг. 11.12д. Умножаваме диаграмите М_у и М₁ от фигури 11.12в и 11.12д по правилото на Верешчагин, т.е.

.

Умножаваме двете страни на този израз по EI₁ и като съобразим, че , получаваме следния окончателен резултат за EI₁-кратната стойност на провисването на гредата в сечение С:

Този израз има положителен знак, което показва, че провисването е насочено по посока на единичната сила.

Преминаваме към определяне на завъртането на сечение С. Единичното натоварване представлява момент с големина единица, приложен в сечение C, както е показано на фиг. 11.12е.

Съответната единична диаграма е дадена на фиг. 11.12ж. Завъртането получаваме като умножим диаграмите и от фигури 11.12 в и 11.12ж по правилото на Верешчагин. Резултатът е

Окончателния израз за _c намираме след като умножим горната формула по EI₁ , т.е.

Завъртането се получава с положителен знак, което показва, че то е насочено по посоката на единичния момент.

Оставяме на читателя да провери получените изрази на w_c и _c, като приложи някой от другите методи за определяне на премествания (например графоаналитичния метод на Мор).
11.7. ТЕОРЕМА НА МЕНАБРЕА

Да разгледаме една статически неопределима система с s на брой неизвестни. Броят на уравненията на статиката е r. Тогава степента на статическа неопределимост очевидно се намира по формулата . Да означим статически неопределимите опорни реакции и разрезни усилия с X₁, X₂, …, X_n (те се наричат още хиперстатични неизвестни). Потенциалната енергия на деформацията е функция на хиперстатичните неизвестни, т.е.

В съответствие с теоремата на Кастиляно всяка от частните производни е равна на проектираното преместване на приложната точка на съответната хиперстатична неизвестна, т.е.

В статически неопределимите конструкции има опорни устройства, които възпрепятстват тези проектирани премествания, т.е. _i=0 (i=1, 2, …, n). Следователно можем да запишем

От математическа гледна точка изрази (11.71) представляват условия за екстремум на функцията на n променливи. Може да се докаже, че екстремумът е минимум.

Полученият резултат се нарича теорема на Менабреа, която може да се формулира така: в една статически неопределима конструкция потенциалната енергия на деформацията достига минимум за истинските стойности на хиперстатичните неизвестни.

Теоремата на Менабреа дава възможност за съставяне на n на брой допълнителни уравнения за определяне на хиперстатичните неизвестни.

Фиг. 11. 13

Функцията на огъващия момент се записва по следния начин:

.

Гредата е с постоянна коравина, т.е. Тогава за потенциалната енергия на деформацията имаме

Прилагаме теоремата на Менабреа, т.е.

откъдето за хиперстатичната неизвестна получаваме

Съставяме уравненията за равновесие на гредата от фиг. 11. 13в

откъдето за останалите опорни реакции получаваме

Оставяме на читателя да провери тези резултати като разкрие статическата неопределимост по някой от другите методи (например чрез изравняване на деформациите).

Да се върнем към фиг. 11.2а. Лицето на триъгълник , допълващ триъгълник до правоъгълник, представлява допълнителна работа (допълнителна енергия ). Вижда се, че ако материалът е линейно-еластичен, допълнителната работа е числено равна на работата на външните сили (последната се представя с лицето на триъгълник ), т.е.

или

Специфичната допълнителна енергия се представя с лицето на триъгълник от фиг. 11.2б. При линейно-еластично поведение , понеже лицата на триъгълници и са равни.

Фиг. 11.14

Да приемем, че показаният на фиг. 11.1 прът е изпълнен от нелинейно-еластичен материал. Поведението на този материал се характеризира с нелинейна зависимост между напреженията и деформациите. Тази зависимост е една и съща при натоварване и разтоварване, т.е. не се получават пластични деформации. Връзката между силата и удължението на пръта е нелинейна (фиг. 11.14). Допълнителната енергия е равна на лицето на криволинейния триъгълник , т.е.

, (11.74)

където е текущото удължение на пръта (). Вижда се, че при нелинейно-еластично поведение допълнителната енергия е различна от потенциалната енергия на деформацията (последната е равна на лицето на криволинейния триъгълник ). Специфичната допълнителна енергия при нелинейно-еластичния материал се представя графично с лицето на криволинейния триъгълник на работната диаграма от фиг. 11.15.

Фиг. 11.15

Очевидно е, че (геометричната интерпретация на е лицето на криволинейния триъгълник , т.е. ). От допълнителната енергия може да се получи чрез интегриране по обема на пръта

. (11.76)

Да се върнем към фиг. 11.14. Задаваме безкрайно малко нарастване на силата F. Тогава ще нарасне с . Очевидно е, че

откъдето получаваме

Формули (11.79) и (11.80) изразяват съответно теоремите на Кастиляно и Лагранж при чист опън (натиск) на нелинейно-еластичен прът. За случая на нелинейно-еластично тяло с произволна форма, натоварено с уравновесена система сили, теоремите на Кастиляно и Лагранж може да се докажат по начина, разгледан в параграф 11.5. Тогава изрази (11.79) и (11.80) се записват в следния вид:

където е проектираното преместване на приложната точка на силата .

Формула (11.81) показва, че теоремата на Кастиляно може да се формулира и по следния начин: частната производна на допълнителната енергия по отношение на една от силите е равна на проектираното преместване на приложната точка на тази сила.

Вижда се, че въвеждането на понятието допълнителна енергия дава възможност теоремата на Кастиляно да се прилага и при нелинейно-еластично тяло. Ако тялото е линейно-еластично, . Тогава от (11.81) като частен случай получаваме формула (11.50).