Факултет Природни науки и образование Катедра „Алгебра и Геометрия
Изтегляне 469.51 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Решение
УспоредникУспоредник се нарича равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави. Нейните срещуположни страни са успоредни отсечки с равна дължина. Срещуположните ъгли на успоредника са равни. Теореми за успоредник: В успоредник:
Успоредник Частни случаи на успоредник са:
II.Задачи Задача 1. Отсечките, съединяващи средите на срещуположните страни на четириъгълника ABCD са с дължини 6 и 8,а единият диагонал е 10.Намерете лицето на триъгълника.
Нека четириъгълникът е ABCD.Означаваме средите на страните AB,BC,CD и DA съответно с M,N,P и Q.Нека  .Отсечките PN и QM са средни отсечки съответно в триъгълниците BDC и BDA.
Оттук следва, че отсечките PN и QM са успоредни и равни на Нека Дали има връзка между лицата на MNPQ и ABCD? 
От   
От свойствата на подобните фигури следва, че  
Аналогично следва, че От В равнобедрен трапец с голяма основа 4см е вписана окръжност с диаметър 2см.Да се намери лицето на трапеца. Решение: Нека ABCD е даденият трапец (фиг.1 ).  (фиг.1)
За да намерим лицето му, е достатъчно да намерим малката основа CD.Нека да означим с x. Тъй като трапецът е описан около окръжност, то Ако построим перпендикулярите DH и 
към AB, то (по катет и хипотенуза). Тогава За 
 . Получаваме 
Задача 3 В успоредник Решение: От От Питагоровата теорема следва Така получаваме В ромб с дължини на диагонала Решение:  (фиг.2)
Даденият ромб Разглеждаме От четириъгълника Задача 5 Отсечките, съединяващи средите на срещуположните страни на четириъгълника ABCD са с дължини 6 и 8,а единият диагонал е 10.Намерете лицето на триъгълника. Решение:
| |||||||||||||||
Лице
Периметър
.Следователно четириъгълникът MNPQ е успоредник.
.
.Да разгледаме
със страни 3,4 и 5.От обратната теорема на Питагор следва,че 
.
Аналогично се доказва, че 
,т.е.
(трапецът е равнобедрен).Оттук получаваме 
(1)
.
ще приложим питагоровата теорема: 
ъглополовящите на 
се пресичат в точка 
, 
.Да се намерят дължините на страните и лицето на успоредника, ако 
.От 
и 
,откъдето 
.Аналогично 
.
и 
и 
е вписана окръжност. Да се определи лицето на четириъгълника с върхове допирни точки на окръжността със страните на ромба.
, като 
и 
(фиг.2 ).Центърът на 
е пресечната точка 
на диагоналите му (които са ъглополовящи на ъглите му ). Допирните точки на 
означаваме съответно с 
.Тъй като 
AB // CD, то 
лежат на една права. Аналогично следва, че точките 
лежат на една права.
(радиуси). За да намерим 
,е достатъчно да намерим 
и 
. 
- правоъгълен. От 
и 
.Тогава 
.Следователно 
.От правоъгълния триъгълник 
следва, че 
( катет,лежащ срещу 
).
намираме 
. За лицето получаваме: