Нека четириъгълникът е ABCD.Означаваме средите на страните AB,BC,CD и DA съответно с M,N,P и Q.Нека  .Отсечките PN и QM са средни отсечки съответно в триъгълниците BDC и BDA.
Оттук следва, че отсечките PN и QM са успоредни и равни на  .Следователно четириъгълникът MNPQ е успоредник.
Нека .Тогава  .Да разгледаме със страни 3,4 и 5.От обратната теорема на Питагор следва,че  .
 
Дали има връзка между лицата на MNPQ и ABCD?
От   
От свойствата на подобните фигури следва,че
 
Аналогично следва, че  
Оти  Аналогично се доказва, че  
От и
 ,т.е.
 Следователно 
Задача 6.
Лицето на ромб  , а сборът от дължините на диагоналите му е  .Да се намерят дължините на диагоналите на ромба и лицето на вписания в него кръг.
Решение:
Означаваме диагоналите с  и  .По условие  ,а  , т. е  .Решаваме системата  .Можем да си мислим, че и са корени на квадратното уравнение  .оттук получаваме  .Диагоналите на ромба имат дължини  и  .Диаметърът на вписаната окръжност на ромба е равен на височината на ромба. Ако  , то  .От питагоровата теорема за  следва, че  .От формулата  следва, че  .Тогава за лицето на вписания кръг получаваме: 
Задача 7.
Дадени са четири окръжности, допиращи се външно две по две. Да се докаже, че допирните им точки лежат на една окръжност.
Решение:
 (фиг.3)
Нека окръжностите са   ,  , 
(фиг. 3).Означаваме допирните им точки     .За да докажем, че точките  и  лежат на една окръжност, е достатъчно да докажем, че  . Знаем, че точката  лежи на централната  ,  на  , на  , и  на  . Означаваме ъглите на четириъгълника  с  ,  . Сумата на вътрешните ъгли на всеки четириъгълник е  .
От  - равнобедрен , имаме :  .
От  - равнобедрен , имаме :  .
Тогава  .
Аналогично за  ще получим:  .
За  получаваме:  .
Сподели с приятели: |
