ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ НА СТАТИСТИЧЕСКОТО МОДЕЛИРАНЕ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ В ПОДЗЕМНИЯ ДОБИВ

Изборът на система на разработване и добивна технология зависи от множество природни и минно-технически фактори. Първостепенно значение имат тези, от които зависи устойчивостта на рудата и страничните скали. Степента на устойчивост определя приложимостта на една от трите възможни технологии: с открито добивно пространство; със запълване; с обрушаване. Когато природните фактори имат голяма степен на изменчивост, задачата за избор на оптимална добивна технология значително се усложнява. Не са рядко случаите, когато в обекти с близки природни условия се прилагат различни системи на разработване без да има сериозни аргументи за избора на даденото техническо решение. Един от ефективните и обективни начини за избор на система на разработване, съответствуващ на реалните природни условия, е използването на класификационните характеристики на масива. В детерминиран вид те могат да се прилагат, когато определящите ги фактори не се изменят в широки граници. На практика това може да се случи твърде рядко. Както входящите показатели, така и съответните на тях класифика­ционни характеристики имат случаен характер. Затова в процедурите за избор на техническо решение рисковият фактор е винаги на лице. Оценката на риска в съчетание с статистическото моделиране на случайни природни фактори е един от съвременните подходи за избор на оптимално добивна технология, на който е посветена настоящата разработка.

От известните класификационни характеристики за качеството на скалния масив широко приложение намират: Rock Tunneling Quality Index, Q; Rock Mass Rating (RMR) System. Към тях следва да се прибави и Stability Number, N^’, който е един от двата основни фактора, използвани в the Stability Graph Method.

3.1.1. Rock Tunneling Quality Index, Q

Тази класификация е създадена през 1974 година в Norwegian Geotechnical Institute. Нейни автори са N.R. Barton, R. Lien, J. Lunde [14]. Балната оценка за качеството на скалния масив се определя с израза

където RQD е качеството на сондажната ядка, J_n е броят на системите пук­натини, J_r характеризира състоянието (грапавостта) на стените на пукна­тините, J_a отчита промените на повърхнините на пукнатините, J_w характе­ризира степента на оводненост на средата, SRF отчита съотношението между ефективните напрежения и якостните свойства на скалния масив.

Q - класификацията е подходяща за използване при оценка на качеството на скалния масив около единични минни изработки. При подземно разработване на рудни находища тя се прилага при избора на начин на подготовка и схема за разполагане на подготвителните изработки спрямо контурите на рудните тела. Същевременно входящите параметри RQD, J_a, J_n, J_w, J_r, SRF се изменят в широки граници и имат случаен характер. Това налага класификационният показател Q да се разглежда също като вероятностна величина със свое емпирично разпределение. На всяка стойност на Q съответства определен начин за поддържане на подготвителните изработки. Изборът на един или друг начин на подготовка се характеризира с различна вероятност, а това означава и различна степен на поетия риск.
3.1.2 Rock Mass Rating (RMR) System

Класификацията RMR, създадена от Z.T. Bieniawski [15], се използва за оценка на устойчивото състояние на открити добивни пространства с различна форма, големина и срок на експлоатация. Класификационната оценка RMR се определя въз основа на следните 6 фактора: A₁ - якост на едноосов натиск; A₂ - качество на сондажната ядка, RQD; A₃ - разстояние между пукнатините; A₄ - състояние на стените на пукнатините; A₅ - степен на оводненост на средата; B - параметър, отчитащ влиянието на ориентацията на пукнатините.

Балната оценка по класификацията RMR се определя съгласно израза
RMR=А₁+А₂+А₃+А₄+А₅+ B. (3.2)
Системата RMR успешно се прилага при оценка на устойчивото състояние на горнището и долнището на добивни камери при разработване на стръмно залягащи рудни жили, както и на тавана на добивните камери при разработ­ване на хоризонтални и полегати пластови находища. Класификацията RMR позволява да се оценят възможностите за използване на незакрепени открити пространства в зависимост от Unsupported Stand-up Time. Използването на незакрепени камери представлява определен технологичен риск. Той може да бъде оправдан и ще доведе до определен икономически ефект само ако не настъпи рисковото събитие - обрушаване на стените на откритите добивни пространства. Входящите параметри за изчисляване на RMR се характе­ризират с голяма степен на изменчивост и това налага използване на вероятностен подход.
3.1.3. Stability Number, N'

Разработеният през 1981 година the Stability Graph Method намира приложение при избора на добивна технология и при определяне на начина на поддържане на добивното пространство. Процедурата се основава на два фактора: Stability Number, N^’ и Hydraulic radius S of the slope. Stability Number, N^’ характеризира реалните природни условия. За неговото определяне се използва изразът:

The Modified Tunneling Quality Index Q' се определя по начин аналогичен на стандартната NGI класификация, като факторите SRF и J_w приемат стойност единица.

Факторите участващи в израза (3.3) за определяне на числото на ста­билност N' имат случаен характер. В такъв случай самият показател N^’ също следва да се разглежда като вероятностна величина. Фактът, че N' се изменя в широки граници показва, че използването на детерминиран подход е непод­ходящо, тъй като получените стойности и тяхното по-нататъшно интерпре­тиране могат да доведат до изводи и заключения несъответствуващи на реалната природна среда. Следователно технологичният риск и очакваните технико-икономически показатели на прилаганата система на разработване са тясно свързани помежду си. Обикновено по-големият риск е предпоставка за по-голям икономически ефект на избраното техническо решение.
3.2. Вероятностен подход при определяне на Q, RMR, N', като основа за оценка на риска

В най-общ вид всяка класификационна характеристика на скалите (C_c) може да се представи във вида

C_c = f(x₁,x₂,...,x_n),

където x₁,x₂,...,x_n са факторите, участващи при изчисляване на балната оценка.

Факторите x₁,x₂,...,x_n имат вероятностен характер с определени теоретични или емпирични закони на разпределение. Тогава задавайки различни стой­ности на x₁,x₂,...,x_n ще се получи множество от стойности на класификационната характеристика C_c. В конкретния случай е използван метода Монте-Карло. За всяка от класификационните характеристики е получена съответна извадка от стойности, която представлява емпиричния закон на разпределение. Именно той стои в основата на последващия анализ на вероятността за възникване на едно или друго събитие, както и рискът R, който се поема при вземане на съответното решение. Ако вероятността за реализиране на нежелано събитие е R, то вероятността за реализиране на благоприятно събитие ще бъде G = (1 - R). Нека A са разходите за премахване на последствията от неблагоприятно събитие, а В са приходите, които ще се получат ако не се реализира неблагоприятното събитие. За да бъде рискът приемлив е необходимо да бъде спазено условието:

( 1-R ) В - RА ≥ 0

Смисълът на управление на риска представлява определянето на неговата оптимална стойност по отношение на защитаваните ресурси и последствията при евентуално реализиране на неблагоприятно събитие.
Таблица 3.1

S[m]ESR1234567893,04,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0003,53,00,9840,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0160,0004,01,30,9320,0000,0000,0440,0080,0000,0000,0160,0004,51,60,9500,0000,0000,0260,0080,0000,0000,0160,0005,01,00,7010,0000,1410,1260,0110,0100,0000,0000,011

На фиг.3.1 е показана графиката, характеризираща различните начини за закрепване на единични изработки според Rock Tunneling Quality Index, Q, използвана от E. Hoek, P.K. Kaiser, W.F. Bawden [19]. Извършено е моделиране по метода Монте Карло посредством създадената за целта компютърна програма QFACTMMK. В резултат са получени вероятностите за попадане във всяка една от деветте възможни зони за закрепване при определена ширина (височина) на изработката и Excavation Support Ratio, ESR. В таблица 3.1 са показани и резултатите от моделирането при ширина на изработките 3.0, 3.50, 4.0, 4.50 и 5.0m и ESR = 4, 3, 1.6, 1.3, 1.6 и 1 за условията на рудник А. С използваните статистически разпределения на величините RQD, J_n, J_r, J_a, J_w са получени стойностите на Rock Tunneling Quality Index, Q. За конкретният обект А прави впечатление високата вероятност, с която стойностите на Q попадат в зоната неизискваща закрепване на подготвителните изработки. При Span = 3,0m и ESR = 4,0 e налице абсолютна сигурност т.е. риск практически не съществува.

Фиг 3.1. Диаграма за начините за закрепване на единични

изработки според Rock Tunneling Quality Index, Q
Аналогична диаграма на тази от фиг. 3.1 характеризира Unsupported Limits в зависимост от Bieniawski^‘s Rock Mass Rating, RMR System. Диаграмата е използвана от D.J. Hutchinson, M.S. Diederichs [20]. В нея са обособени 9 зони, въз основа на които са определя ширината на откритите добивни прост­ранства в зависимост от срока на тяхната експлоатация (тяхното същест­вуване). С помощта на създадената компютърна програма RMRMMK е извършено моделиране по метода Монте Карло. В резултат са получени вероятностите за използване на незакрепени камери в зависимост от тяхната ширина и срока на съществуване.

Аналогична диаграма на тази от фиг. 3.1 се прилага и при използване на Stability Number, N^’ и Hydraulic radius S of the slope. Тук зоните са 5 и са номерирани от 1 до 5. Посредством създадената компютърна програма NPRIMMK, e извършено моделиране по метода Монте-Карло. Въз основа на вероятностните разпределения на RQD, J_n, J_r, J_a, както и на факторите A, B, C е определена извадката от стойности на числото на стабилност N^’.

Извършените изследвания показват, че статистическото моделиране (Метод Монте-Карло) е един съвременен подход, посредством който може с висока степен на достоверност да се оцени избрания риск при вземане на конкретни технически решения, свързани с прилагането на една или друга добивна технология.
3.3 Постановка и решаване на задачата за определяне на N с прилагане на статистическото моделиране

При разработване на стръмно-залягащи находища дебелината на рудното тяло и физико-механичните свойства н а рудата и страничните скали са едни от най-строгите ограничаващи условия при определяне на начина за извършване на добивните работи в блока. Най-благоприятни условия за разработване, респективно най-добри технико-икономически показатели се постигат при устойчиви руди и странични скали и дебелина на рудното тяло над 5 m. Създават се предпоставки за висока интензивност на добивните работи при незначително обедняване, което е характерно за камерните системи с отбиване от подетажни изработки. С намаляване на степента на устойчивост на страничните скали става невъзможно прилагането на системи с открито добивно пространство. Тогава рязко се увеличава делът на технологиите с подетажно обрушаване. По степен на интензивност те не отстъпват на технологиите с открито добивно пространство, но същественият им недостатък е обедняването на рудата, тъй като източването на по-голямата част от рудата се извършва при наличие на контакт с обрушени скали.

Следвайки резултатите от предишни изследвания се установява, че е налице зависимостта , където е хидравличният радиус на създаденото открито пространство. От своя страна , където и са двата взаимно перпендикулярни размера на откритото пространство. В такъв случай ако е размерът, съответстващ на дължината на добивния блок, а е размерът, съответстващ на хоризонталната дебелина на рудното тяло, може да се определи степента на устойчивост на тавана на добивното пространство в зависимост от избраната дължина на блока и дебелината на рудното тяло (респ. ширината на слоя). Дебелината на рудното тяло следва да се разглежда като случайна величина. В такъв случай, хидравличният радиус също ще бъде случайна величина. В предходни разработки изборът на дадено техническо решение се основава на фиксирана стойност на величината . Тук се разглежда като случайна величина, което осигурява възможност за по-детайлен анализ на възможните решения. Предлаганата процедура оценява вероятностния характер на природните фактори, както и нивото на поемания риск при окончателния избор на добивна технология за конкретни природни и минно-технически условия.

При избор на оптимално техническо решение критерия за оценка следва да отчита приходите (D), разходите (E) и нивото на поемания риск (R). Стойностите на тези три параметъра дават възможност да се определи очакваната средна печалба Q като разлика между очакваните средни приходи и средни разходи:

Двете случайни величини N^’ и S, разгледани съвместно представляват двумерна случайна величина X=(N^’; S). В настоящата работа с помощта на компютърната програма NPRIMMK е приложен метода Монте-Карло, в резултат на което след отчитане на законите на разпределение на N^’ и S е получено множество стойности на X. То представлява емпиричният закон на разпределение на тази случайна величина. Сега не е трудно да се намери и риска при възприемане на съответна.

Като са възприети определени стойности за величините D и E, както и получените стойности за R и Q за случай, отговарящ на работа в условията на здрави скали, е направен анализ на определени стратегии и избор на най-подходящата. Аналогично е извършено и за слаби скали.
3.4. Вероятностен подход при оценка на коефициента на устойчивост с прилагане критериите на Mohr Coulomb, Hoek-Brown и Drucker-Prager

Оценката на устойчивостта в реалния масив се затруднява от неопреде­леността на използваната изходна информация. Вероятностният характер на изходните данни е заложен в самата природа на скалния масив.

Случаен характер имат и сеизмичните въздействия от пробивно взривните работи, динамичните натоварвания от действащата механизация и др. в периода на експлоатация.

Изчисленията на коефициента на устойчивост се извършват с помощта на стойностите на фактори с вероятностен характер, за които са получени статистическите им разпределения. Тук се разглежда прилагането на ста­тистическото моделиране за оценка на устойчивото състояние на масива. Тъй като коефициентът на устойчивост представлява функция на случайни величини и самият коефициент е случайна величина.

Вероятността скалният масив да е устойчив е

S=P(AB) или , (3.5)

а рискът представлява допълнението до единица, т.е. 1-S, където А и В са функции на участващите в описанието на разглеждания процес фактори и условия

Едни от най-често използваните критерии за устойчивост са тези на Hoek-Brown, Mohr - Coulomb и Drucker - Prager.

Критерий на Hoek-Brown. При този критерий границата между устойчиво и неустойчиво състояние на масива се задава с формулата

където и са главните напрежения, m и s са материалните константи, е якостта на едноосов натиск на ненарушените скали.

Критерий на Mohr - Coulomb. Тук зависимостта на от се задава с равенството

, (3.7)

където , , и са съответно ъгълът на вътрешно триене и кохезията на скалите.

Фиг. 3.2 Фиг. 3.3
Критерий на Drucker - Prager.

(3.8)

където J₁ и J₂ са съответно първа и втора инварианта на тензора на напрежение, , , и са съответно ъгълът на вътрешно триене и кохезията на скалите.

И в трите критерия, при определена стойност на съобразно общия запис (3.5) величината A представлява стойността на израза, чрез който се представя посредством при всеки от критериите а величината B е стойността на максималното главно напрежение, което действа в масива при същата стойност на . Следователно при критерия на Hoek-Brown величината A зависи освен от и от m, s и , а при другите два критерия A е функция и на и .Тъй като всяка една от тези променливи се описва със съответен вероятностен закон, за оценка на А най-подходящ е методът на статистическото моделиране. При него за всеки вариант на съчетаване на стойностите на посочените величини, величината A се представя геометрично чрез една линия в равнината O, положението на която определя зоната на устойчивост (U) и зоната на неустойчивост (N) на масива (фиг. 3.2). Ако се извърши едно проиграване по метода Монте – Карло ще се получи едно положение на тази линия, а при многократно реализиране ще се получат множество такива линии. Съвкупността от тези линии статистически характеризира зона, която е удачно да се нарече преходна. Така вместо две зони ( U и N) се получават три (фиг. 3.3) – една преходна (P) и други две – съответно на устойчиво (U) и неустойчиво (N) поведение на масива.

Съставена е компютърна програма KRITER3, с помощта на която се намира и се прави оценка на преходната зона. За да се демонстрира изложеният подход са използвани конкретни входни данни и са получени зависимости, аналогични на тези на фиг. 3.3.

При всяка стойност на в рамките на преходната зона се получава статистическо разпределение, което дава възможност при попадане в нея загубата на устойчивост да се оцени с определена вероятност. Колкото точката е по-нагоре, т.е. е с по-голяма стойност, вероятността да настъпи неустойчивост се увеличава и при попадане в зона N тази вероятност става равна на 1.

Този подход дава възможност да се сравнят различните критерии за устойчивост и да се избере този, който дава правдоподобно преходната зона. За да има сравнимост тези зони трябва да се получат за различните критерии при едни и същи скали.

Да обърнем внимание на това, че действащите в масива напрежения също зависят от фактори, които имат вероятностен характер и следователно не трябва да се определят с една стойност, а с вероятностните им закони. Т.е. величината B в общият запис (3.5) се характеризира също с определено статистическо разпределение, получено въз основа на проведени наблюдения. Ако всички стойности на при фиксирана стойност на са изцяло в зона U изводът е ясен – масивът е устойчив. Ако всички стойности принадлежат на областта N масивът е в неустойчиво състояние. Интересен е случаят, когато стойностите принадлежат „преходната” зона. Тогава се налага да се оцени вероятността S масивът да е в устойчиво състояние. При приемане на тази стратегия (масивът е в устойчиво състояние) е ясно, че рискът да не бъде така е 1-S. С помощта на тези две числа може да се оценят щетите при евентуално сбъдване на нежеланото събитие – разрушаване на масива.
3.5. Прилагане на метода на крайните елементи, за намиране полето на напреженията и деформациите, в условията на изменчивост на свойст­вата на скалите

Основните фактори, влияещи на устойчивостта на минни изработки са геоложки, хидрогеоложки, физико-механични, климатични и минно технически.

Особено внимание по-нататък ще бъде обърнато на влиянието на физико-механичните свойства на скалите (якостни и деформационни) при изследване на напрегнатото и деформирано състояние на масива по метода на крайните елементи. Тези величини имат количествен характер.

Рудникът е сложна система и нейното състояние се определя от съв­местното влияние на много фактори (величини). В математическите модели, посредством които се описва нейното състояние и в частност напрегнатото и деформирано състояние на масива, тези фактори участват с числените си стойности. На практика изследователя или този, който трябва да вземе управленско решение разполага със стойностите на тези величини, получени посредством наблюдение или подходящ експеримент. Точността на полу­чените данни зависи от точността на апаратурата за измерване и от условията на експеримента.

При провеждане на инженерна дейност в скалния масив е необходимо да се знае поведението на скалите, особено в близост до минните изработки.

Същност на методите за оразмеряване на конструктивни елементи е изследването и определяне на степента на натоварване на целици, напрегнатото и деформирано състояние около проучвателни, подготвителни и добивни изработки. За целта се използва математическо моделиране и се прилагат съответни методи за решаване и изследване.

В съвременната инженерна наука и практика широко приложение намират методите, използващи апарата на теорията на еластичността, в която решаването на пространствената задача се свежда до определяне на компонентите на преместванията , на напреженията и на деформациите във всяка точка на разглежданото тяло.

Решението на задачата обикновено се търси числено, т.е. с така наречените преки методи, R. Courant, D. Hilbert [16], F.C. Zienkiewicz [24].

При метода на крайните елементи се достига до решаване на система линейни уравнения, която в матричен вид може да се запише така
,
където са преместванията, е матрицата на коравината, а са сумарните външни и вътрешни сили, които действат във всеки възел от мрежата на дискретизация на изследваното тяло.

Но свойствата на скалите не са детерминирани, а имат ясно изразена вероятностна природа. Значителното изменение на якостта на скалите често е свързана с механични процеси, водещи до концентрация на напреженията в отделни участъци на масива, което довежда или до уплътняване и повиша­ване на якостта на минералните агрегати, или в условия на пренатоварване, води до нарушаване на действащите в тях връзки и понижаване на якостта под определена граница, при което настъпва пълно разрушаване. Освен механичните процеси на якостта влияят топлинни, хидравлични, химични процеси и др.

Щом свойствата на скалите имат вероятностен характер, то тогава преместванията, напреженията и деформациите са също случайни величини.

Научно обосновани методи за анализ на случайни величини са разработени в теория на вероятностите, математическата статистика и други матема­тически дисциплини. Да се търси аналитично решение на проблема е неце­лесъобразно, а в много случаи и невъзможно. Тук е избран методът на ста­тистическото моделиране (Метод Монте Карло). Той става достъпен пос­редством съвременните компютри и благодарение на идеите за получаване на случайни числа с желан вероятностен закон на разпределение.

Чрез многократно изпълнение на детерминираната форма на метода на крайните елементи се получават преместванията, напреженията и деформа­циите в определени възли. Целта е чрез тях да се намерят оценки на определени числени характеристики на тези величини.

С помощта на предложеният модел са решени примерни задачи, вклю­чително такива, за които има и аналитично решение. За целта като основен изчислителен модул е използвана собствената програмна система FIELEM.

За примера наречен „гредостена” (фиг. 3.4) се приема, че плътността е константа, а само модула на Юнг E и коефициента на Поасон са случайни величини. Съвкупността от двете съставляващи представлява дву­мерна случайна величина. Предполага се, че в резултат на извършени наблюдения (лабораторни изпитания) е известна извадка с обем n за двумерната случайна величина . Съставено е нейното интервално статистическо разпределение, което представлява двумерна таблица от числа. Това всъщност е съвместното разпределение на . По-долу стойностите на са означени с x, а тези на - с y. С е означена съвместната функция на разпределение на , е функцията на разпределение на , е функцията на разпределение на при условие .

Фиг. 3.4. Схема на дискретизация за примера „гредостена”

може да получим последователно имитирането на величината , посредством произволна двойка независими, равномерно разпределени в интервала [0; 1) случайни числа. За целта се използват обратните функции на и в следната последователност. Посредством намереното число и обратната функция се намира стойността . От x* се вижда коя е съответната условна функция на разпределение . С помощта на нея, чрез намереното число и обратната функция се определя реализацията y* на процеса при втората стъпка по формулата . С това е извършена една имитация на величината .

Този процес се изпълнява многократно, за да се получат достатъчно на брой такива реализации, като при всяка от тях чрез намерените премествания се получават напреженията и деформациите в определени възли. Целта е чрез тях да се намерят оценки на определени характеристики (най-често на математическото очакване) на случайните величини и .

В разглежданият пример за онагледяване са използвани (фигура 3.5) получените стойности за напреженията , взети по сечение „19-27”, свързващо възлите на дискретизация с номера 19 и 27.

Фиг. 3.5. Напрежения по сечение „19-27”