Ъгли и разстояния в пространството 1



Дата21.01.2018
Размер100.65 Kb.
ЪГЛИ И РАЗСТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВОТО
1. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 1. Точките M и N са средите на ръбовете BC и CD. Да се намери:

а) лицето на сечението на равнината (MNC1) с куба;

б) ъгълът, който правата MN сключва с правата AB1;

в) ъгълът между равнините (MNC1) и (АDD1);

г) разстоянието от точката C до равнината (MNC1);

д) ъгълът, който пресечница на равнините (MNC1) и (AA1C1) сключва с правата AB1.

e) ъгълът, който пресечница на равнините (MNC1) и (AA1C1) сключва с равнината (ВB1С).

2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 1. Точката M е средата на ръба ВС. Да се намери:

а) лицето на сечението на куба с равнината (1D);

б) ъгълът между равнините (1D) и (ABC);

в) разстоянието от точката А до равнината (1D);

г) ъгълът между правите 1 и АD1;

д) ъгълът между правата АВ и равнината (1D);

е) разстоянието между правите 1 и АD1.

ж) разстоянието между правите 1 и АВ.

3. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с ръбове АВ = 4, АD = 6, АА1 = 2. Ако M е средата на ръба B1C1, да се намери:

а) лицето на сечението на паралелепипеда с равнината (ВDС1);

б) ъгълът между равнините (ВDС1) и (ABC)

в) Разстоянието от точката С до равнината (ВDС1);

г) ъгълът между правите ВМ и АВ1;

д) ъгълът между правите и AB1;

е) разстоянието между правите и AB1.

4. Дадена е триъгълна пирамида ABCD, за която СВ b, АD а и –(АD;СВ) = 90°. Равнина успоредна на СВ и АD пресича ръбовете , , АВ и АС съответно в точки М, N, P, и Q.

а) Да се определи видът на четириъгълника MNPQ;

б) Да се намери лицето на четириъгълника MNPQ, ако АР РВ = 1 : 2.

5. Дадена е триъгълна пирамида ABCD, за която СВ b, АD а и –(АD;СВ) = 60°. Равнина успоредна на СВ и АD пресича ръбовете , , АВ и АС съответно в точки М, N, P, и Q.

а) Да се определи видът на четириъгълника MNPQ;

б) Да се намери лицето на четириъгълника MNPQ, ако АР : РВ = 1 : 3.

6. Основата на четириъгълна пирамида ABCDQ е правоъгълник ABCD със страни AB = 12, AD = 5. Околният ръб DQ е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 5. Да се намери:

а) ъгълът между равнините (ABQ) и (ABC);

б) ъгълът между равнините (ACQ) и (ABC);

в) разстоянието от точката D до равнината (ACQ);

г) разстоянието между правите AD и CQ;

д) разстоянието между правите BQ и DC.

7. Основата на четириъгълна пирамида ABCDQ е ромб ABCD с , а околният ръб DQ е перпендикулярен на равнината на основата. Разстоянието между правите BC и AQ е равно на 1, а ъгълът между околните стени BCQ и CDQ е равен на 45°. Да се намери обемът на пирамидата.

8. В правилна четириъгълна пирамида ABCDM (с основа ABCD и връх M) разстоянието между правите AD и BM е равно на , а ъгълът между правата AC и равнината BCM е равен на 30°. Да се намери обемът на пирамидата.

МНОГОСТЕНИ
1. Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCD с основен ръб a=AB, околен ръб l=AD, височина h, апотема k, двустенен ъгъл при основата , ъгъл между околен ръб и равнината на основата , –ADB= и ъгъл между две съседни околни стени . Докажете, че:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

2. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб a=AB, околен ръб l=AQ, височина h, апотема k, двустенен ъгъл при основата , ъгъл между околен ръб и равнината на основата , –AQB= и ъгъл между две съседни околни стени . Докажете, че:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

3. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с дължина на основния ръб 1 и ъгъл 2 между две околни стени.

4. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида по дадени ъгъл 2 между две съседни околни стени и разстояние m между два нейни кръстосани ръба.

5. Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза c и остър ъгъл . Намерете обема на пирамидата, ако околните ръбове сключват с равнината на основата ъгъл .

6. Основата на четириъгълна пирамида е ромб със страна a. Две от околните стени са перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си ъгъл 45°. Една от другите две околни стени сключва с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете обема и повърхнината на пирамидата.

7. Основата на триъгълна пирамида ABCD е равнобедрен триъгълник ABC с бедра AC=BC=a и –BAC = . Околният ръб CD сключва с равнината на основата ъгъл . Ъгълът между равнините ABC и ABD е  и –ACD = –BCD. Точките K и L лежат съответно върху ръбовете AD и BD и са такива, че . Намерете обема на пирамидата KLCD.

8. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 1. Намерете:

а) обема на пирамидата ABC1D и разстоянието от точка D до равнината (ABC1);

б) големината на ъгъла между правата C1D и равнината (ABC1).

9. В тетраедъра ABCD равнината BCD е перпендикулярна на равнината ABC. Ръбът AD сключва с ръбовете AB и AC равни ъгли с големина 60°. Ако AB = 2, BC = 3 и AC = 4, намерете:

а) обема на тетраедъра; б) ъгъла между равнините (ABC) и (ABD).

10. В триъгълна пирамида ABCD ръбът AD има дължина 1 и е перпендикулярен на равнината ABC. Равнината BCD сключва с равнините ABC, ABD, ACD ъгли с големини съответно 45°, 90° и 60°. Да се пресметнат дължините на ръбовете на пирамидата.

11. В триъгълна пирамида ABCD ръбът AD е перпендикулярен на равнината ABC, а двустенният ъгъл при ръба BD е прав. , –BDC = 45°, –ADB = 45°. Намерете обема и повърхнината на пирамидата.

12. Даден е паралелепипед ABCDA1B1C1D1, за който всички ръбове имат дължина a. Ръбовете AA1, AB и АD сключват помежду си равни остри ъгли. Ъгълът между равнините (ABC) и (AA1D) е . Намерете обема на паралелепипеда.

СЕЧЕНИЕ НА МНОГОСТЕН С РАВНИНА

1. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб a. Да се намери лицето на сечението на куба с равнина , минаваща през върха B и средите N и M на ръбовете A1D1 и D1C1.

2. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб а. Определете вида на сечението на куба с равнина , минаваща през върха A, средата M на ръба BC и центъра P на стената DCC1D1. Да се намери:
а) лицето на сечението; б) в какво отношение се дели обемът на куба от ?

3. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба a. Точките P и Q са средите съответно на ръбовете B1C1 и C1D1, а точка M, от ръба AA1 е такава, че AM:MA1 = 1:2. Намерете лицето на сечението на куба с равнината през точките M, P и Q.

4. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. През върха B, средата M на ръба CC1 и средата K на ръба AD е построена равнина . Намерете тангенса на ъгъла между равнините  и (ABC).

5. В куб ABCDA1B1C1D1 с ръб a е построена равнина през средата M на ръба AA1, перпендикулярна на диагонала B1D. Намерете обема на пирамидата с основа полученото сечение и връх B1.

6. Да се намери лицето на сечението на куб ABCDA1B1C1D1 с равнина , минаваща през средите на ръбовете AB, CC1 и A1D1.

7. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1, за който AB:AD:AA1 = 2:3:4. През върха A, средата на ръба CD и центъра на стената BCC1B1 е построена равнина . Намерете тангенса на ъгъла между равнините  и (ABC).

8. Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1B1C1, всички ръбове на която имат дължина a. Точките P и Q са средите на ръбовете AA1 и CC1, а точка M от ръба 1 е такава, че B1M:MB = 3:2. Намерете лицето на сечението на призмата с равнината през точките

M, P и Q.

9. Височината на права четириъгълна призма е 1, а основата й е ромб със страна 2 и остър ъгъл 30°. Да се намери лицето на сечението на призмата с равнина минаваща през основен ръб и сключваща с равнината на основата ъгъл 60°.

10. Основата на четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 е ромб ABCD с остър ъгъл 60°. Върхът A1 е на равни разстояния от върховете A, B и D. Ръбът AA1 има дължина b и сключва с равнината на основата ъгъл . Намерете лицето на сечението с равнина  минаваща през диагонала A1C и успоредна на диагонала BD.

11. Да се намери в какво отношение се дели обемът на правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с равнина минаваща през средите на ръбовете AB, BC и DQ.

12. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ. Да се определи видът на сечението на пирамидата с равнина , минаваща през основния ръб BC и произволна точка M от ръба AQ.

а) Ако основният ръб е а и двустенният ъгъл при основата , намерете лицето на сечението, когато  е перпендикулярна на стената (ADQ).

б) Ако основният ръб е a и двустенният ъгъл при основата , намерете лицето на сечението, когато  разполовява двустенния ъгъл при основата.

в) Намерете в какво отношение се дели обемът на пирамидата ако M е средата на ръба AQ.

13. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB=a и околен ръб . През върха A е построена равнина перпендикулярна на срещуположния околен ръб CQ. Да се намери лицето на полученото сечение.

14. Основата на пирамида ABCDQ е правоъгълен трапец ABCD с прави ъгли при върховете A и D, дължина 2a на голямата основа AB, дължина a на малката основа CD и остър ъгъл 45°. Околният ръб АQ е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина a. Намерете лицето на сечението на пирамидата с равнина, перпендикулярна на ръба DQ и минаваща през петата K на перпендикуляра, спуснат от точка A към страната QD в триъгълника AQD.

15. Дадена е правилна четириъгълна пирамида QABCD с основа ABCD. През върха A е построена равнина , перпендикулярна на ръба QC, която го пресича във вътрешна точка. Ако лицето на полученото сечение е два пъти по-малко от лицето на основата, да се намери отношението на обемите на телата, на които се разделя дадената пирамида от равнината .

16. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с ръбове AB = BC = 4 и AA1 = 2. Намерете лицето на сечението на паралелепипеда с равнина минаваща през върха A и перпендикулярна на правата BD1.





База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница