Групи част 2 Диаграми на Кейли за абелеви групи



Дата07.10.2016
Размер50.7 Kb.
COMPUTOP 2010 DStavrova

Групи част 2

Диаграми на Кейли за абелеви групи














Диаграми на Кейли за неабелеви групи













Какво можем да видим?

Няколко неща могат да бъдат забелязани чрез внимателно наблюдение, без да знаем каквотом и да било за теорията на групите.

А, именно, абелевите групи могат да се опишат като “правилни решетки”, в смисъл, че всички линии се срещат под прав ъгъл (с изключение на тази, която представя обратния елемент – “захлупва обратно”). И ако срежем една от диаграмите, линиите свързващи парчетата ще бъдат успоредни, и ще свързват копиа с еднаква форма. Например,

   =    + 
Неабелевите групи не могат да се опишат като такива правилни решетки. Линиите не се срещат под прав ъгъл, нито пък са винаги успоредни. Всъщност, последната от шестте картинки, дори не запълва изцяло призмоидното парче.

Таблица 3. Структури на групи от размерност 2, 3 и 4.




Групи от ред 2

Име



Описание

Циклична група от ред 2


Също C2

Диаграма на Кейли






Представяне



Бележки

Част от фамилията на цикличните групи Cn или Zn, за цели числа n > 2.


Всички циклични групи са абелеви.
Всички групи от прост ред са циклични.

Групи от ред 3



Име



Описание

Циклична група от ред 3


Също C3

Диаграма на Кейли






Представяне



Друга диаграма на Кейли за същата група



Групи от ред 4


Име



Описание

Циклична група от ред 4


Също C4

Диаграма на Кйейли






Представяне



.





Име



Описание

Група на Клайн от 4-ти ред


Също D2

Диаграма на Кейли






Представяне



Бележки

Тази група е абелева и следователно се представя като произведение на циклични групи (Z2 x Z2).  Това следва от Фундаменталната теорема на алгебрата. Тази група е група на симетриите на не-квадратен правоъгълник.



4-тата група на Клайн, технически е и член на фамилията на дихедралните групи: тя е изоморфна на D2.  Дихедралната група Dn е групата на симетриите на един n-ъгълник в R3.



Пример 3 (симетричните групи) Едно приложение на теорията на групите е изучаването на симетрията на геометрични фигури. Изометрия наричаме едно запазващо метриката изображение (трансформация) на едно метрично пространство с метрика: . Симетрия е всяка изометрия, която запазва обекта като цяло непроменен. Симетриите на една фигура образуват група. Ако символично изобразим човек от клечки, както на Фигура 1 (а) можем да получим само две симетрични изображения : идентитета и отражение по продължение на вертикалата както е показано. От тук непосредствено следва, че групата на симетрии на човека е , тъй като това е единствената група от два елемента. Буквата “H” (b) има три различни симетрии, както са показани: отражения (рефлекции) по хоризонталата или вертикалата и ротация на 180 градуса. Ако напишем таблицата съответстваща на композицията на тези симетрии получаваме групата - една от двете групи с четири елемента, както е показано на Таблица1.
Фигура 1. Две фигури и техните групи на симетрии


(а) Хората имат симетрия (b) Буквата “H” има симетрия
Дизайнерите са използвали симетриите от „най-древни” времена за да декорират здания. Фигура 2 (а) показва колона от Masjid-e-Shah, джамия в Исфахан, Иран, която е била завършена през 1637. Орнаментът в центъра на фотографията (а) изобразява името на Мохамед, също и мотивът на орнамента (b). Изобразената фигура не се променя при ротации кратни на 90 градуса. Ако оставим e, a, b, c да се въртят на 0, 90, 180, и 270 градуса респективно, и запишем табица на композициите, получаваме , другата група с 4 елемента от Таблица 2. Т.е. орнаментът има симетрия.

Фигура 2 Мозаичен орнамент от Masjid-e-Shah(а) повтарящ името на пророка (b) за да се получи фигура (c) със симетрия


(a) Изглед от колоната (b) Мотив и дизайн

Ешер – дракони

Следните илюстрации ни дават някаква идея как и защо тези мозайки и картини са свързани със симетричните групи (групите на симетрии).


Триклинични, Моноклинични и Ортоклинични Симетрии



Тригонални симетрии



Хексагонални симетрии



Тетрагонални симетрии



Изометрични симетрии



Циклични групи

C2:


Базилика Santa Maria Maggiore
Rome, Italy


C4:


Базилика San Giovanni in Laterno
Rome, Italy


C6:


Базилика di Santa Maria Maggiore
Rome, Italy


C8:


Мозайка на Caracalla
Vatican Museums
Vatican City, Italy








База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница