Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на



Дата30.07.2018
Размер283.33 Kb.
Упражнение 8.

нормално разпределена случайна величина.
1. Доверителен интервал за математическото очакване ЕХ на нормално разпределена величина X с доверителна вероятност по извадка с обем n:

  • ако Х= е известно: (1)

  • ако Х не е известно: . (2)

  • Определяне на обема на извадката, осигуряващ представителната грешка, не по-голяма от (при дадена доверителна вероятност ).


, ако е известно, или , ако Х не е известно и се оценява с (3)
2. Доверителен интервал за дисперсията DХ на нормално разпределена величина X с доверителна вероятност по извадка с обем n:

  • ако ЕХ е известно: (4)

  • ако ЕХ не е известно: (5)

Тук и са квантили на -разпределението с степени на свобода, а и - квантили на -разпределението с степени на свобода.
ЗАДАЧИ:

1) Автомат произвежда детайли с големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .



Решение:

a) Точността на изработката отговаря на средно квадратичното отклонение на величината Х, следователно, в сила е формула (1). При от таблицата за стандартното нормално разпределение намираме квантила . Тогава ;

б) Представителната грешка при доверителна вероятност е ,

в) По формули (3) при дадено получаваме . Следователно, за да се гарантира представителна грешка при , обемът на извадката не може да по-малък от 97.



Варианти за самостоятелна работа:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5) ; 6) ; 7) 8)

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . По дадена извадка

{-1, 0, 1, 2, 1, 2, -1, 2, 2, 1}

и да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителна вероятност .

Решение: Стойността на измерваната величина съвпада с математическото очакване на измерената величина Х, а средноквадратичното отклонение е мярка за точността на апарата. Първо по формула (4) определяме доверителния интервал за дисперсията. За целта:

1) от извадката изчисляваме ,

2) При доверителната вероятност от таблицата за -квадрат разпределението определяме квантилите с n=10 степени на свобода , . Следователно, , т.е. . Интервалът за средноквадратичното отклонение получаваме чрез коренуване: .
Варианти за самостоятелна работа:


  1. наблюдавани стойности: 5, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3; ;

  2. наблюдавани стойности: 1, 1, 2, 3, 2, 1, 3 ;

  3. наблюдавани стойности: 0, 1, 2, 3, 1, 4, 2; ;

  4. наблюдавани стойности: 2,7, 3,1, 2,5, 5,1, 2,3, 4,1, 3,5; ;

  5. наблюдавани стойности: 5, 4, 7, 2, 6, 2, 2, 3, 3;

  6. наблюдавани стойности: 6, 2, 6, 2, 2, 3, 3 ;

  7. наблюдавани стойности: 1,1, 2,2, 1,7, 3,1, 2,5, 2,6, 3,0;

8) наблюдавани стойности: 10, 20, 50, 40, 30,30, 20, 10; .
3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки и се изчисляват извадъчната средна и стандартната грешка . Ако ,

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .



Решение:

Средното количество вода в бутилка съответства на математическото очакване ЕХ и се оценява със средната на извадката, а точността на автомата, съответстваща на , се оценява със стандартната грешка . Тъй като нито ЕХ, нито са известни, то за интервалните им оценки използваме формули (2) и (4).

a) От таблицата на квантилите на t-разпределението за степени на свобода и определяме , следователно, ;

За получаване на доверителен интервал за дисперсията , изчисляваме квантилите , откъдето .

Тогава доверителният интервал за точността на автомата с доверителна вероятност 0,95 е

.
б) При представителната грешка е .

в) Тук и по формула (3) при Х неизвестно имаме ,

следователно, обемът на извадката трябва да е по-голям от 864.

Варианти за самостоятелна работа:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

Вариант 1

  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .



2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителна вероятност , ако наблюдаваните стойности са 5, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: ;

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



  • Вариант 2




  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са: 1, 1, 2, 3, 2, 1, 3.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

  • Вариант 3

  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако

и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са 0, 1, 2, 3, 1, 4, 2.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




Вариант 4.
  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са 2,7, 3,1, 2,5, 5,1, 2,3, 4,1, 3,5.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

Вариант 5.

  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са 5, 4, 7, 2, 6, 2, 2, 3, 3;

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




Вариант 6.
  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са 6, 2, 6, 2, 2, 3, 3.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

Вариант 7.

  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителни вероятности , ако наблюдаваните стойности са 1,1; 2,2; 1,7; 3,1; 2,5; 2,6; 3,0.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .

В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




Вариант 8.
  • Интервални оценки на математическото очакване и дисперсията на


нормално разпределена случайна величина.
1) Автомат произвежда детайли с определена големина като точността на изработката е . От продукцията на автомата са взети детайла и е намерена средната на извадката. Ако и считаме, че разпределението на е нормално, то:

а) да се получат интервални оценки за средната стойност ( ) на големината на произведените детайли с доверителни вероятности и .

б) Каква е представителната грешка при доверителна вероятност , допусната при даденото статистическо изследване.

в) Колко детайла трябва да съдържа извадката, за да бъде осигурена представителна грешка, която да бъде гарантирана с вероятност и която да не е по-голяма от .

2) За проверка на точността на измервателен уред са проведени измервания на дадена физична величина при едни и същи условия, при което стойността на величината би трябвало да е . При дадената извадка да се намери точковата оценка на точността на уреда и интервалната му оценка с доверителна вероятност , ако наблюдаваните стойности са 10, 20, 50, 40, 30, 30, 20, 10.

3) За контрол на качеството в цех за бутилиране на минерална вода ежедневно се взимат за изследване случайно избрани бутилки. Получени са следните данни: .

А) Да се оцени чрез доверителен интервал: 1) средното количество минерална вода в бутилка с надеждности и ; 2) точността на автомата за пълнене на бутилки с надеждност .

Б) Да се определи допусната при изследването на количеството вода в бутилка представителна грешка с доверителна вероятност .



В) Какъв трябва да е обемът на извадката за по-нататъчните наблюдения на качеството, за да може да се осигури представителна грешка на средното количество минерална вода да бъде не по-голяма от , ако е взета доверителна вероятност .
Каталог: drugi -> ebooks -> nikolina -> seminar
drugi -> Семинари, библейски курсове, проповеди, игрални и документални филми, музика
drugi -> Другата България
drugi -> Справочник & ръководство за инсталиране 2 p  r  d o X securitysystem s съдържание
drugi -> Lovech Rock Fest 2016
seminar -> Упражнение 4 биномно разпределение, разпределение на поасон
seminar -> Закон на разпределението, квантили, числени характеристики
seminar -> Упражнениe 6 Статистическа обработка на данни – неинтервално статистическо разпредение II. Кратки теоретични сведения
seminar -> Упражнение 1 Теореми за вероятностите, формула за пълната вероятност, формула на БеЙс I. Кратки теоретични постановки и формули
seminar -> Упражнение 5 Нормално разпределение I. Кратки теоретични сведения


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница