Исторически преглед Решаването на уравнения в пръстена на целите числа Z



страница1/3
Дата31.12.2017
Размер384.36 Kb.
  1   2   3
§1.Исторически преглед
Решаването на уравнения в пръстена на целите числа Z е една сравнително трудна задача в математиката и в частност в теория на числата. Проблемът се състои не само в това, че се разглеждат уравнения с цели коефициенти, а най-вече в това че решенията се търсят в пръстена на целите числа Z. Уравнения от този тип се наричат Диофантови, на името на александрийския математик Диофант.

Диофант е една загадка в историята на науката, тъй като не е известно времето, когато той е живял, нито предшествениците му, работили в същата област. Времето, когато е възможно да е живял Диофант е половин хилядолетие. За до открие кога точно е живял Диофант се заел френският историк Пол Таннри. Той успял да намери в библиотеката на Ескуриал откъси от писмо на византийския учен от ХІ век Михайл Псел. В писмото се говорило за най-учения Анатолий. Или по-точно за това, че след като събрал най-съществените части от аритметиката ги посветил на своя приятел Диофант.

В действителност такава книга съществува и тя се казва "Въведение в аритметиката". Откъси от тази книга достигат и до нас, чрез съчиненията на Ямблий и Евсевий. Но Анатолий е живял в Александрия в средата на ІІІ век от новата ера, когато е станал епископ на Лаодакия. От тук може да направим следния извод: ако знаменитият александрийски математик и приятел на Анатолий на име Диофант са едно и също лице, то времето, когото е живял Диофант е средата на ІІІ век от новата ера.

От друга страна, самата „Аритметика” на Диофант е посветена на Дионисий, който се е интересувал от аритметиката и нейното преподаване. Това се подразбира от текста на „Въведения”. Името Дионисий е било доста разпространено, затова Таннри предположил, че Дионисий трябва да бъде търсен сред известните хора на тази епоха. Оказва се че през 247 година епископ на Александрия станал накой си Дионисий, който през 231 година е ръководил християнската гимназия на града. Така Таннри остановил, че този Дионисий е този, на когото е посветил Диофант своя труд. По този начин Таннри достига до извода, че Диофант е живял в средата на ІІІ век от новата ера. Относно мястото, където е живял Диофант няма спор – това е Александрия, център на научната мисъл на елинистичния свят.

За да разберем обаче, колко точно е живял Диофант ще преведем достигналото до нас стихотворение-задача. Ето неговото съдържание:

Детството на Диофант продължи



една шеста от живота му;

след още една дванадесета част

започна да му расте брада;

той се ожени след още една седма;

след пет години му се роди син;

синът живя половината от живота

на бащата и бащата умря четири години

след смъртта на горчиво оплаквания си син”.

За да се изчисли тази задача не е нужно да се владее изкуството на Диофант. Достатъчно е да можем да решаваме уравнение от първа степен с едно неизвестно и ще разберем, че Диофант е живял 84 години. Такова уравнение са могли да решават и египетските писци още преди две хиляди години преди новата ера.

Най-загадъчно от всичко си остава творчеството на Диофант. Той е създал тринадесет книги, обединени в "Аритметика", но за съжаление до нас са достигнали само шест. Както по-горе споменах "Аритметика" на Диофант е посветена на Дионисий. Тя трябвало да служи като основа за преподаването. Стилът и съдържанието на тази книга рязко се различават от класическите антични съчинения по теория на числата и алгебрата.

„Аритметика” несъмнено се е появила като резултат от многочислени изследвания , които остават за нас съвършенно неизвестни.

„Аритметика” представлява сборник от задачи (общо 189 задачи). Всяка от задачите е решена, някои задачи имат по няколко решения и необходими пояснения. Затова на пръв поглед изглежда, че тя се явява теоретично произведение. Но при внимателно четене е видно, че задачите са добре подбрани и служат за илюстрация на напълно определени и строго обмислени методи. В древността е било прието методите да не се формулират в общ вид, а да се повтарят за решение на еднотипни задачи.

В началото на своята книга Диофант започва с описание на бувените символи и основни определения, които ще прилага.

В класическата гръцка математика, която намира своя завършек в „ Начала” на Евклид, под число (άριυμος - „аритмос” или „ арифмос” от тук названието „ аритметика” на науката за числата) се разбирало множество от единици; т.е. цяло число. Не се назовават нито дроби, нито ирационални числа.

В „Начала” не е имало никакви дроби. Единицата се е считала за неделима и вместо част от единицата се разглеждат отношенията на целите числа. Ирационалните числа се разглеждат като отношение на несъизмерими части например: число, което ние обзначаваме с √2 за гърците от класическата епоха е било отношението на диагоналите на квадрат към неговата страна. За отрицателните числа не е ставало и дума.

При Диофант нещата стоят по съвсем друг начин. Въпреки, че той също привежда определението за число като множество единици, по-нататък търси за своите задачи положителни рационални решения, като назовава всяко такова решение число ( άριυμος – „ аритмос”). Но не се ограничава с това. Диофант въвежда отрицателните числа. Отрицателните числа Диофант назовава със специален термин λέιπω – „лейпо”. „Лейпо” означава недостига, така че самия термин λέιψις може да се преведе като „недостатък”.

Положителните числа Диофант нарича υπαρξις – „ипарксис”, което означава съществуване, битие, а в множествено число тази дума може да означава имущество. В този смисъл терминологията на Диофант за положителните и отрицателните числа е близка до тази, която са употребявали в Средните векове на Изток и в Европа. По-скоро това е било просто превод от гръцки на арабски, санскрит, латински, а след това на различни европейски езици. Диофант формулира за положителните и отрицателните числа следното правило на знаците:

„отрицателно умножено с отрицателно дава положително; тогава отрицателно умножено с положително дава отрицателно и отличителен знак за отрицателното е /|\.

В увода към „Аритметика” Диофант въвежда следните обозначения:

първите шест степени х, х2, х3, х4, х5, х6 на неизвестното х:

първа степен – Ѕ;

втора степен - Δΰ ( от първите две букви на думата Δΰυαμις – „дюнамис”, която означава сила, степен. С тази дума древните са наричали квадрата.

трета степен - κΰ ( от първите две букви на думата κΰβος – „кубос”, което означава куб;

четвърта степен - ∆ΰ∆ от думата ∆ΰναμοδΰναμις – „дюнамокубос” т.е. „квадратоквадрат”;

пета степен – ∆κΰ от думата Δΰναμοκΰβος, т.е. „квадратокуб”;

шеста степен - κΰκ от κΰβοκΰβος – „кубокубос”, т.е. кубокуб.

Свободния член или хо, Диофант обозначава със символа Mº, т.е. с пръвите две букви от думата μουας – „монас”, което означава единица.

Като образува дроби с числител единица и знаменател - неизвестното и неговите степени, Диофант получава шест първи отрицателни степени. Знакът за отрицателна степен е: χ. Този знак се поставя след записването на знаменателя например:

х-2, х-3, той обозначава съответно с: Δΰχ, Кΰχ.

И така Диофант има своя символика за обозначаване на едно неизвестно и неговите положителни и отрицателни степени, включително до шеста степен. Диофант обаче невъвежда обозначаване за второ неизвестно и това силно затруднява решаването на някои задачи. Понякога със символът ς в една задача се обозначават няколко неизвестни числа. Друг символ, който Диофант използва е □ за неопределен квадрат. Например, ако по условие в задачата произведението на две числа в сбор с едно от тях се равнява на квадрат, то този квадрат се записва с помощта на символа □.

По-нататък Диофант излага правилата за умножение на хm с хn за положителни и отрицателни m и n ( |m| ≤ 6; |n| ≤ 6).

За равенство Диофант използва знак ισ – първите две букви на думата ισος – „исос”, т.е. равен. По този начин той получава буквен запис на уравненията.

Например уравнението:

202х2 + 13 – 10х = 13

По символиката на Диофант изглежда така:

ΔΰσβMºιγ/|\ςιìσMºιγ

По – нататък във „увода” Диофант формулира правила за преобразуване на уравнения:



  1. Правило за пренасяне на член от едната страна на уравнението в другата с обратен знак.

  2. Правило за унищожаване на равните членове .

Тези правила се ползват и днес под името „алджебър” и „алмукабала”.

Ясно се вижда, че при наименованието и означението на степен на неизвестно се използват геометрични термини: „квадрат”, „куб” и то всъщност се е запазило и до днес.

Но при съставяне на уравнения Диофант спокойно събира квадрат или куб със страна т.е. той ги приема за числа, а не за геометрични обекти. И не само това, той въвежда „квадратоквадрати”, „квадратокубове”. Или Диофант употребява геометричната терминология само благодарение на наложилата се традиция.

По такъв начин Диофант придава съвършенно нов вид на алгебрата, която се основава вече не на геометрията, както е било при Евклид, а на аритметиката. И това не е просто връщане към числовата алгебра на Вавилон, а начало на буквената алгебра, която най-накрая намира присъщият й език при Диофант.



§2.Диофантови уравнения
Нека най-напред да кажем кое уравнение е диофантово. Ако f(х1, х2, ..., хn) е полином или рационална функция (отношение на два полинома) с цели или рационални коефициенти, решаването на уравнението

f(х1, х2, ..., хn) = 0 (1)

в цели числа, се нарича диофантова задача, а самото уравнение се нарича диофантово или неопределено уравнение.

Общият вид на едно диофантово уравнение от първа степен е следният:

а1х1 + а2х2 + ... + аnхn = b,

където числата аi, i = 1, 2, ..., n са цели. (2)

„Аритметика” на Диофант поразява не толкова със съвършенно новият език, а особено със проблемите, които той поставя и решава.

За да разберем същността на тези проблеми и да изследваме методите на Диофант ще трябва да дадем някои сведения от алгебрата, геометрията и теорията на числата. Да разгледаме следната задача: Нека са дадени m многочлени от n променливи, m1(x1,…..xn), …….., fm(x1,……,xn) с коефициенти от някое поле К. Търси се множеството М(к) на всички рационални решения на системата:

f1(x1,……….,xn) = 0,

……………………., (3)

fm(x1,………,xn) = 0



и да се определи неговата алгебрична структура. При това решението (x1(0), ..............,xn(0)) се нарича рационално, ако всички xι(0) € К. Множеството М(к), разбира се зависи от полето К. В този смисъл уравнението х2 + у2 = 3 няма нито едно рационално решение в полето Q на рационалните числа, но има безкрайно много решения в полето Q(√3), т.е. в множеството от числа от вида а + b√3, където а и b са рационални числа.

Най – важен за теорията на числата е случаят, когато Q = K. Сега ще рагледаме само такива задачи, които се свеждат до едно уравнение с две неизвестни, т.е. до случая m = 1; n = 2:

f(x,y) = 0 (4)

Преди всичко ще направим класификация на уравнението (3) или какво е алгебрична крива. Най – естествена и най – рано възникнала се явява класификацията по степен. Степен на крива се нарича максималният брой едночлени на многочлена f(x,y), където под брой едночлени се разбира сумата от степени при х и у. Геометричния смисъл на това понятие се заключава в това, че права се пресича с крива от ред n точно в n точки. При пресмятането на точките разбира се трябва да се отчита кратността на точките на пресичане, а също комплексните и безкрайно отдалечени точки. Така например окръжност x2 + y2 = 1 и права x + y = 2 се пресичат в две комплексни точки, а хиперболата x2 – y2 = 1 и правата у = х – в две безкрайно отдалечени точки, също хепербола с права х = 1 има една обща точка кратна на 2.

Обаче за целите на диофантовия анализ класификацията по степен се оказала твърде груба.

По-тънка се явява класификацията на алгебричните криви по родове, която била въведена едва през ХІХ век от Абел и Риман. Тази класификация изчислява броя на особените точки на кривата Г. Ще смятаме, че в уравнението f(x,y) = 0 от кривата Г многочленът f(x,y) не принадлежи към полето на рационалните числа, т.е. не се преобразува в произведение на многочлени с рационални коефициенти. Както е известно, уравнението на допирателна към крива Г в точка Р(х00) ще бъде

у – у0 = к(х – х0), където

к = - f'х00)/f'у00).

Ако в точката Р f'х или f'у е различна от нула, то ъгловия коефициент к на допирателната има напълно определено значение ( ако f'у00) = 0, а f'х00) ≠ 0, то к = ∞ и допирателната в Р ще бъде вертикална).

Ако в точката Р двете частни производни стават 0 т.е. f'х00) = 0 и f'у00) = 0,

то точката Р се нарича особена.

Например: При кривата у2 = х2 + х3 точката с координати (0;0) ще бъде особена тъй като в нея f'х = -2х – 3х2 и f'у = 2у стават 0.

Като най-прости особени точки се явяват двойните, в които макар и едната от производните f"хх, f"ху и f"уу е различна от нула.



На рис.1 е изобразена двойна

която кривата има две различни

допирателни .

При алгебричната крива може да има само краен брой особени точки. Действително, нека f(x,y) = 0 е уравнение на крива, многочленът f(x,y) – не принадлежи към полето на рационалните числа Q. Координатите на особените точки трябва да удовлетворяват уравненията f'х(х,у) = 0, f'у(х,у) = 0 и f(x,y) = 0. Но системата от тези три алгебрични уравнения може да има само краен брой решения.

Ще определим рода на такива плоски алгебрични криви, които нямат никакви особени точки, освен двойните. За произволна алгебрична крива с произволни особености, рода се определя по-сложно.

Нека броя на двойни точки от плоска алгебрична крива Г е равно на d (d ≥ 0), тогава род на кривата Г се нарича числото р, което се определя по следната формула:

р = [(n – 1)(n – 2)/2] – d, където n – степен на кривата Г.

Може да се покаже, че р ≥ 0.

Ако Г е права или крива от втора степен, то от формулата за род на крива се вижда, че р = 0, т.е. това са криви от един и същ род. Кривите от трета степен имат род 0 или 1 в зависимост от това, дали имат особена точка или не. Например: род 1 ще има „кривата на Ферма”: х3 + у3 =1 и класификацията по род не отчита аритметичните свойства на кривата.

Например: кривите х2 + у2 = 1 и х2 + у2 = 3 имат род 0, като на първата от тях лежат безкрайно много рационални точки, а на втората – нито една. За да намерим адекватна за целите на диофантовия анализ класификация на кривите, ще отбележим че решавайки системата (3), ние често прибягваме към заменане на променливи

х = φ(υ,ν), у = ψ(υ,ν), (5)

където φ и ψ са рационални функции, т.е. всяка от тях може да бъде представена като отношение на два многочлена. Представяйки (5) в уравнението (4) ще получим:

G(υ,ν) = 0 (6)

Това уравнение определя крива Г'. За да може рационалните точки от кривата Г да преминават в рационални точки от крива Г' и, обратно, рационалните точки от Г' да отговарят на рационалните точки на Г е необходимо и достатъчно


  1. Функциите φ и ψ да имат рационални коефициенти.

  2. Уравненията (5) да са обратими, т.е. от тях, на свой ред да може да се намери

υ = φ1(x,y), ν = ψ1(x,y), (5')

където φ1 и ψ1 са рационални функции с рационални коефициенти.

Ако между две криви Г и Г' може да се установи съответствие с помощта на формулите от вида (5) и (5') с рационални коефициенти, то кривите се наричат бирационални еквивалентни, а самите тези преобразования се наричат бирационални.

Така например: ако φ(υ,ν) и ψ(υ,ν) – са линейни функции, т.е.

х = φ(υ,ν) = aυ + bν + c

у = ψ(υ,ν) = a1υ + b1ν + c1,

при което

a b

a1 b1 ≠ 0,

то υ и ν също ще се изразяват чрез х, у линейно с рационални коефициенти, т.е. преобразуването ще бъде бирационално.

От гледна точка на диофантовия анализ две бирационални еквивелнтни криви са равноправни по-между си. При това реда на крива Г' ще бъде различен от реда на крива Г. Но може да се докаже, че две бирационални еквивалентни криви имат един и същ род. Макар нито реда на крива n, нито броя на нейните двойни точки d да се явяват инварианти на бирационално преобразование, рода р на кривата, съставен от тези величини, ще бъде такъв инвариант.

Обратното твърдение е невярно: криви от един и същ род могат да не бъдат бирационални еквивалентни. Това се вижда и от примера по-горе за кривите х22 = 1 и х2 + у2 = 3, които имат род 0, но на първите от тях лежат безкрайно много рационални точки, а на втората – нито една.

И така, криви от един и същ род се разделят на класове бирационално еквивалентни помежду си криви. Тези понятия и тяхното действие се проявяват в работите на Анри Пуанкаре, който в самото начало на днешния век (ХХ век) е положил съвкупността от бирационални преобразования в основата на класифицирането и изследването на проблемите на диофантовия анализ.

Сега вече може да се спрем на разглеждането на диофантови уравнения от първа степен:

2.1 Нека да разгледаме едно диофантово уравнение от първа степен с едно неизвестно:

ах + b = 0, където а и b са цели числа.

Решението на това уравнение е х = -b/а ще бъде цяло число само в този случай, когато b се дели на а без остатък.

2.2 Диофантови уравнения от първа степен с две неизвестни

ах + bу = с.

Нека да разгледаме следното уравнение:

ах + bу = с,

където а и b са цели числа, различни от нула, а с е произволно число. Ще считаме, че а и b нямат общ делител освен единицата, т.е. а и b са взаимно прости. Действително, ако най-големият общ делител на тези коефициенти d = (а, b) е различен от единица, ще бъдат в сила равенствата а = а1d, b = b1d. Тогава уравнението

ах + bу = с ще приеме следният вид:

1х + b1у)d + с = 0

и може да има цели решения само в този случай, когато с се дели на d. В случай, че (а, b) = d ≠ 1 всички коефициенти на уравнението ах + bу = с трябва да се делят без остатък на d и така ще получим следното уравнение:

а1х + b1у + с1 = 0, където с1 = c/d и (а1, b1) = 1.

Нека с = 0. Получаваме следното уравнение:

ах + bу = 0. От тук получаваме, че х = (- b/a)у

Очевидно е, че х ще приема цели стойности само в тези случаи, когато у се дели на а без остатък. Но всяко у, което се дели а, може да се запише във вида:

у = аt, където t приема произволни цели стойности, т.е. t = 0, ± 1, ± 2, ... . Като заместим тази стойност на у в предходното уравнение получаваме:

х = (-b/a)аt = -bt.

Така получихме формулите, съдържащи всички цели решения на уравнението ах + bу = 0:

х = -bt, у = at, където t = 0, ± 1, ± 2, ... .

Нека сега с ≠ 0. Да разгледаме следната теорема:

Теорема 1. Ако а, b и c са цели числа, уравнението

ах + bу = с (7)

има решение тогава и само тогава, когато (а,b) / с. Ако х = α0,

у = β0 е едно негово решение, то всички числа от вида

х = α0 + [b/(a,b)]t, t € Ζ

у = β0 - [а/(a,b)]t, t € Ζ (8)

и само те са решения на ах + bу = с.

Доказателство: Уравнението (7) има решение, точно когато сравнението

ах ≡ с (mod b)

има решение. Тъй като последното сравнение има решение само тогава, когато (а, b) / с, то същото се отнася и за уравнението (7).

Нека х = α0, у = β0 е едно решение на (7) и t € Ζ. След заместване в (7) с числата (8) ще получим следното:

а [α0 + [b/(a,b)]t] + b[β0 - [а/(a,b)]t] = аα0 + bβ0.

Тъй като (α0, β0) е решение на (7) от горното следва, че

аα0 + bβ0 = с, т.е числата от вида (8) удовлетворяват (7), или с други думи, числата от вида (8) са решения на (7)

Нека сега х = α, у = β е едно произволно решение на (7). Ще покажем, че то е от вида (8).

От почленното изваждане на

аα + bβ = c

и

аα0 + bβ0 = с



получаваме

а(α - α0) + b(β - β0) = 0,

а(α - α0) = b(β0 – β).

След като разделим двете страни на горното уравнение на (а, b) се получава

а1(α - α0) = b10 – β), (9)

където а1 = а / (а, b), b1 = b / (а, b) и (а1, b1) = 1. От последното равенство следва b1 / а1(α - α0) и поради (а1, b1) = 1 следва b1/ (α - α0), т.е.

α = α0 + b1t,

където t е цяла число.

От равенството (9) следва и а1/ β0 – β, т.е. β0 – β = а1t, т.е.

β = β0 + а1t,

където t е цяло число.

С това доказахме, че всички решения на (7) се получават по формулите (8).

Пример: Да се реши в целите числа уравнението

8х + 5у = 3.

Решение: Тъй като най-голямият общ делител на (8,5) = 1 и

х_0 = 1, у_0 = -1

е едно частно решение на даденото диофантово уравнение, то общото решение има вида:

х = 1 + 5t, у = -1 - 8t, t € Ζ.

2.3 Диофантови уравнения от първа степен с произволен брой неизвестни

Да разгледаме диофантовото уравнение

а1х1 + а2х2 + ... + аnхn = b, (10)

където аi, i = 1, 2, ..., n, са цели числа.

За да можем да кажем кога това уравнение има решение в цели числа, ще разгледаме следните твърдения:

Лема 1: Ако а1, а2, ..., аn са произволни цели числа, то съществуват числа u1, u2, ..., un такива, че

1, а2, ..., аn) = u1а1 + u2а2 + ... + unаn.



Теорема 2: Уравнението (5) има решение в цели числа тогава и само тогава, когато (а1, а2, ..., аn) дели b.

Пример: Да се реши в целите числа уравнението:

4х + 3у + z = 7.

Решение: Тъй като най-голямият общ делител на (4, 3, 1) = 1 и най-голямия общ делител на (4, 3) = 1. Разглеждайки диофантовото уравнение

u + z = 7,

имащо частно решение

u_0 = 6 и z_0 = 1,

а общо


z = 1 + t_1, u = 6 – t_1,

съгластно описания алгоритъм разглеждаме уравнението

4х + 3у = 1, (6 – t_1).

Което има за частно решение числата

х_0 = 0 и у_0 = 2,

а общо решение всяко число от вида

х_0 = 0 – t_1 = -t_1, у_0 = 2 + t_1.

Следователно, общото решение на първоначално зададеното уравнение има вида:

х = -t_1 - 3t_2, у = 2 + t_1 + 4t_2, z = 1 + t_1,

където


t_1, t_2 € Ζ.

Сега ще разгледаме как може целите числа да се представят като суми от цели квадрати. Това става с помощта на следните теореми:



Теорема 3: (Теорема на Туе) Ако n е естествено число по-голямо от единица и а е цяло число взаимно просто с n, то съществуват естествени числа х и у такива, че

0 < х ≤ [√n],

0 < у ≤ [√n]

и

ау ≡ ± х (mod n).



Теорема 4:

1. Нечетното просто число р може да се представи във вида

р = х² + у², х,у € Ν,

тогава и само тогава, когато р е от вида 4λ + 1.

2. Простото число р може да се представи във вида

р = х² +3у², х,у € Ν,

тогава и само тогава, когато р е от вида р = 6λ + 1.

3. Простото число р може да се представи във вида

р = х² +2у², х,у € Ν,

тогава и само тогава, когато р е от вида 8λ + 1 или р = 8λ + 3.

4. Ако c и d са дадени естествени числа, то съществува най-много едно представяне на простото число р във вида

р =cх² +dу², х,у € Ν.



Следствие 1: Всяко цяло число, което е произведение на прости числа от вида 4λ + 1 или е произведение на степен на числото 2 и прости числа от горния вид, може да се представи като сума от квадратите на две цели числа.

Следствие 2: Всяко цяло число, което е произведение на прости числа от вида 6λ + 1, може да се представи като сума на цял квадрат и утроен цял квадрат.

Следствие 3: Всяко цяло число, което е произведение на прости числа от вида 8λ + 1 или 8λ + 3, може да се представи като сума на цял квадрат и удвоен цял квадрат.

Лема 2: (Теорема на Лагранж) Ако р е нечетно просто число, то съществуват четири цели числа х1, х2, х3, х4 такива, че

х²1 +х²2+х²3+х²4 = mp,

където m е цяло число, за което 1 ≤ m < p .

Лема 3: Ако р е просто число, то числото р може да се представи като сума от квадратите на четири цели числа.

Теорема 5: (Теорема на Баше): Всяко естествено число може да се представи като сума от квадратите на четири цели числа.

  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница