§3. Диофантови уравнения от втора степен

Преди Диофант са били разгледани два вида такива уравнения. Това са х² + у² = z² и х² – ау² = 1. Първото от тях се е появило още в древен Вавилон. Формулите за неговото решение са били открити от питагорейците:

х = к² – 1, у = 2к, z = к² + 1.

Второто уравнение се решава напълно в „Начала” на Евклид за случая а = 2 при това не в рационални, а в цели числа.

В книга ІІ на своята „Аритметика” Диофант разглежда различни неопределени уравнения от втора степен и констатира следната теорема:

Теорема 6: Неопределени уравнения от втора степен с две променливи или нямат нито едно рационално решение или имат безброй много, при което в последния случай всички решения се иразяват като рационални функции от параметър

х = φ(к), у = ψ(к),

където φ и ψ са рационални функции.

За да покажем това ще използваме задача 8 от книга ІІ: „Да разделим дадения кавадрат на два квадрата. Ако е предложено 16 да се раздели на два квадрата. Допускаме, че първият е х² , а другия ще бъде

16 – х² = □.

Съставяме този квадрат от няколко х минус толкова единици, колкото се съдържат в страна от 16. Нека бъде 2х – 4, което в квадрата дава

4х² + 16 – 16х

това е равно на

16 – х².

Към двете части прибавяме отрицателни членове и правим приведение... Тогава

5х² = 16х и х = 16/5.

Единия ще бъде 256/25, другия 144/25, сбора им ще бъде 400/25 = 16 и всеки от тях ще бъде квадрат.

Да опитаме да отделим метода на Диофант „в чист вид”: Нека е дадено уравнение

х² + у² = а², (11)

което представлява окръжност с център началото на координатната система. Едно от рационалните решения на това уравнение ще бъде (0,-а).

Диофант прави заместване:

х = х,

(12)

За произволното к, той взема к = 2, отбелязвайки, че следва да се образува квадрат от „няколко х минус толкова единици, колкото се съдържат в 16”, т.е. в нашия случай това е точно кх – 4.

(12) може да се интерпретира геометрично като прекарване през точка (0,-а) на права

у = кх – а (12^')

Тази права ще пресече окръжността (11) в още една точка, чиито координати ще бъдат рационални функции от к. Действително,

х² + (кх – а)² = а² и

х = 2ак/к² + 1, у = кх – а = а(к² – 1/к² + 1).

Така на всяко рационално решение на к отговаря една и само една рационална точка от кривата (11). Точно обратно, както е лесно да се види, ако съединим произволна рационална точка от крива (11) с точка (0,-а), ще получим права с рационален ъглов коефициент.

Още по-ясно се вижда метода на Диофант в задача 9 от книга ІІ, която е формулирана така:

„Дадено число, явяващо се като сума от два квадрата, да се разбие на други два квадрата”.

Диофант задава числото 13, което е равно на сумата от 4 + 9. Едното решение е вече известно (2,3). За да намери друго, Диофант допуска първото число да бъде х = t + 2, второто у = 2t – 3, т.е. той прекарва права през точка (2, -3), отбелязвайки, както и преди, че вместо множителя 2 може да се вземе произволно друго число. Трябва да отбележим, че за известната точка Диофант взема не дадената ни и имаща положителни координати, а избира точка с отрицателна ордината, което съответства на отрицитално решение. Въобще Диофант в междинните изчисления свободно оперира с отрицателни числа, макар окончателното решение трябва да е винаги рационално и положително.

Диофант прилага същата процедура и в задача 16, 17 и други от книга ІІ.

Лесно е да се види, че методът на Диофант е съвършено общ; той позволява да се намерят всички рационални точки на крива от втора степен, ако тази крива съдържа макар и само една рационална точка. Действително, нека е дадено уравнение от втора степен от две променливи

f₂(x,y) = 0 (13)

и нека то има рационално решение (а,b). Следвайки Диофант правим заменяне:

х = а + t

y = b + kt

и получаваме

f₂(a+t,b+kt) = f₂(a,b) + tA(a,b) + ktB(a,b) + t²C(a,b,k) = 0.

Но f₂(a,b) = 0, затова

t = - [A(a,b) + kB(a,b)]/C(a,b,k).

Така за всяко рационално к ще намерим едно и само едно рационално решение.

Ако зададеното уравнение е от вида

у² = а²х² + bх + c, (14)

то Диофант отчасти видоизменя метода, допускайки, че

у = ах + m.

Тогава

х = (c-m²)/(2аm-b).

|x² - аy²| < 1 + 2√а.

х² - аy² = 1.

Тази теорема, формулирана без доказателство от Ферма, е доказана от Лагранж, а още 600 години преди новата ера индийците са решавали някои уравнения от този вид. Уравнението х² - аy² = 1 се нарича уравнение на Пел.

Теорема 8: Ако естественото число а не е квадратна цяло число, то уравнението на Пел

х² - аy² = 1

има безброй много решения в естествените числа.

Ако х₁+y₁√а е фундаменталното решение на това уравнение, то всичките му решения в естествените числа се получават по формулите

х_n+y_n√а = (х₁+y₁√а)ⁿ, n € Ν.

Теорема 9: Нека а е естествено число, което не е точен квадрат. Ако х₁+y₁√d е решение на уравнението

х² - аy² = 1

и естествените числа х₁ и y₁ удовлетворяват неравенството

х²₁ >½y²₁ – 1,

то числото х₁+y₁√а е фундаментално решение на това уравнение.

Уравнението х² - аy² = - 1, за разлика от това на Пел, не е решимо за всяка стойност на а, която не е точен квадрат. Необходимите условия за да бъде решено това уравнение са: всички нечетни прости делители на а да са от вида 4λ + 1 и освен това, ако а е четно, то да не може да се дели на 4.

Ако уравнението х² - аy² = - 1 е решимо за някое цяло число а, тогава най-малкото решение х₁+y₁√а, с положителни х₁ и y₁, се нарича фундаментално решение на уравнението.

Теорема 10: Ако р е просто число от вида 4λ + 1, то диофантовото уравнение

α² ­ βy² = -1

е решимо в цели числа α и β.

§4. Диофантови уравнения от трета степен

В книга ІV Диофант разглежда неопределени уравнения от трета и четвърта степен. Ако кривата е от трета степен и има рационални точки, то техните координати не могат да бъдат изразени с рационални функции на един параметър. Обаче, знаейки една или две рационални точки от кубична крива, може да се намери още една нейна рационална точка. Действително всяка произволна права пресича произволна крива от степен три в три точки. Координатите на които точки са решения на дадената система:

Ако два корена на това уравнение са рационални, то и третият ще бъде рационален (това може да се забележи даже от това, че сумата на корените на кубичното уравнение е равна на коефициента на х², взет с обратен знак, разделен на коефициенти при х³; ако коефициентите на уравнението са рационални и два корена са рационални, то и третия корен, очевидно е рационален). На тази забележка са основани следващите две процедури:

1. Ако Р е рационална точка от кривата Г, то в точка Р се прекарва допирателна към Г с рационален ъглов коефициент к. Тя ще има още една пресечна точка с Г, която също ще бъде рационална. (Действително, решавайки едновременно уравненията на допирателната и кривата, ще получим резултиращо кубично уравнение, което има двоен рационален корен, значи и неговият трети корен ще бъде рационален).

2.Ако Р₁ и Р₂ са рационални точки от кривата Г, то се прекарва права Р₁Р₂ и се търси нейна трета точка на пресичане с Г. Според казаното дотук следва, че координатите на тази точка са рационални.

Тези процедури ще наричаме методи на допирателната и секателната на Диофант. Ще разгледаме задача 24 от книга ІV и ще покажем защо преписваме тези методи на Диофант:

„Дадено число да се раздроби на две числа така, че тяхното произведение да е равно на куб без страна”.

Нека е дадено числото 6. Предполагаме, че първото число е х, тогава второто е 6 – х. Остава да се направи произведението им да е куб без страна. Или 6х – х² трябва да е равно на куб без страна. Нека да образуваме куб от х с някакъв коефициент -1. Ако 2х – 1 е куб, то неговият куб без страна ще бъде

8х³ + 4х – 12х².

Това е равно на 6х – х².

Ако коефициентите пред х в двете части са равни, то биха останали равни членове с х³ и х², тогава х ще бъде рационално. Но 4х се получава като излишък 3*2х над 2х и 3*2х – 2х дава 2*2х. Но по предположение трябва да бъде 6. и така, сега трябва да намерим такова число, че коефициентът при х, умножен по 2 да дава 6. Това ще бъде 3.

Тъй като искаме 6х – х² да е равно на куб без страна, то ако страната на куба е 3х – 1 този куб без неговата страна ще бъде

27х³ + 6х – 27х² = 6х – х²

и

х = 26/27.

Сега ще се опитаме да изведем метода на Диофант в чист вид. Нека е дадено число а и да обозначим едно от търсените числа с х, другото с а – х. По условие следва,че

х(а – х) = у³ – у. (16)

Веднага се вижда, че едно от рационалните решения ще бъде (0,-1). Като следваме методите на Диофант ще прекараме през тази точка права

у = кх - 1 (*)

да вземем, че к = 2 и намираме пресечната точка на правата с кривата (16)

ах – х² = к³х³ – 3к²х² + 2кх.

За да се получи х рационално число, достатъчно е да допуснем 2к = а, т.е. к = а/2, (**)

което прави и Диофант. След това намираме

х = (3к² – 1)/к³ = 2[(3а² – 4)/а³].

Сега ще приложим метода на Диофант към произволно уравнение от трета степен с две променливи (15), което има рационално решение (а,b): f₃(a,b) = 0. Ще прекараме през точка Р(а,b) права

у – b = к(х – а) (17)

или

х = а+t

у = b+kt

Тогава

f₃(а+t, b+kt) = f₃(а,b) + tA(a,b) + ktB(a,b) + t²C(a,b,k) + t³D(a,b,k) = 0.

A(a,b) + kB(a,b) = 0 (19)

ще получим :

к = -A(a,b)/B(a,b) = dy/dx

т.е. ъгловият коефициент на нашата права (17) трябва да бъде избран така, че тя да бъде допирателна към крива (15) в точка Р(а,b). По този начин Диофант използва метода на допирателната. А сега ще разгледаме една задача за да покажем как Диофант използва метода на секателната.

Нека да разгледаме задача 26 (книга ІV): „Да се намерят две числа, чието произведение заедно с всяко от числата ще бъде куб”.

Нека да предположим, че първото е куб, например 8, второто –

х² – 1. Едното условие е изпълнено, защото прибавено към произведението на първото дава куб.

Остава да се направи така, че и прибавянето на второто също да дава куб. Но прибавянето на второто дава

8х³ + х² – 8х – 1 = куб.

Образуваме куб от 2х – 1, и получаваме че х = 14/13. нататък по формулите следва, че първото е 112/13, а второто – 27/169. Като следваме метода на Диофант ще обозначим първото неизвестно с а³х, второто с х² – 1. Тогава първото условие на задачата е изпълнено, а второто дава:

а³х³ + х² – а³х – 1 = у³ (20)

Диофант прави заместване у = ах – 1 и получава

х = (а³+3а)/(1+3а²).

Едно от рационалните решения на уравнението (20) ще бъде (0, -1). Прекарваме през тази точка права у = кх – 1 и намираме нейната точка на пресичане с уравнение (20):

(а³-к³)х³ + (1+3к²)х² – (а³+3к)х = 0.

В този случай приравняваме на нула коефициентите пред х³ и получаваме

а³-к³ = 0, к = а.

За да изясним какво означава приравняване от геометрична гледна точка ще запишем уравнението (14) в хомогенни координати където х = u/z, y = v/z :

а³u³ + u²z – а³uz² – z³ = v³ . (20´)

Виждаме, че тази крива има две рационални точки Р₁(0, -1, 1) и Р₂(1, а, 0) и правата, която ги свързва е

v = au – z.

Тя дава при пресичането с (20´) третата рационална точка. По този начин тук Диофант прилага метода на секателната за случай, когато една от зададените рационални точки се явява крайна, а друга – безкрайно отдалечена или несобствена.

§5. Методите на Диофант при Виет и Ферма

Франсоа Виет (1540-1603) с право се счита за родоначалник на буквеното изчисление. След Диофант той е първият, направил съществено нова крачка в построяването на такова изчисление, именно с въвеждането на символи за произволни постоянни величини или параметри, фигуриращи в задачите. Чак след това се появяват първите алгебрични формули и става възможно част от умствените операции да се заменят с буквени.

Франсоа Виет е бил също така и първият математик в Европа, обърнал внимание на метода на Диофант за намиране на рационални точки от кубична крива и добре разбрал този метод.

В задача 12 от книга V Диофант пише: „... че разликата на два куба е равна на сумата на два куба”. Очевидно става дума за решението на уравнението:

х³ + у³ = а³ – b³,

където а > b > 0 и х, у – са положителни. Но решението на тази задача в самата „Аритметика” отсъства.

Виет представя още две аналогични задачи:

1) х³ – у³ = а³ + b³ ( х > y > 0, а>0, b>0),

2) х³ – у³ = а³ - b³ ( х > y > 0, а>0, b>0).

Всичките три задачи той решава с помощта на метода на допирателната на Диофант. За решаването на задачата

х³ + у³ = а³ – b³, Виет замества х = t – b, y = a – kt

и получава

t³(1 – k³) + 3t²(аk² – b) + 3t(b² – а²k) = 0.

След това той търси b² – а²k = 0, което е равносилно на искането, правата у = а – k(х + b) да е допирателна към кривата х³ + у³ = а³ – b³ в точка (-b, а), и намира че

t = 3а³b/а³ +b³.

Аналогично се решават и другите две задачи.

В последствие Виет прибавя към трите задачи още една:

х³ + у³ = а³ + b³. При нея се явяват затруднения, тъй като при решаването й по обичания начин или х, или у се получават отрицателни числа, т.е. сумата на два куба се представя не като сумата на два нови куба, а като тяхна разлика. С това затруднение успява да се справи Ферма.

Пиер Ферма е роден през 1601 година в Южна Франция, близо до град Толуза. Той владеел много добре латински, италиански, испански и гръцки. Гръцкия го владеел толкова добре, че правил поправки към преводите на много учени в това число и към преводите на Диофант. Ферма завърша юридическо образование и заема мястото на съветник в Парламента. Но с истинско съдържание го изпълвала математиката. Той заобичал като чете трудовете на Архимед, Аполоний, Диофант.

Ферма безспорно е бил първият математик на своето време. Той е създал най-много общи нови методи за тази част от нашата наука, получила названието анализ на безкрайно малките, наред с Декарт. Той е бил творец на аналитичната геометрия, заедно с Паскал е заложил основата на теорията на вероятностите. Ферма също така се интересувал от приложенията на математиката при анализа на явленията от физическия свят. Той се занимавал с оптика.

Но любима област на Ферма била теорията на числата. Той съумял да набере сред множества интересни въпроси и частни задачи тези основни проблеми, чието изследване създало теорията на числата като наука. С проблемите на Ферма се занимават всички математици на ХVІІІ-ХІХ век. Един от най-тежките проблеми в математиката до скоро беше доказателството на последната теорема на Ферма: Да се реши в цели числа уравнението хⁿ + уⁿ = zⁿ при n ≥ 3.

Дълги години различни учени са пробвали да решат това диофантово уравнение.

В редица случаи са получени резултати, свързани с решаването на проблема.

Теорема 11: Диофантовите уравнения

х⁴ – у⁴ = z²,

х⁴ + у⁴ = z²

нямат решения в естествените числа.

х⁴ⁿ + у⁴ⁿ = z⁴ⁿ, n € Ν,

няма решение в естествените числа.

Верността очевидно следва от теоремата, защото ако допуснем, че има тройка естествени числа α,β и γ такива, че

α⁴ⁿ + β⁴ⁿ = γ⁴ⁿ,

то числата γⁿ, βⁿ и α²ⁿ ще са решение на уравнението

х⁴ –у⁴ = z², което противоречи на теоремата 11. ■

Методът, по който може да се докаже теорема 11 е използван за първи път от Ферма при решаването на някои диофантови уравнения и е известен като метода на безкрайното спускане. Този метод се състои в следното. Приема се, че естественото число n притежава някакво свойство. След това се доказва, че съществува естествено число n₁, където n₁ < n, което също притежава това свойство. Това обаче води до противоречие, защото във всяко множество от естествени числа има най-малко число. С помощта на метода на безкрайното спускане може да се докаже следното твърдение.

х⁴ – у⁴ = рz²

няма решение в естествените числа.

Теорема 13: (Теорема на Лебег) Диофантовото уравнение

х³ – у³ = 7 (21)

няма решение в цели числа.

Доказателство: Ако допуснем, че уравнението (21) има решение (α, β) в естествените числа, то тогава очевидно числата α и β са от различна четност.

1. 
   Нека α е нечетно число и β е четно число.
   

α = 4λ ± 1

и α² е от вида

α² = 8λ + 1.

От друга страна поради това, че (α, β) е решение на уравнение (21) имаме

α² = 7 + β³,

откъдето следва, че α² е от вида α² = 8λ + 7. И така стигаме до противоречие.

2. 
   Нека α е четно число и β е нечетно. Тогава от уравнение (21) и от β=2β₁ + 1 ще имаме
   

Ще докажем, че числото 4β₁² + 3 има прост делител от вида р = 4λ + 3. Ако допуснем, че това не е вярно, тъй като по модул 4 всички прости числа са от вида 4λ + 1 или 4λ + 3, ще следва, че числото 4β₁² + 3 има прости делители от вида 4λ + 1. Но произведението на прости числа от вида 4λ + 1 е пак число от същия вид. Достигнахме до противоречие с вида на числото 4β₁² + 3. Следователно числото 4β₁² + 3 има прост делител р от вида р = 4λ + 3.

Тогава

α²+1 ≡ (mod p)

α² ≡ -1 (mod p).

И така получихме, че сравнението

х² ≡ -1(mod p)

има решение α, когато р е от вида р = 4λ + 3. Това е невъзможно, тъй като вече доказахме в теория на квадратичните остатъци, че -1 е квадратичен остатък и тогава и само тогава, когато нечетното просто число р е от вида р = 4λ + 1. ■

Едва през 1993 година Ендрю Уайлз заявява, че има доказателство на Великата теорема на Ферма, което обаче се оказва погрешно. След едногодишни усилия грешката е поправена, но доказателството е много сложно и проверката му е по силите на много малък брой матаметици. Доказателството е прието окончателно през 1996 година и се съдържа в 150 страници.

Погледнато на пръв поглед в книгите от „Аритметика” на Диофант, с които разполагаме липсват изследвания по теория на числата. Но след като разгледаме задачите се вижда, че той поняко формулира при какви условия е възможна дадена задача да бъде решена или да не може да се реши. Именно по този начин се появяват теоремите от теория на числата в „Аритметика”.

Нека да разгледаме задача 19 от книга ІІІ: „Да се намерят такива четири числа, така че квадрата на сумата им прибавен към едно от тях или изваждайки едно от тях да си остава квадрат”.

Тъй като във всеки правоъгълен триъгълник ако към квадрата на хипотенузата прибавим или извадим удвоеното произведение на страните, заключващи прав ъгъл, се получава квадрат, то тогава най – напред ще търсим четири правоъгълни триъгълника, имащи равни хипотенузи. Това е като да се разбие квадрат на два квадрата, а вече знаем че □ може да се раздроби на два квадрата по безкрайно много начини (άπειραχώς – апейрахос).

И така, нека да вземем два правоъгълни триъгълника с най – малки числа, като 3, 4, 5 и 5, 12, 13. Умножаваме всеки от тях по хипотенузата на другия. Тогава първия ще бъде 39, 52, 65. И това всъщност са правоъгълни триъгълници с равни хипотенузи. Но от друга страна 65 може да бъде разложено на два квадрата по два начина:

първия – на 16 и 49

втория – на 64 и 1.

Това става, защото числото 65 е произведение от 13 и 5, всяко от които се раздробява на два квадрата.

Ако от предложените 49 и 16 вземем страни – те ще бъдат 7 и 4 и образуваме от двете числа 7 и 4 правоъгълен триъгълник 33, 56, 65.

По подобен начин 64 и 1 имат страни 8 и 1, и от тях образуваме друг правоъгълен триъгълник, който ще има страни 16, 63, 65.

По този начин получихме четири правоъгълни триъгълника с равни хипотенузи. Нека сега се върнем към първоначалната задача: ако отбележим, че сумата на четирите числа е 65х, а всяко от тези четири е равно на х² с коефициенти, явяващи се учетворени лица.

Първото 4056х², второто – 3000х², третото – 3696х² и четвъртото – 2016х². Тогава сумата на четирите числа 12768х² - е равна на 65х, което е

х = 65/12768.

По формулите с еднакъв знаменател първото ще бъде 17136600, второто – 12675000, третото – 15615600, четвъртото – 8517600, а знаменателя е 163021824.

Тази задача е забележителна, защото в нея Диофант за първи път говори за правоъгълен триъгълник „в най-малки числа” и за образуването на такива триъгълници от „две числа”. То всъщност става въпрос за решаване на диофантово уравнение с рационални числа:

х² + у² = z².

Най-общи формули за неговото решаване е привел Евклид в „Начала”. Без уговорги Диофант използва тези формули, даващи при взаимно простите p и q всички цели решения на това уравнение, нямащи общ делител:

z = p² + q², х = 2pq, у = р² – q².

Другата причина поради, която можем да кажем че тази задача е забележителна е следната: тя съдържа утвърждаване че произведението на две цели числа, всяко от които се явява сума от два квадрата, само е представимо като сума от два квадрата и при това по два различни начина. (Самоумножаващите се едно на друго числа да не са равни помежду си). При това, ако р = а² + b² и q = с² + d², то

рq = (ас+bd)² + (ad-bc)² = (ad+bc)² + (ac-bd)².

Именно в бележките към тази задача Ферма изказва своето знаменито твърдение, че всяко просто число от вида 4n+1 е представимо във вид на сума на два квадрата и при това само по един начин. Тук той дава метод за определяне по колко начина дадено число може да се представи във вида на сума от два квадрата.

За да разберем дали са били известни тези предложения на Диофант ще разгледаме задача 9 от книга V: „Да се раздели единица на две дроби така, че прибавянето към всяка част на зададеното число да дава неговия квадрат”. След условието Диофант формулира ограничение, което се налага на зададеното число, за да е възможна задачата. За съжаление, след думите: „Необходимо е зададеното число да не бъде нечетно и неговото удвоено и единица...” текстът е повреден. Съществуват обаче няколко негови реконструкции, но най-напред ще приведем текста на задачата:

„Нека към всяка част прибавим 6, така че да се получат квадрати. Тъй като искаме да раздробим 1 на такива части, че като прибавим към всяка от тях 6 да се получи □, то сумата от квадратите ще бъде 13. Нужно е да се разбие 13 на два квадрата, всеки от които е по-голям от 6.

Ако разбием 13 на два квадрата, чиято разлика е по-малко от 1, то ще намерим търсенето. Нека да вземем половината от 13, получаваме 6½ и сега трябва да намерим такива дроби, които прибавени към 6½ дават квадрати. Учетворяваме ги. И сега вече търсим кавратна дроб, която като се прибави към 26 дава □. Ако прибавляемата дроб е 1/х², то получаваме

26 + 1/х² = □.

Умножаваме с х² всяка страна и получаваме:

26х² + 1 = □.

Нека неговата страна е 5х+1и така получаваме, че х = 10. И така, х² = 100, 1/х² = 1/100.

Значи, прибавляемото към 26 ще бъде 1/100, следователно към 6½ ще получим прибавляемо 1/400, което дава □ със страна 51/20. И така, необходимо е да се разбие 13 на два квадрата, да се построи за всеки страна, прибилизително равна на 51/20, и трябва да докажем че изваденото от трите и прибавено към две дава именно 51/20.

И така образуваме два квадрата, един от 11х+2, друг 3-9х, тогава сумата от техните квадрати ще бъде

202х²+13-10х = 13

и така получаваме, че х = 5/101.

От тук следва, че страната на единия квадрат ще бъде 257/101, а на другия 258/101. И ако от всяка от тях в квадрата извадим 6, ще получим една част от единицата 5358/10201, а другата – 4843/10201 и е ясно, че всяка събрана с 6 дава □.

Условието на задачата може да се запише и във вид на система от три уравнения:

х+у = 1

х+а = u²

като съберем последните две уравнения ще получим следното:

2а+1 = u²+v².

Затова числото а трябва да бъде така избрано, че 2а+1 да се представя като сума от два квадрата.

Общи условия за това, че числото не бива да се представя като сума от два квадрата, цели или дроби, след Диофант са били открити само от Пиер Ферма (ХVІІ век), който ги формулира в следния вид:

„Ако число, след като се раздели на най-големия съдържащ се в него квадрат дава частно, което се дели на просто число от вида 4n-1, то зададеното число не е квадрат и не може да бъде разложено на сума от два цели или дробни квадрата”.

Тези условия могат да бъдат изведени от една забележителна теорема, формулирана от Ферма и доказана от Ейлер, а именно: „Като сума от два квадрата са представими тези и само тези прости числа, които имат вида 4n+1.

Дали обаче Диофант е знаел доказателството на своите ограничения и подозирал ли е, че поставените от него условия не само са необходими, но са достатъчни да се представи цяло число като сума от два квадрата.

На този въпрос посвещава специално изследване един от знаменитите математици на миналия век Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851). Преди всичко той прави щателен филологически анализ на текста на Диофант и предлага следната негова реконструкция:

„Необходимо е, зададеното число да не е нечетно и неговото удвоено и единица да няма делител, кратен на четири без единица”.

Това условие действително ще бъде необходимо, ако към него се прибави уговорката „след делене на най-големия, съдържащ се в него квадрат”, но очевидно Диофант го е подозирал. В такъв случай условието ще бъде достатъчно, т.е. напълно ще охарактеризира множеството на целите числа, представими като сума от два квадрата.

Якоби предполага, че Диофант е имал доказателство за това, че поставеното от него условие е необходимо, т.е. можел е да обоснове своите ограничения. Той привежда в своята статия реконструкция на това доказателство, ползвайки при което само методи, прилагани от Евклид и Диофант.

Якоби не се съмнява в това, че Диофант е знаел и за достатъчността на своите условия, обаче не е могъл да го докаже, тъй като за това са били нужни средства, излизащи отвъд пределите на античната математика.

В задача 14 от книга V Диофант формулира условие, необходимо за това, че известно число би могло да се представи като сума от три квадрата. Диоризмът се заключава в това, че числото не трябва да има вида 8n+7. И тук доказването на необходимото условие не би трябвало да представлява труд за Диофант, но той никъде не утвърждава, че всяко нечетно число, което не от вида 8n+7 действително се представя като сума от три квадрата, макар и да е можел чисто индуктивно да намери и това предложение.

Знаейки принципа на древните математици да изказват само такива предложения, които са можели да докажат, може смело да се твърди, че Диофант е можел да доказва своите ограничения.