§7. Диофант и математиците от ХV-ХVІ век

В ІХ-ХІІІ век възникват нови научни центрове: Константинопол, също и Багдад и други градове от арабския изток. През ХІІ век научната мисъл прониква в два различни потока. Първият може да се нарече алгебрически, вторият – теоретико-числов или аритметически. При това новото, което Диофант внася в алгебрата е станало известно на европейските учени 300 години по-рано от неговите аритметични идеи. Неговата алгебра е била възприета както от византийските коментатори на Диофант, така и от арабските математици. Арабите не са използвали буквени символи, а наименовали степените на неизвестно с думи. Освен това, при наименоването на степени на неизвестно те използвали не адитивния принцип, както е при Диофант, а неудобния мултипликативен т.е. например х⁶ те наричали не „куб на куб” като Диофант, а „квадрато-куб”. За х⁵ те въобще не можели да съставят название от предходни степени и не се разлага на множители. Налагало се да го наричат „глухо” или „първо неизразимо”. По същия начин аналогично стояло при х⁷, което наричали „второ неизразимо” и т.н. с х¹¹ и всички степени с прости показатели. Този принцип на обозначение преминал от арабите в Европа и е бил използван в епохата на възраждане в Италия, а след това и от немските алгебристи, известни с името косисти. Изключение прави много талантливия математик, живял през ХІІІ век Леонардо Пизански, известен под името Фибоначи. В своята „Книга за абака” той не само прилага адитивния принцип на обозначения на степен на неизвестно, но и за първи път в Европа разглежда задачи, свеждащи се до диофантови уравнения.

Отрицателните числа не били възприети много охотно. Арабските математици съвсем се отказали от тях, а европейците ги приемали с голямо недоверие. Дълго време те наричали отрицателните числа „лъжливи” и се стараели да се справят без тях.

Но в „Аритметика” на Диофант има и друг, доста по-дълбок кръг от идеи, свързан с решаването на неопределени уравнения. Дълго време нищо не се знаело за тях. През ХV-ХVІ век в Европа се създали няколко парадоксални ситуации: учените използвали буквената алгебра, произлизаща от Диофант. Развивали я по-нататък, но не познавали трудовете на Диофант.

Първият, който ги прочел, е известният астроном Региомонтан. Пътешествайки из Италия, той открива ръкопис на Диофант и съобщил за това в писмо до свой приятел. Той решил да го преведе, но не преди да намери всички 13 книги, за които пише Диофант във „Увода”. Обаче били намерени само шест книги, тези , които са известни и на нас, и превода така и не бил направен. Трябвало е да минат още 100 години за да може отново да се заговори за Диофант. През 1572 година в „Алгебра” на Рафаел Бомбели се появяват 143 задачи от „Аритметика” на Диофант. Три години след излизането на „Алгебра” за първи път е публикуван превода на „Аритметика” на латински. Той е бил изпълнен от известния филилог и философ по онова време Ксиландър ( сегашното му име е Гильом Холцман).

След това задачите от първите четири книги на Диофант се появяват в книгата на известния маметатик и механик Симон Стевин (1585 година), а във второто издание, подготвено от талантливия алгебрист Албер Жирар, и задачите от последните две книги.

Но методите на Диофант се възраждат само в трудовете на двамата френски математици от ХVІ-ХVІІ век – Франсоа Виет и Пиер Ферма.

§8. Оценка на методите на Диофант

Диофант е владеел общия метод за определяне на рационалните точки на криви от втора степен. Освен това той е намерил общи методи за търсене на рационални точки на криви от трета степен, при това тези методи се оказват дълбоко различни от тези, които е прилагал за криви от втора степен. От работите на Пуанкаре следва, че тези методи на Диофант са приложими за намиране рационални точки на произволни криви от род 1. Никакви други общи методи за намиране рационални точки от алгебрически криви до сега не съществуват.

Много от историците и до днес считат, че Диофант се е ограничавал с намирането само на едно решение и е прилагал изкуствени способи, различни за различните задачи. Към това мнение се е придържал и Ханкел, който пише: „... на съвременния математик след изучаване на 100 решения му е трудно да реши 101-ва задача... Диофант по-скоро ослепява отколкото води до възторг.” (Ханкел, Zur Geschichte der Mathematik in Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874, стр.165).

Тази оценка може да си обясним с това, че книгата на Ханкел е била написана преди работите на Пуанкаре. Те придават нов изглед върху проблема за диофантовите уравнения. В книгата „История на математиката” на Бекер и Хофман, издадена през 1951г. на страница 90 може да прочетем следното: „Диофант не дава никакъв общ метод; използва очевидно за всяка нова задача нов неочакван изкуствен способ, напомнящ източните”. Подобно изказване прави и Ван дер Варден в своята книга „Пробуждаща се наука”, издадена през 1968 година. Според него Диофант се задоволявал само с едно решение, независимо дали е цяло или дробно число. Също така той умеел достатъчно добре да решава уравнения от втора степен, така че в уравнението да отпадне или член с х², или постоянна величина. Така по този начин да намери рационално решение за х. Този метод се нарича общ метод.

1. 
   Башмакова И.Г. – Диофант и Диофантовы уравнения, Москва 1972 година
   
2. 
   Сендов Бл. – Решаване на уравнения в цели числа, София 1965 година
   
3. 
   Сотиров Вл. – История на Математиката - от най-древни времена до началото на новото време, София 1974 година
   
4. 
   Мирчев Ив. – Теория на числата,
   

1. 
   Исторически преглед – стр. 1
   
2. 
   Диофантови уравнения – стр. 8
   
3. 
   Диофантови уравнения от втора степен – стр. 22
   
4. 
   Диофантови уравнения от трета степен – стр.28
   
5. 
   Методите на Диофант при Виет и Ферма – стр. 34
   
6. 
   Връзка на Диофант с теория на числата – стр. 40
   
7. 
   Диофант и математиците от ХV – ХVІ век – стр. 47
   
8. 
   Оценка на методите на Диофант – стр. 50