История на Математическия анализ

През втората половина на този век било открито, че съществуват двойки отсечки (например страна и диагонал на квадрат), които не са съизмерими – не могат да бъдат разделени на цяло число отсечки с еднаква дължина, и следователно отношението на дължините им не е равно на отношението на две цели числа. Това заключение има за следствие, че процесът за сравняване на две величини може да няма край (безкраен процес).

Лесно се разпознава, че разрешенията на първите два парадокса на Зенон, парадокса за дихотомията и този с Ахил и костенурката, са базирани върху сумирането на определени геометрични прогресии и включват идеите за граница, сходимост, непрекъснатост. Тези понятия са получили задоволителна математическа основа едва през 19 век. Тъй като Зенон е първият, наблегнал на трудностите, които се срещат в такива разглеждания, Бертран Ръсел и други автори смятат, че Зенон е изпреварил Вайерщрас.

Както е добре известно, откритието, че страна и диагонал на квадрат са несравними, става причина за първата криза в математиката. Питагорейската теория за пропорциите не може да се приложи за всички отсечки, защото някои от тях са несравними. В тази система идеята на Демокрит за безкрайно малките била логически несъстоятелна. Евдокс предложил средство за избягване на тези трудности. Пътищата, които той посочил в теорията си за пропорциите и в метода на изчерпването, не са еквивалент на нашите съвременни представи за число и граница, но доста заобиколно избягват необходимостта от тях.

Евдокс прибягнал към идеята, развита известно време преди това от софиста Антифон и едно поколение по-късно от Брисон. Антифон и Брисон вписали правилен многоъгълник в окръжност и с двойно увеличаване на страните на многоъгълника изглежда са се надявали да достигнат многоъгълник, който да съвпада с окръжността и така да „изчерпят” лицето на кръга. Методът на Антифон е еквивалентен и с метода на Евдокс (Евклид XII-2), и с нашата идея за кръга като граница на такива вписани многоъгълници, но просто е изразен с други термини.

Аксиомата на Архимед (Евклид X-1) твърди, че ако са дадени две неравни величини и от първата се извади величина, която е по-голяма от нейната половина, и ако този процес се повтаря непрекъснато, ще остане величина, която е по-малка от втората първоначално дадена величина. Поради факта, че с продължаване на процеса, показан в аксиомата на Архимед, оставащите отсечки могат да се направят произволно малки, процедурата, въведена от Евдокс, много по-късно е била наречена метод на изчерпването.

Гръцките математици никога не са разглеждали процес, съставен от безкраен брой стъпки, както го правим ние при граничен преход. Тази концепция ни позволява да интерпретираме лицето или обема като наистина изчерпани, или най-малко дефинирани като границата на безкрайна числова редица. Гърците са мислели, че остава известно количество (въпреки че това количество може да е произволно малко), затова процесът никога не може да завърши ясно. Методът на изчерпването, въпреки че е еквивалентен в много отношения на доводите, използвани в доказателството за съществуването на граница, не показва момента на извършване на граничен преход.

Методът на изчерпването е бил характеризиран като “коректен алгоритъм от диференциалното смятане”. Наистина, задачите, към които се прилага метода, водят до използване на математическия анализ. В съвременна терминология: ако a и e са две еднородни величини и а е по-голяма от е, изваждаме от а величина a₁, по-голяма от половината на а и от остатъка изваждаме величина a₂, по-голяма от неговата половина и т.н. Означаваме с {S_n}_neN редицата s₁=a₁, s₂=a₁+a₂, … , s_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n. Остатъкът, получен на n-та стъпка е равен на a-s_n. От метода на изчерпването следва, че за всяко ε > 0 съществува такова n_o, така че a-s_n да бъде по-малко от ε при .

За разлика от гърците Симон Стевин (1548-1620) е бил умеел да използва общото съображение, че всеки две величини, чиято разлика е по-малка от произволно зададена стойност, са равни.

Лука Валерио (1552-1618) се е занимавал с построяване на геометрична теория на границите. Без никакви означения за функции, Валерио е постигнал много малко в тази насока. Той се е опитвал преди всичко да формулира условия, от които да следва, че границата на частното на две величини е частното на техните граници. В съвременни означения, ако и ако за подходящо n е възможно да се намерят l₁, l₂, l₃ и l₄ такива, че където ε е произволно избрано достатъчно малко положително число, тогава т.е. .

Следователно, ако отношение от този вид се установи между лицата (или обемите) на някакви вписани или описани фигури, това отношение също важи за лицата (или обемите) на самите фигури.

Заедно с всички опити да се видоизмени структурата на разсъжденията на Архимед, се появява и друг поток на развитие. Той довежда до временното изоставяне на метода на изчерпването.

Нютон (1642-1727) в Tractatus de quadratura Curvavum (1676) е дал метода на първичното и крайното частно. Той е разгледал функцията y=x^ν. За да намери флуксията на y (или x^ν), той взема x да “прелита”, за да достигне до x+0. Тогава x^ν става Нарастванията на x и y, а именно “0” и , се отнасят както 1 и Нека сега нарастването се приравни на 0. Последната пропорция ще се бъде 1 към vx^v-1. Това означава, че флуксията на x се отнася към флуксията на xⁿ както 1 към vx^v-1. Това е (според Нютон) първичното частно на нарастването.

Нютон също разглежда частно на крайни величини (в съвременни означения , където х клони към 0). Това частно накрая се превръща в това, което Нютон нарича ultimate ratio - крайно частно. Последните частни са “границите, към които частните на величините, които намаляват безгранично, винаги клонят и към които се стремят по-близко, отколкото всяка зададена разлика, но никога не отиват отвъд тях, нито дори ги достигат, докато величините не се анулират”.

И така, според Нютон за граница се мисли като за числото, към което се приближаваме все по-близо и по-близо, но което не може да бъде преминато.

След една работа на Люлие и Лакроа, ограничението, че границата трябва да бъде едностранна, е изоставено. Маклорен е казвал, че сума на ред е граница на парциалните суми

Нютон съзира трудностите, които наивната представа за безкрайно малките влече, както се вижда от следното твърдение в Principia: “Крайните частни, в които променливите величини се анулират, строго казано, не са частни на крайните стойности на величините, а границата, към която тези частни намаляват безгранично и която, въпреки че частните се приближават по-близо от всяка зададена стойност, не може да бъде премината, нито дори достигната, преди величините да станат безкрайно малки.” Това е най-ясното твърдение на Нютон за природата на крайните частни. В една от лемите на втората книга на Principia се вижда, че той набляга на зависимостта на безкрайно малките величини от концепцията за граница, която се приема за основна.

Лайбниц (1646-1716) дефинира интеграла като сума на всички стойности на някоя величина, или като сума на безкрайно много безкрайно тесни правоъгълници, или (както съвременен математик би казал) като граница на интегрални суми.

Бенджамин Робинс, самоук математик, поставя основите на анализа върху понятието за граница. Той говори за границата като за стойност, към която променлива величина може да се приближава неограничено, въпреки че никога не може да стане равна с нея. Тук за пръв път е казано явно, ясно и недвусмислено, че променливата не може никога да достига границата си. Употребата на безкрайно малки величини се изключва строго. Джеймс Джурин, ученик на Нютон, дава отговор на Робинс. Джурин се опитва да докаже, че fiunt ultimo aequales (вписаните и описаните многоъгълници), използвани от Нютон в Книга 1 от Principia, стават съвършено еднакви. В съвременна терминология, това означава, че границата се достига. С това Джурин демонстрира широки за времето си разбирания.

Той казва: “Дали величината или частното ще достигне границата си или не, зависи само от предположенията, които налагаме върху времето, през което величината или частното постоянно се приближава до границата”. С други думи, дали допускаме променлива да достига границата си или не, е въпрос на избор.

Можем да налагаме условия, при които променливата ще достига границата си, и други, при които няма да я достига. Така Jurin е вероятно първият математик, който съзнателно е модифицирал и обобщил понятието за граница. Сериозната трудност при допускането на променлива (като естествено възникващите в геометрията) да достига границата си, се корени във факта , че въображението не е в състояние да следва променливата през безброй много стъпки, които водят към границата. Въображението изчерпва само себе си в това усилие.

При всички дискусии относно понятието граница през целия XVIII век, въпросът дали тя съществува не е бил повдиган.

Теорията на ирационалните числа причинява големи безпокойства сред математиците от XVIII век. Въпросът е, дали аритметичните операции могат да се разширят до числова съвкупност, която включва едновременно рационални и ирационални числа. По това време числовите системи не са построени строго.

Даламбер разглежда метода на границите като основа на анализа, вероятно достигайки до тази идея след две свои ранни работи. Даламбер не интерпретира Нютоновата фраза за първичното и крайното частно буквално, като първото и последното частно на две величини, които са възникнали. Даламбер схваща една величина като граница на друга, ако втората може да се приближава по-близко от всяка зададена стойност до първата. Но според него променливата величина не може да съвпада с границата си.

Така Даламбер се съгласява с интерпретацията на Робинс на Нютоновата концепция. Той смята, че основата на диференциалното смятане, подобно на метода на флуксиите, може да бъде намерена в идеята за границите.

В 1787 С. Люлие публикува своя труд. В тази си работа Люлие смята да докаже, че “методът на древните, известен като метод на изчерпването, с подходящо разширяване, задоволително се съгласува с принципите на новото смятане”.

В съответствие с тази цел той модифицира метода на изчерпването, като го представя в термините на границите. Той приема концепцията за граница за основна. Както в съвременните учебници, той се основава на производната, дефинирайки я като граница на отношението на нарастването на функцията към нарастването на независимата променлива.

Той фокусира вниманието си към едно число (производната) като граница на една променлива (частното на две нараствания) вместо към крайното частно на две моментни изменения на променливите или на две флуксии или на които и да са две величини, които дават същото отношение.

Въпреки, че дефиницията на Люлие е близка до голяма степен с тази, която може да се намери сега в елементарните учебници по анализ, той не е бил наясно с трудностите, които влече след себе си концепцията за граница.

Той се отнася със страхопочитание към мистицизма на безкрайно малките, неопределеността на крайното частно и безсмислието на израза , но не съумява да оцени тънкостите в концепцията за граница, които позволяват да се приеме тази грижлива дефиниция за основна. Неговите променливи са винаги или по-малки, или по-големи от стойността на границата: “Нека е дадена променлива величина, която винаги е по-малка или по-голяма от зададена константа, но която може да бъде доближена повече от което и да е малко число. Тогава тази константа се нарича граница отгоре или отдолу на променливата величина”.

Силвестър Лакроа доказва, че граница на произведение е произведение на границите. Нека p е границата на P, q на Q . Въобще казано P=p+а, Q=q+b, където и a, и b се анулират след преминаване през “всички етапи на последователно намаляване”. Тъй като PQ=(p+a)(q+b), то PQ=pq+pb+qa+qb. Така виждаме, че “разликата PQ-pq може да бъде направена толкова малка, колкото поискаме, определяйки подходящи стойности на a и b”. Но Лакроа не е направил явни пресмятания за това, колко малки трябва да бъдат a и b, за да осигурят, че PQ –pq ще бъде по-малко от всяко предварително дадено число. При все това, аргументът, който той дава, е важен, защото служи като пример за превеждането на проблем за граници на алгебричен език.

Лагранж опитва да избегне всички гранични процеси, като дефинира производна чрез коефициентите на развитието и в ред на Тейлор.

През целия XVIII век основната част от разглежданията се извършват върху конкретни редици и редове. Развити са сложни методи за приближение и намиране на граници. Даламбер (1768) изучава развитието в ред на (1+x)ⁿ при рационален показател и определя областта му на сходимост чрез сравнение с две геометрични прогресии (при <1).

Огюст Луи Коши, най-плодовития математик на XIX век, е първият, който полага основите на анализа върху понятието граница. Концепцията за граница е дискутирана много по-рано, дори от Нютон. Но Коши е първият, който е превел доста неясната представа за функция, клоняща към определено число, в аритметични термини. Това му дава възможност да доказва съществуването на граници. Коши използва понятието граница, за да дефинира непрекъснатост (в съвременен смисъл) и сходимост на редици (и числови, и функционални). Определението на Коши за сходимост, публикувано през 1821 г., по същество съвпада с това на чешкия математик Болцано (1817).

1. 
   Курс по анализ за l’ Ecole Royale Polytechnique, Париж, 1821.
   
2. 
   Резюме към лекциите, прочетени в l’ Ecole Royale Polytechnique, Париж, 1823.
   

На стр.4 от (ii) той обяснява термина “променлива величина”. Име на променлива се дава на величина, за която се предполага да приема достатъчно много различни стойности, една след друга. Такава величина се означава с буква от края на азбуката.

Дефиницията на Коши за граница е се появява в началото ма “Курс по анализ”: “Ако приписваме последователно стойности на една и съща променлива, клоняща неограничено към фиксирана стойност, така че накрая те да се отличават от нея толкова малко, колкото зададем, тази последната се нарича граница на всички други”. Като пример Коши отбелязва, че ирационалните числа са граници на рационални. Той също дефинира безкрайно малките променливи като променливи величини, чиято граница е нула. Да отбележим, че Коши не дефинира съвременното понятие защото то включва в себе си разглеждането на две променливи. Изглежда, че той изцяло пренебрегва ролята на независимата променлива. По-нататък, изглежда, че дефиницията на Коши за граница донякъде се различава от тази на Даламбер. Все пак, за да видим какво означава за Коши изказаната дефиниция и по какво се отличава тя от предшестващите я дефиниции, е необходимо да разгледаме използването и при доказателството на някои твърдения за граници. В действителност Коши не само си служи и с независимата, и със зависимата променливи, но и превежда своите твърдения на алгебричен език, служейки си с неравенства. Като пример, да разгледаме доказателството на Коши на следната:
Теорема. Ако за нарастващи стойност на x, разликата f(x+1)-f(x) клони към някаква граница k, то и частното f(x)/x клони едновременно към същата граница.
Коши започва доказателството на теоремата с превеждане на теоремата на алгебричен език:

При дадена произволна стойност ε, толкова малка, колкото поискаме, може да се намери число h, така че ако xh, да е в сила k-ε< f(x+1)-f(x)

След това преминава към употреба на този превод на алгебричен език:

Тъй като всяка от разликите f(h+i)-f(h+i-1) за i=1,2,3,…,n удовлетворява неравенството, то същото неравенство се удовлетворява и от тяхното средно аритметично

Оттук следва, че ,

където –ε.

Но тогава f(x)=f(h) +(x-h)(k+a), или .

Тъй като h е фиксирано, Коши заключава, че ако x е взето достатъчно голямо, то f(x)/x клони към k+a, където –ε

Коши доказва също теоремата в случая k= и след това прилага тези резултати, за да докаже, че ако x стане достатъчно голямо, то logx/x клони към 0 и че a^x/x (a>1) има граница .

Означението “стрелка” в общ контекст е въведено от Лакроа (1800), но в ръцете на Коши то става мощното средство, което познаваме днес.

По-голямата част от границите, изучавани през XVIII век са били едностранни. Означението “lim” дължим на С. Люлие (1786), а математиците от XIX век, включително и Вайерщрас, се задоволяват с изрази от вида на .

През 1905г. математикът от Кеймбридж Дж. Лийтън предлага употребата на означението .

• 
  Лайбниц (1684) : Ако предполагаме, че всеки непрекъснат преход завършва в някаква граница, то е възможно да формираме общо разсъждение, което да обхваща също и окончателната граница.
  
• 
  Нютон (1687) : Крайното частно на преходните величини ... са границите, към които частните на величините, които намаляват безгранично, винаги клонят и към които се стремят по-близко, отколкото всяка зададена разлика, но никога не отиват отвъд тях, нито дори ги достигат, докато величините не се анулират.
  
• 
  Маклорен (1742) : Отношението на 2x+0 към α непрекъснато намалява, когато 0 намалява и е винаги по-голямо от отношението на 2x към α, когато 0 е всяко произволно реално нарастване, но е очевидно, че непрекъснато се стреми към частното 2x към α като към негова граница.
  
• 
  Даламбер (1754): Частното [ a: 2y+z] е винаги по-малко от a : 2y +z, но колкото по-малко става z , толкова по-голямо става отношението и тъй като можем да изберем z произволно малко, отношението a : 2y + z може да бъде направено толкова близко до отношението a: 2y, колкото искаме. Следователно, a :2y е граница на отношението a :2y + z.
  
• 
  Силвестър Лакроа (1806) : Границата на частното (u₁-u)/h… е числото, към което това частно се стреми, когато величината h намалява неограничено, и до която може да се доближи толкова близо, колкото поискаме.
  
• 
  Коши (1821) : Ако последователните стойности, приписани на една и съща променлива се доближават неограничено до определено число, така че най-накрая да се различават от него толкова малко, колкото поискаме, то това число се нарича тяхна граница.
  

Когато Ойлер или Лагранж използвали термина “непрекъсната функция”, те са мислели за функция, зададена с единствен аналитичен израз: “непрекъснатостта значи непрекъснатост на алгебричната форма”.

Давайки дефиницията за граница, Коши е можел вече да дефинира фундаменталното понятие за непрекъснатост. Да припомним, че според Ойлер непрекъсната функция е тази, която е изразена с единствен аналитичен израз, докато прекъсването представлява изразяване с различни изрази в различните части на дефиниционната област. Коши съобразява, че тази дефиниция е противоречива. Например функция f(x) , която се равнява на x за положителни стойности, и на –x за отрицателни стойности, би трябвало да има прекъсване, следвайки дефиницията на Ойлер. От друга страна, тази функция може да се запише с единствен аналитичен израз: , така че f(x) е непрекъсната.

Геометричното понятие за непрекъсната крива като за крива без късания, е общо взето разбрано, но Коши иска да намери аналитична дефиниция, изразяваща тази идея за функции. Лагранж се е опитал по-рано да даде такава дефиниция в частният случай на функция “непрекъсната в 0”, която има стойност 0 там: “ние можем винаги да намерим някоя абсциса h, съответна на ордината, по-малка от всяко дадено число, и тогава всички по-малки стойности на h съответстват също на ординати, по-малки от даденото число”.

Запознавайки се с работата на Лагранж, Коши обобщава неговата идея и дава своята собствена нова дефиниция: “Между две зададени стойности на променливата x функцията f(x) ще бъде непрекъсната функция на тази променлива, ако за всяка стойност на x между тези граници, числената (абсолютната) стойност на разликата f(x+a)-f(x) намалява неограничено заедно с а. С други думи, функцията f(x) ще остава непрекъсната по отношение на x между дадени стойности, ако между тези стойности, безкрайно малко изменение на променливата винаги предизвиква безкрайно малко изменение на самата функция”. Да отбележим, че Коши представя както аритметичната дефиниция за непрекъснатост, така и дефиницията, използваща по-познатия език на безкрайно малките величини. Но тъй като Коши вече е дефинирал такива величини в термините на граници, двете дефиниции означават едно и също нещо. Коши демонстрира как се използват дефинициите за обосноваване, че функцията sin x е непрекъсната (във всеки интервал). Това следва от равенството sin(x+a)-sinx=2sinacos(x+a) и е ясно, че дясната страна намалява неограничено заедно с а.

Интересно е да се отбележи, че Бернхард Болцано(1781-1848), чешки математик, също запознат с работата на Лагранж, е дал няколко години по-рано дефиниция за непрекъснатост, която фактически е идентична с тази на Коши. Болцано е планирал да докаже строго теоремата за междинните стойности “че между всеки две стойности на неизвестна величина, които дават резултати с различен знак [при заместване в непрекъсната функция f(x)] трябва винаги да има поне един реален корен на уравнението [f(x)=0]”. За това той е трябвало да даде ясна дефиниция за типа на функциите, за които теоремата е в сила.

За разлика от други автори, даващи дефиниция за непрекъснатост в термините на нематематически понятия като време и движение, Болцано е дал своята, както той я нарича “правилна дефиниция” : “Функция се изменя по непрекъснат закон, за всички стойности на x в или извън някакви граници, ако [когато] x е някоя такава стойност, разликата f(x+ω)-f(x) може да бъде направена по-малка от всяко дадено число, при условие, че ω може да бъде взето толкова малко, колкото поискаме”.

Въпреки, че тези дефиниции са много близки, няма убедително свидетелство, че Коши е чел работата на Болцано, докато е работил върху своята собствена дефиниция. Вероятно и двамата са искали да дадат дефиниция, от която да следват някои “очевидни” резултати, и са достигнали до (по същество) една и съща идея.

От съвременна гледна точка, нито един от тях не е дал дефиниция за непрекъснатост в точка. И двамата дефинират понятието непрекъснатост в интервал. Ясно е обаче, че всяка от тези дефиниции може да се схваща като дефиниция за непрекъснатост във всяка точка на разглеждания интервал. Именно, при зададена стойност x и избрано ε>0, може да се намери и δ>0, така че за всяко α<δ. Както ще се изясни от следващата глава, Коши не е бил напълно наясно от какво зависи δ. Тази липса на яснота ще го доведе до неверни резултати.

След като дава в началото на учебника си дефиниция за непрекъснатост, Коши продължава в Лекция 3 с дефиниция на производна на функция (наричана от него fonction derivee). Тя представлява границата [f(x+i)-f(x)]/i, където i клони към 0, при условие, че тази граница съществува. Точно както при дефиницията си за непрекъснатост, Коши дава дефиниция за производна в интервал, при това в интервала, където f е непрекъсната. Той отбелязва, че горната граница има определена стойност за всяко x, затова тя представлява нова функция на независимата променлива – функция, за която използва означението на Лагранж f’(x). Самата дефиниция може да се схваща като частно на безкрайно малки нараствания, както в работите на Ойлер. Всъщност тя е взета директно от една глава в “Аналитични функции” на Лагранж, в която Лагранж като фрагмент от представянето на f като степенен ред, показва, че f(x+i)=f(x) + i.f’(x)+i.V, където V клони към 0 заедно с i. Коши успява да преобразува тази теорема за производни в дефиниция на производна. След това той пресмята производните на няколко елементарни функции. Например, ако f(x)=sin x, частното от дефиницията добива вида . Вижда се, че границата f’(x) е cos x.

Разликата между непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал не е изяснена в работите на Коши. В доказателството си за интегруемост на непрекъсната функция (1823), Коши предполага непре-къснатост, но използва равномерна непрекъснатост.

Дирихле в своите лекции в Берлин (1854) доказва, че функция, непрекъсната в затворен интервал, е равномерно непрекъсната. Първото доказателство, в контекста на разглежданията на Вайерщрас, е публикувано от Е. Хайне в 1872 г.

• 
  Ойлер (1784): Непрекъсната крива е тази, чиито вид може да се изрази с единствена функция на x. Ако крива е от такъв вид, че за изразяването на различни части ... са необходими различни функции ..., то наричаме такава крива прекъсната.
  
• 
  Болцано (1817): Функция се изменя по непрекъснат закон, за всички стойности на x в или извън някакви граници, ако [когато] x е някоя такава стойност, разликата f(x+ω)-f(x) може да бъде направена по-малка от всяко дадено число, при условие, че ω може да бъде взето толкова малко, колкото поискаме.
  
• 
  Коши (1821): Функцията f(x) ще бъде, между две определени стойности на променливата x, непрекъсната функция на тази променлива, ако за всяка стойност на x между тези граници, [абсолютната] стойност на разликата f(x+a)-f(x) намалява неограничено заедно с а.
  
• 
  Дирихле (1837): Мислим за a и b като за две фиксирани стойности и за x като за променлива величина, която може да приема всички стойности, лежащи между a и b. Сега, ако на всяко x съответства единствено, крайно y по такъв начин, че когато x преминава непрекъснато през интервала от a до b, y=f(x) също се изменя постепенно, тогава y се нарича непрекъсната функция на x в този интервал.
  
• 
  Хайне (1872): Функция е непрекъсната в избрана стойност x от X, ако за всяко зададено число ε, колкото и малко да е то, съществува положително число η_o със свойството, че за всяко положително η, което е по-малко от η_o, абсолютната стойност на f(Xη)-f(X) не превишава ε. Функция f(x) е непрекъсната от x=a до x=b, ако за всяка отделна стойност x от X между x=a и x=b, включително x=a и x=b, тя е непрекъсната.
  

Финалното прецизиране на понятието граница извършено от Вайерщрас с неговата чисто аритметична формулировка. В предишните дефиниции се крие смисълът на понятието непрекъснато движение: казваме, че , ако f(x) се стреми към L, когато x се стреми към α.