Изследване на бифуркацията на динамични рискови технически системи николай Петров, Красимир Йорджев, Станчо Павлов

Изтегляне 89.76 Kb.

Дата	13.01.2018
Размер	89.76 Kb.
	#44848

ИЗСЛЕДВАНЕ НА БИФУРКАЦИЯТА НА ДИНАМИЧНИ РИСКОВИ

ТЕХНИЧЕСКИ СИСТЕМИ

Николай Петров, Красимир Йорджев, Станчо Павлов
Analysis of the behavior of the dynamic risks technical systems: The report shows the applicability of the theory of bifurcation in analyzing the behavior of dynamic risk technical systems in modification of their parameters.

Key words: dynamic technical systems

1. ВЪВЕДЕНИЕ

При изследване на динамичните рискови технически системи изучаването на свойствата на решенията на диференциалното уравнение изисква, на първо място, да се оцени пълното множество от решения, и на второ място - да се анализират техните свойства. В случай, че получената система диференциални уравнения е линейна или стационарна, това не е трудно, а когато тя е нелинейна, то е възможно да се построи пълно множество от решения за уравнения от втори порядък, а дори и от трети и по-висок порядък (само при решения на частни задачи).

В много случаи (според А. Пуанкаре) е необходимо определено количество информация с качествен характер, която е важна за изучаване на конкретни динамични рискови технически системи (РТС).

Целта на настоящата работа е да се анализира поведението на една динамична рискова техническа система при промяна на описващите я параметри. Преустройството на качествената картина на движението на тази система при изме-нение на параметрите и, се нарича бифуркация (раздвояване).

АНАЛИЗ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ДИНАМИЧНИ РИСКОВИ ТЕХНИЧЕСКИ СИСТЕМИ

2.1. Изследване на диференцируемата функция f : R→R

Разглеждаме диференцируемата функция f : R→R и я разлагаме в ред на Тейлор в околностите на някоя точка x_O

f (x_{O +}x) = a_O+ a₁x+ a₂x²+ …..

(1)

Представянето на такъв ред е полезно само ако той се спуска в някаква околност U_X_o и сумата от него е равна на f(x_O₊x). В този случай f(x) се нарича аналитична в точката x_O.

Диференцираме този ред в някаква малка околност V_X_oи неговите коефициенти са равни на

a_i = ,

(2)

където

= .

(3)

Приемаме Mⁿ Rⁿ означаваме с N^m R^m – гладки многообразия, имащи някакво изображение f : Mⁿ → N^m.
2.2. Допълнителни условия

а) Изображението f е от диференцируем клас k и се описва по следния начин:

f C^k(Mⁿ, N^m),

когато всяка от функциите f_i(x), i = е k пъти диференцируема от веществената функция на Mⁿ;

б) изображението f е (веществено) аналитично и се означава с

f C^ω(Mⁿ, N^m),

когато всяка от функциите f_i(x), i = е аналитична, т.е. може да бъде разложена в сходящ ред на Тейлор;

в) изображението f е гладко (или безкрайно диференцируемо, или принадлежащо на клас С^∞) и го означаваме с

f С^∞(Mⁿ, N^m),

когато за всяко неотрицателно k изображение f е от диференцируем клас С^k. Правилно е да се прибави:

C^ω С^∞ .... С^l С⁰.

2.3. Изследване на функцията f(x) = sin x

Функцията f(x) = sin x е аналитична, т.е.

f(x) C^ω(R,[-1,1])

и нейният ред на Тейлър има вида

sin x =

(4)

Графичният израз на получаваните полиномиални функции при ограничение до първите k члена (k ≤ 13) е показан на фигура 1.

Фиг. 1. Сечение на реда на Тейлор за аналитичната функция у = sin x
На фигурата с цифри е означен броят на членовете на разлагане и отчетливо се вижда сходимостта на реда на Тейлор.

От една страна, близо до началото на координатната система приближението е много силно. С нарастване на броя на членовете на разлагането интервалът, за който точността на приближение се подобрява, също расте. По това аналитичните функции принципно се различават от другите (гладките) функции.

От друга страна, далече от началото на координатната система приближе-нието е много слабо, даже и при значителен брой членове на разлагане.

За гладките функции редът на Тейлор може да се отдалечава или да се приближава, но не към тази сума.

2.4. Изследване на изображението f С^∞(R, R)

Разглеждаме изображението f С^∞(R, R),

f(x) =

0, x = 0,

, x ≠ 0.

Дадената функция има вида (фиг. 2):

Фиг. 2. Изображение на гладката функция f(x) =

Получава се, че за всяко k

= 0

Ако приемем за k = 1, то получаваме

= 2.

= ….= 0.

Полученият резултат потвърждава, че функцията е много „плоска” близо до началото на координатната система. При това тя, в сравнение с всеки едночлен x^j, j = 3, 5, 7, ….. е „по-плоска”.

Тъй като = 0 за всяко k, то редът на Тейлор близо до началото на координатната система има вида

0 + 0x² + 0x³ + …… .

(5)

Този ред се приближава, но не към f(x), а към f(x) = 0, тоест функцията е гладка, но не аналитична.

R₀(x) = f(x₀ + x) – (a₀ + a₁x + ….+ a_kx^k)

при k→ ∞ е основен инструмент за приближения.

От качествена гледна точка, редът на Тейлор (5), дори и да не се приближава към f(x), отлично доближава тази функция в началото на координатната система. Той ясно отчита, че f е много плоска в нулата, но не отчита, че началото има локален минимум за f .

За всяка гладка функция fC^ω(R, R) определяме реда на Тейлор първоначално като формален ред

f(x) =

(6)

За целта въвеждаме ограничение само за членове със степени, не по-високи от k, получаваме k -струя.

k-струята на гладката функция f C^ω(R, R) в точката x_о (означението ) наричаме пресечен ред на Тейлор на дадената функция в околностите на точката x_о, т.е.

= .

(7)

Въвеждаме замяна на променливите y = x–x₀ и преминаваме от функцията f(x) към функцията (y), а именно

f(x) = f (x (y)) = f (y + x_о) = (y),

(8)

и получаваме

(9)

Поради това, без намаляване на общността, точка x_о може да се приема за начало на координатната система и по-нататък ще считаме, че x₀ = 0, а израза (8) ще запишем в следния вид:

= .

(10)

Определянето на израза (10) за k-струята не е строго математически, а е представяне на k- струята в някаква координатна система; в случая това са координатите x⁰, x¹, x²,…., x^k.

Точното определение се дава в безкоординатна форма, но винаги ще разглеждаме k- струята в някакво координатно представяне, поради което израза (10) приемаме за определение.

Пресеченият ред на Тейлор (10) представлява многочлен, задаващ полиномиалните функции

: R → R ,

(11)

независимо от това, дали се приближава или не до ред на Тейлор.

Степен на едночлена (полинома) е сумата от степените на всички променливи, влизащи в дадения едночлен, а степен на многочлена (полинома) p(x) е най-високата от степените на едночлените, влизащи в дадения многочлен. В случай, когато x R¹, степента на многочлена определя най-високата степен на променливата x.

Порядък на многочлена (полинома) p(x) е най-ниската от степените на едночлените, влизащи в дадения многочлен. За xR¹ порядъкът на многочлена определя най- ниската степен на променливата x.

В началото на координатната система, тоест в точка х₀ = 0, функцията f : R→R има порядък k, ако

f(0) =

.......=

(12)

Ако

(х) е многочлен от степен k, то многочленът

(х)-

(х) има порядък k+1, т.е. i-тите производни в нулата за

(х) и

(х) съвпадат за i =

;

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С този труд авторите считат, че:

редът на Тейлор и неговото пресичане във вид на k- струя е удобно формално средство за получаване на информация за производните на функцията f и за нейната форма близо до началото на координатната система (х₀ = 0);
приложеният подход е много подходящ при анализиране на поведението на динамични рискови технически системи при изменение на техните параметри.

ЛИТЕРАТУРА

Euler L., Methodes Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes (Appendix, de Curvis Elasticis)q Lausanne and Geneva: Marcum Michaelum Bousquet,1744.
Golubitsky M., Schaeffe D., A Theory for Imperfect Bifurcation via Singularity Theory, Commun. Pure Appl. Math., 32, 21-98 (1979).
Roorda J., Stability of Structures with Small Imperfections, J. Eng. Mech. Div. Am. Soc. Civil Eng., 91,87 (1965).
Thompson J.M. T., Hunt G. W., A General Theory of Elastic Stability, New York: Wiley, 1973.
Thompson J.M. T., Hunt G. W., Dangers of Structural Optimization, Eng. Optimization, 1, 99-110 (1974).
Thompson J.M. T., Hunt G. W., Towards a Unified Bifurcation Theory, J. Appl. Math. Phys., 26, 581-603(1975).
Петров Н., Ив. Лазаров. Анализ на поведението на динамични рискови системи. Международна конференция ,,Еко Варна”, 2011.

За контакти:

проф. д.т.н. инж. Николай Иванов Петров, Технически университет – София, ИПФ – Сливен;
доц. д-р инж. Красимир Йорджев – ЮЗУ ,,Неофит Рилски”, катедра ,,Математика”
гл.ас. Станчо Павлов – Университет ,,Проф. Асен Златаров” – Бургас.

Каталог: Science -> NikiPetrov
NikiPetrov -> Рокфелер и ротшилд се съюзяват
Science -> Научни резултати постигнати при разработването на изследователски проекти, финансирани от му – София
NikiPetrov -> Триумфът на,,спутник” – сергей корольов или вернер фон браун
NikiPetrov -> Анализ на техническия ресурс на елементи от система за електрохимичен процес красимира Ангелова, Станчо Павлов
Science -> Патенти за изобретения и други документи за защита на интелектуална собственост
Science -> „Чалгизирането” на българската култура
Science -> Одобрявам министър: /проф. С. Игнатов
NikiPetrov -> Лекция и упражнение по Електрохимични методи в тгс и ресурсно изследване на техните елементи

Изтегляне 89.76 Kb.

Сподели с приятели: