Изследване върху напреженията и деформациите в разномодулна греда

Цел на работата е да се получат:

• 
  аналитични изрази за преместванията в стъпа­ловидна греда, подложена на чисто огъване;
  
• 
  числени решения в разномодулна и равномодулна греда със съставено от правоъгълници напречно сечение и сравняването им;
  
• 
  уравнения на еластичната линия на гредата, както и зависимости за пресмятане на напреженията.
  

Резулатите са илюстрирани с числен пример.

Разглежда се греда, натоварена с огъващи моменти, успоредни на , лежащи на равнината (фиг. 1). В рамките на първи и втори участък натоварването е постоянно:

Напреженията в разномодулна стъпаловидна греда имат вида:

където

Като се използва алгоритъмът за получаване на преместванията в цитирания източник, за компонентите на преместванията за двата участъка имаме изразите:

където:

Ако модулите на Юнг и коефициентите на Поасон са еднакви при опън и натиск, имаме равномодулна греда. За нея компонентите на еластичните премествания са:

Разглежда се разномодулна греда с дължината , натоварена с огъващ момент и размери на напречното сечение , , и (фиг. 2). Материалът на гредата има следните физико-механични характеристики при опън и натиск

Напречното сечение е симетрично спрямо вертикалнатa ос, поради което се изследват преместванията в точки от лявата част на гредата. Резултатите от изчислението според (11) и при са дадени в таблици 1 и 2. В пър­вата са преместванията в свободния край на гредата, а във втората са преместванията на горните и долни нишки на гредата, минаващи през точки 7 и 9 от сечение .

Премествания в точки от сечение в разномодулна греда

точка
Множител
дименсия
1	0,19	0	-0,7055
2	-0.15	0	-0,7064
3	0,176	0	-0,7061
4	-0,136	0	-0,7067
5	0	0	-0,709
6	0	0	-0,709
7	0,19	-0,25	-0,7063
9	-0,15	-0,243	-0,711

Таблица 2.

точки
	0,25	О,5	0,75	1,0
Точка 7	-0,0420	-0,175	-0,397	-0,706
Точка 9	-0,047	-0,18	-0,401	-0,711

По данни от горните таблици са построени диаграми на преместванията (фиг. 4 и фиг. 5).

Фиг. 4. Диаграма на преместванията в точки от напречно сечение В	Фиг. 5. Диаграма на преместванията на горни и долни нишки на гредата

Премествания в точки от сечение в равномодулна греда

точка
Множител
дименсия
1	0,153	0	-0,5945
7	0,143	-0,117	-0,599
5	0	0	-0,5977

Преместванията в лявата страна на напречното сечение са означени с плътна линия, когато гредата е разно­модулна, и с пунктир, когато тя е равномодулна (фиг. 4). Най-голямата разлика между стойностите на премества­нията е 15,9 %.

От таблиците се забелязва, че преместването за точка 7 от сечение В в двете греди се различава с 15,2%. За преместването в точките 7 и 9 в разномодулната греда разликата е 0,66%. В точка 1 преместването в разно­модулната греда е завишено с 15,7% спрямо същото в равномодулна греда.

Заключение

Получените общи изрази на еластичните премествания се отнасят за стъпаловидни греди, чиито материал е раз­номодулен и изотропен. Сравнявайки числените резултати забелязваме, че неотчитането на разномодул-ността може да доведе до съществени грешки при оразмеряването на тези греди.

Амбарцумян С. А., Разномодульная теория упругости, М. Наука, 1982, 320с.

Иванчев З., Чисто огъване на греди от разномодулен ортогонално анизотропен материал, Известия на ВМЕИ, С. , 1972, стр. 97-101.

Трифонова-Генова В. М., Еластични премествания в разно­модулна греда с променливо сечение, Доклади на научна конференция „Актуални проблеми на сигурността” НВУ „Васил Левски” , 13-14.11.2014.