Karklisiyska, P. Quasi-metric regularity обобщени са понятието „метрична регулярност”

на публикациите, представени от д-р Петя Николова Кърклисийска

за участие в конкурса за доцент по 01.01.04 Математически анализ

Karklisiyska, P. QUASI-METRIC REGULARITY
Обобщени са понятието „метрична регулярност” на изображение в банахово пространство и свързаната с него теорема на Люстерник – Грейвс, която показва, че за диференцируемо по Фреше изображение F с непрекъсната производна DF(x) в точка х е в сила равенството regF(xy) = regDF(xy) (F е метрично регулярно тогава и само тогава, когато DF(x) е сюрективна). За реални функции в произволно топологично векторно пространство аналогична характеристика се гради върху доказаното в дисертацията на автора свойство „линейна отвореност” (локална сюрективност) на локално липшицова функция със сюрективни субградиенти.

В част І се дефинира свойството „квазиметрична регулярност” на реална функция, което в нормирано пространство съвпада с метричната регулярност. Доказана е еквивалентността му с линейната отвореност на функцията и с липшицово свойство (свойство на Обен) на обратното многозначно изображение. Показано е е, че освен линейните функции, тези свойства притежават и сублинейните функции.

Основният резултат на част ІІ е доказаните неравенства между три величини: въведения модул на квазиметрична регулярност на локално липшицова функция, този на нейната обобщена производна по Кларк и точната горна граница на модулите на нейните субградиенти в една точка. От него в частност се получава характеристика за гладка функция (локално липшицова функция с единствен субградиент), когато са в сила равенства. Така необходимо и достатъчно условие за квазиметрична регулярност на строго диференцируема функция е сюрективността на нейната производна – следствие на този факт е теоремата на Люстерник – Грейвс за реална функция в банахово пространство. Общият резултат е интерпретиран геометрически с доказаните релации между външния тангентен конус към множеството f ^-1(f(a)) за разглежданата функция и множествата сечение и обединение на ядрата на нейните субградиенти. За гладка функция тези множества съвпадат.

В част ІІІ се разглежда решение на нелинейното уравнение f(y) = f(a) от вида

Накрая се доказва, че за конструиране на локално решение на разглежданото уравнение е приложим обобщеният метод на Нютон – Канторович. Оценките за област и скорост на сходимост подлежат на прецизиране в зависимост от избора на хиперравнина за продължение на решението.

Конструирано е продължение f ^S на такава функция със запазване на липшицовото свойство върху цялото пространство Е, когато то е локално изпъкнало. Методът е традиционен – с непрекъсната полунорма р (функционал на Минковски за уравновесена изпъкнала нулева околност), която в нормирано пространство е кратно на нормата. Когато дефиниционното множество S на функцията f е затворено, продължението f ^S е определено само от функционалните стойности в граничните точки на S.

Съществуващата връзка между f ^S и обичайното продължение с +∞ извън S за елиминиране на ограниченията в оптимизационните задачи предопределя и аналогия по отношение достигането на оптимум. Доказано е, че ако f достига глобален минимум върху S в точка x₀ , то x₀ е точка на глобален минимум и за продължението f ^S в Е. Когато минимумът е локален, твърдението е вярно при допълнителни условия. Обратно, ако f ^S достига глобален (локален) минимум в точка x₀ на Е, то от доказаното равенство inf {p(y- x₀)y елемент на S } = 0 при затворено подмножество S на банахово пространство следва, че x₀ е точка на глобален (локален) минимум за функцията f върху S.

В последната част, посветена на обобщения градиент на липшицовото продължение f ^S, е получена връзка между обобщените градиенти на продължения с различни полунорми. Основният резултат са две релации:

Доказано е, че една функция е локално липшицова тогава и само тогава, когато е р – липшицова по посока h = 0, а оттук и по всяка произволно избрана посока. Съществен е фактът, че всяка р – липшицова по посока функции е субдиференциално правилна, т.е. субпроизводната по посока в дадена точка х съвпада с обобщената производна на Кларк в тази точка. В доказателството му е конструиран функционал, за който затворената обвивка на епиграфа съвпада с тангентния конус към епиграфа на р – липшицовата по посока функция f в точката (x, f (x).

За да се сравни изучаваният клас функции с известния клас „липшицови по посока” функции, въведени от Рокафелар, е формулирано еквивалентно описание на последния със съответни на използвания метод термини. От него е направен извод, че

р – липшицовите по посока функции са липшицови по посока и по смисъла на Рокафелар.

П. Кърклисийска


Karklisiyska, P. LIPSCHITZIAN MAPPINGS IN TOPOLOGICAL VECTOR SPACES

Статията представя обзор на изследванията върху изображения с липшицово поведение в произволни векторни пространства. За да се компенсира липсата на норма се развива идеята на Льобур за дефиниране на това свойство с изискване за локална компактност.

В първата част е дефинирано липшицово свойство за многозначни изображения, което съвпада със свойството на Обен за такива изображения в банахови пространства. Негови частни случаи са локално липшицовите реални функции, както и техните обратни изображения в точките със сюрективни субградиенти. Доказаните резултати обобщават основни теореми в гладкия анализ.

Във втората част е описано липшицово свойство по посока. Доказано е съществена характеристика (тангенциално условие) на функциите от разглеждания клас и той е съпоставен с класа на липшицовите по посока функции на Рокафелар.

Теоретичният материал е онагледен с решени примери. Освен тях са включени 325 задачи с отговори и упътвания за самостоятелна работа.

Теоретичният материал е онагледен с решени примери. Освен тях в учебника са включени 399 задачи с отговори и упътвания за самостоятелна работа.

Всяка една от петте глави представлява въведение в съответния дял на математическата наука - функция на комплексна променлива, хармоничен анализ, операционно смятане, частни диференциални уравнения и теория на вероятностите. Всички изучавани понятия и методи са илюстрирани с решени примери. Освен тях са включени 171 задачи с отговори за самостоятелна работа.