Конструиране на неутрални портфейли от ценни книжа акад. Иван Попчев ч

Делта неутралността защитава срещу малки движения на цените на акциите между ребалансирането, а гама неутралността защитава срещу големи движения на цените между делта-хедж ребалансиране. Следователно да се направи корекция за тази промяна в делта, количество от стоящия в основата актив, равно на тази сума, трябва или да бъде закупено, или продадено, за да се поддържа неутралност на делта.

Понятието рискова неутралност е свързано с инвестиция, която има нулев риск за движението на цените на активите, която поради арбитражни съображения трябва да има същата доходност като безрискова доходност (например облигация).

Основният модел, който се използва за оценка на опциите, е моделът на Black-Scholes (Black-Scholes pricing formula). Но за да се прилага този модел, е необходимо да бъдат направени две основни предположения, а именно, че безрисковият лихвен процент и промяната на цените на акциите са постоянни във времето на съществуване на опцията. Математически разглежданият модел има следния вид:

C = S [N (d₁)] – Xe^-rt[N (d₂)], (1)

d₁ = ln(S/X) + [r + (σ²/2)] t, (2)

σ√t

d₂ = d₁ – σ√t, (3)

където:

Р - текущата стойност на пут опция;

S - текущата цена на базовия актив;

t - срокът до падежа на опцията в години;

Х - цената на упражняване;

r - безрисковият лихвен процент;

σ - стандартното отклонение на нормата на възвръщаемост на акциите;

N(d) - вероятността един случаен опит върху стандартното нормално разпределение да има стойност по-малка от d;

ln - функцията натурален логаритъм;

e - основата на натурална логаритмична функция (2,7183) [8], [9], [17].

В областта на финансовата математика „гръцките букви” са количествени измерители на пазарната чувствителност на опциите или на други дериватни инструменти. Всеки от тях измерва различни аспекти на риска на една опционна позиция и съответно кореспондира с определени параметри, които са свързани със стойноста на оценявания инструмент или на портфейла от инструменти [3], [12], [20].

За изчисляването на коефициентите на чувствителност се използват следните математически формули:

А. При определянето на коефициента Delta:

delta δ_c = N(d₁) (5)

delta δ_p = N(d₁)-1 (6)
Б. При определянето на коефициента Gamma:

gamma (7)

gamma (8)

(9)
В. При определянето на коефициента Vega:

vega_c = SN’(d₁)√t (10)

vega_p = SN’(d₁)√t (11)
Г. При определянето на коефициента Theta:

(12)

(13)
Д. При определянето на коефициента Rho:

ρ_c = Xte^-rt N(d₂) (14)

ρ_p = Xte^-rt N(-d₂) (15)
Разработени са и други подобни калкулатори за анализиране чувствителността на дериватите. Black-Scholes калкулатор е софтуерна програма, която е свързана с определяне на цената на опции по базовия модел на Black-Scholes, както и с изчисляване на коефициентите на чувствителност. Той е разработен на Excel и съдържа входни параметри, които се задават като стойност от потребителя. На базаta на тях се определят стойността на разглежданата опция и коефициентите на чувствителност. Този калкулатор е един от най-лесните за приложение и се използва много често като спомагателен при различни по-сложни софтуерни продукти [16].
2. Практически примери

За да се проследи как nа практика се използва Option Pricing Calculator by Peter Hoadley, са разгледани отделни примери за изчисляване на коефициенти на чувствителност и са анализирани резултатите, които са получени в зависимост от промяната на определени входни параметри. За целта като измерители са използвани коефициентите на чувствителност.

Таблица 1. Входни данни

1. Цена на акция	81
2. Цена на упражняване	80
3. Дата на падежа	60 дни
4. Стандартно отклонение	30 %
5. Безрисков лихвен процент	6 %

На базата на посочените входни параметри и използвайки опционния калкулатор на Peter Hoadley, се получават следните изходни данни (вж. таблица 2).

Таблица 2. Резултати

Кол опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho	Позиция
4,842	0,596	0,039	-0,039	0,127	0,072	In the money

Пример 2. Анализира се пут опция на базата на цената на базовия актив, като за измерител е използван коефициентът делта. Входните данни са дадени в таблица 3.

Таблица 3. Входни данни

1. Цена на акция	131
2. Цена на упражняване	120
3. Дата на падежа	90 дни
4. Стандартно отклонение	25 %
5. Безрисков лихвен процент	5 %

На базата на посочените входящи параметри и използвайки опционният калкулатор на Peter Hoadley, се получават следните изходни данни (вж. таблица 4).

Таблица 4. Резултати

Пут опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho	Позиция
1,838	-0,193	0,017	-0,021	0,180	-0,066	Out the money

Пример 3. Анализира се пут опция на базата на стандартното отклонение и като за измерител е използван коефициентът гама. Входните данни са дадени в таблица 5.

Таблица 5. Входни данни

1. Цена на акция	93
2. Цена на упражняване	90
3. Дата на падежа	60 дни
4. Стандартно отклонение	20 %
5. Безрисков лихвен процент	7 %

На базата на посочените входящи параметри и използвайки опционният калкулатор на Peter Hoadley, се получават следните изходни данни (вж. таблица 6).

Таблица 6. Резултати

Пут опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho	Позиция
1,356	-0,279	0,045	-0,016	0,128	-0,044	Out the money

Пример 4. Анализира се кол опция на базата на датата по падежа, като за измерител се използва коефициентът тета. Входните данни са дадени в таблица 7.

Таблица 7 - Входни данни:

1. Цена на акция	73
2. Цена на упражняване	60
3. Дата на падежа	60 дни
4. Стандартно отклонение	30 %
5. Безрисков лихвен процент	6 %

На базата на посочените входни параметри и използвайки опционния калкулатор на Peter Hoadley, се получават следните изходни данни (вж. таблица 8).

Таблица 8. Резултати

Кол опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho	Позиция
13,738	0,960	0,010	-0,016	0,027	0,093	In the money

Пример 5. Анализира се кол опция на базата на цената на упражняване на опцията, като за измерител е използван коефициентът ро. Входните данни са дадени в таблица 9.

Таблица 9. Входни данни

1. Цена на акция	84
2. Цена на упражняване	80
3. Дата на падежа	90 дни
4. Стандартно отклонение	15 %
5. Безрисков лихвен процент	6 %

На базата на посочените входящи параметри и използвайки опционния калкулатор на Peter Hoadley, се получават следните изходни данни (вж. таблица 10).

Таблица 10. Резултати

Кол опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho	Позиция
5,837	0,814	0,043	-0,020	0,114	0,155	In the money

На базата на получените резултати от разгледаните примери могат да се направят следните изводи:

1. 
   Коефициентът Delta има max стойност при по-ниска стойност на базовата акция и, разбира се, най-висока цена на опцията и min стойност - за опция с най-ниска цена.
   
2. 
   Коефициентът Gamma има max стойност при средна стойност на базовата акция и, разбира се, най-ниска цена на опцията и min стойност - за опция с най-висока цена.
   
3. 
   Коефициентът Theta има max стойност при най-ниска стойност на базовата акция и, разбира се, най-висока цена на опцията и min стойност - за опция със средна цена.
   
4. 
   Коефициентът Vega има max стойност при най-голяма стойност на базовата акция и при сравнително ниска цена на опцията и min стойност - за опция с най-висока цена и висока стойност на стандартното отклонение.
   
5. 
   Коефициентът Rho има max стойност при по-ниска стойност на базовата акция и при сравнително висока цена на опцията и min стойност - за опция с най-голяма цена на базовата акция и най-ниска стойност на безрисковия лихвен процент.
   

При дадените величини в таблица 11 е необходимо да се определи стойността на кол, респ. пут опцията и да се анализира чувствителността им.

Таблица 11. Входни данни

1. Цена на акция	130
2. Цена на упражняване	140
3. Дата на падежа	1 год.
4. Стандартно отклонение	30 %
5. Безрисков лихвен процент	5 %

На базата на посочените входни параметри и използвайки опционният калкулатор на Black-Scholes, се получават следните изходни данни (вж. таблица 12).

Таблица 12. Резултати

Кол опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho
14,15	0,5278	0,0102	-0,0287	0,5174	0,5445

Пут опция
Цена на опцията	Delta	Gamma	Theta	Vega	Rho
17,33	-0,4722	0,0102	-0,0105	0,5178	-0,7872

ІІ. Конструиране и анализиране на неутрални портфейли от ценни книжа

1. 
   Конструиране на делта неутрален портфейл
   

Ако инвеститор притежава портфейл от ценни книжа с коефициент делта – Δ_P1. В него желаем да включим позиция от акции и така се конструира нов портфейл – P₂ = w_sS, който всъщност трябва да бъде делта неутрален. При такъв случай коефициентът делта на втория портфейл ще бъде Δ_P2 = w_sΔ_s = w_s.

На базаta на разгледания пример нека да предположим, че стойността на портфейла ще нарастне чрез продажбата на акции – w_s = -Δ_P1. Следователно
ΔP = Δ_P1 + Δ_P2 = 0, (16)
Основната насока за използването на делта неутрални позиции е свързана със създаването на експозия от опционните рискове, без да се отчита влиянието на прекия риск. Следователно покупката на кол опция може да доведе до реализирането на печалба, ако степента на променливост се повиши значително. Промяната на стойността на делта (Δ) на позицията в зависимост от пазарните промени е характеристика за делта неутрална позиция, базирана на дългосрочна опционна позиция. Съответно пазарните прамени се отразяват негативно на за делта неутрална позиция, базирана на краткосрочна опционна експозиция.

Практически един делта неутрален портфейл се изгражда по следния начин:

w₁Δ₁ + w₂Δ₂ = 0 => w₁/w₂ = - Δ₂/Δ₁ (17)

• 
  закупуване на 1 акция (Δ₁ = 1)
  
• 
  продажба на 2 кол опции (Δ₂ = 0,5)
  

• 
  закупуване на 6 кол опции (Δ₁ = 0,75)
  
• 
  продажба на 5 кол опции (Δ₂ = 0,91)
  

• 
  закупуване на 86 кол опции (Δ₁ = 0,52)
  
• 
  закупуване на 100 пут опции (Δ₂ = -0,45)
  

За да видим как на практика се прилагат посочените модели за конструиране на делта неутрален портфейл, се разглежда един пример. Инвестиционно дружество притежава портфейл от ценни книжа и решава да продаде 10 европейски кол опции, конструирани на база на акция. Във връзка с това то желае да хеджира своя портфейл, така че неговата стойноста да не бъде чувствителна спрямо малките промени на цените на акциите, т.е. това означава стойността на коефициента делта на портфейла да бъде равна на 0. Също така желае да направи портфейла самофинансиращ се. Всъщност това означава в портфейла да бъдат включени нетни инвестиции на стойност от $ 0, което става чрез създаването на дългосрочни или краткосрочни позиции на различни ценни книжа [19].

За да се конструира делта неутрален портфейл, първо трябва да бъде създадена делта неутрална позиция (таблица 13 и таблица 14).

Таблица 13. Входни данни - част А

1. Цена на акция	50
2. Цена на упражняване	50
3. Дата на падежа	65 дни
4. Стандартно отклонение*	25 %
5. Норма на дисконтиране**	6 %

* Приема се, че годината има 365 дни.

** Приема се, че годината има 360 дни.
Таблица 14. Резултати - част В

Цена на опция
Стойност на опцията	Delta	Gamma	Vega	Theta
2,3740	0,5620	0,0747	8,3158	-0,0203

Тъй като инвестиционното дружество е решило до продаде 10 кол опции, които са издадени на базата на m_s дяла от акция, както и B безрискови облигации. При продажбата на 10 кол опции (всеки договор се състои от 100 дяла) се получава:

10 х (100 х $ 2,3740) = $ 2374

И така се приема първоначалната стойност на портфейла за равна на нула:

• 
  2374 + m_s50 + B = 0
  

Delta_p = -10 x (100 x 0,5620) + m_s = 0

m_s = 562

B = 2374 – 562 x 50 = - $ 25 726
Ако се анализира разглежданият пример, се получават следните резултати:

• 
  Продават се 10 кол опции и се получава $ 2374.
  
• 
  Купуват се 562 дяла от акция на стойност от $ 28 100.
  
• 
  Остатъка от направената инвестиция е $ 25 726 (= 28 100 - 2374).
  
• 
  Нетната стойност на портфейла, както и стойността на коефициента делта са равни на 0.
  

В практиката се използва и т.нар. гама хеджиране. При него процесът на делта неутралното хеджиране е свързано с риска на коефициента гама (Г). Този коефициент измерва чувствителността на Δ в зависимост от големи промени на стойността на S. За хеджиране с коефициента гама (Г) се използва следната формула:

Конструирането на гама неутрални портфейли на практика става по следния начин. Инвеститор притежава една акция и кол опция на стойност от -5,1917 с цена на упражняване от X=100, друга кол опция на стойност от 5,0251 при цена на упражняване от X=100.

Δ_P = 1 + [-5,1917 x 0,6151] + [5,0251 x 0,4365] = 0

Г_P = 0 + [-5,1917 x 0,0181] + [5,0251 x 0,0187] = 0

3. 
   Конструиране на вега неутрален портфейл
   

За целите на анализа се конструира един вега неутрален портфейл чрез хеджиране. Използват се следните базови данни (вж. таблица 15).

Коефициент	Кол опция 1	Кол опция 2	Акция
Делта	Δcall1 = 0,6	Δcall2 = 0,6	Δstock = 1,0
Гама	Гcall1 = 0,5	Гcall2 = 0,7	Гstock = 0,0
Вега	vegacall1 = 1,5	vegacall2 = 1,2	vegastock = 0,0

При наличието на тези данни, всъщност се анализира портфейл, който се състои от две различни кол опции и 1 акция.

По условие Δ_call1 = 0,6, има 1 краткосрочен кол договор (100 дяла) и дългосрочни 60 дяла от акцията. И така, във връзка с това е необходимо да се преизчислят стойностите на разглежданите коефициенти, а именно:

- делта = 60(1) – 100 (0,60) = 0 (неутрална позиция)

- гама = 60(0) – 100 (0,50) = -50 (рискова позиция)

- вега = 60(0) – 100 (1,50) = -150 (рискова позиция)
II-ри случай: Използване на гама-вега неутралитет

Във връзка с това е необходимо закупуването на 50 кол опции № 2, за да се получи гама-неутралитет:

• 
  гама = -50 (от I случай) + 50(1) (кол опция № 2) = 0
  

Следователно трябва да се продадат 35, акции за да се елиминира делта експозицията:

• 
  новата стойност на гама = 0 = 0 – 35 (0)
  
• 
  новата стойност на делта = 0 = 35 – 35(1)
  

1. 
   15 акции;
   
2. 
   100 краткосрочни кол опции №,1;
   
3. 
   50 дългосрочни кол опции № 2.
   

Съществува и друг тип хеджиране и съответно начинът за конструиране на неутрални портфейли е комбинация от делта и вега (v) хеджиране.

За практическото прилагане на модела за конструиране на неутрални портфейли е разгледан следният пример. Анализира се опция при цена на упражняване от $ 100 и дата на упражняване след 100 дни, текущата цена на базовата акция е също $ 100, стандартното отклонение е 15 % годишно, а стойността на безрисковия лихвен процент е 5 %. Издадени са 100 такива кол опции. Стойността на всяка от тези опции, определена по модела на Black-Scholes, е $ 3,8375, така че стойността на целия портфейл от тези 100 опции е $ 383.75. Като се използват базови параметри, се определя стойността на коефициента делта, която е равна на 0,5846. С N е посочен броят на дяловете от базовата акция, върху която е издадена опцията, а M е стойността на безрисковия актив. Във връзка с това е проследено как се конструира делта неутрален портфейл.

Първо, трябва да се реши следното уравнение:

-100 x [Δ] + N = 0 (19)

Следователно за целите на анализирания портфейл се получава:

N x 100 + M = 383 = 75.

След решаването на двете уравнения се получават следните стойности за N = 58,46 , а за M = -5462,25. Следователно 100 опции трябва да бъдат продадени на обща стойност от $ 383,75 и трябва да бъдат закупени 58,46 дяла от акцията. За целта трябва да бъде взет заем от $ 5462,25 при годишна лихва от 5 %. Стойността на портфейла ще бъде 0, ако този портфейл се самофинансира. Тук интерес представлява какво ще се случи със стойността на портфейла, ако има три различни равнища на цените на акцията. След като се заемат $ 5462,25, то лихвените плащания възлизат на:

$ 5462,25 x 0,05/365 = $ 0,748.

Следователно стойността на портфейла в период t+1, ще се определи по следния начин:

V(t + 1) = 58,46 x S(t + 1) – 100 x C(t + 1) – (5462,25 + 0,748),

където:

В таблица 16 са обобщени данните за стойността на конструирания делта неутрален портфейл.

Както се вижда от резултатите, стойността на делта неутралния портфейл не е 0, защото разглежданите цени на базовата акция не се различават съществено от първоначалната стойност от $ 100. За да стане стойността на портфейла 0, е нужно да се направят допълнителни изчисления и анализи. Във връзка с това е необходимо да бъде продаден 1 опционен договор, N2 са дяловете на втората опция, а N3 са дяловете на акцията, а М е безрисковият актив. Текущите стойности на разглежданите опции са съответно C(1) и c(2), респективно стойността на акцията е S(t). Цената на упражняване на опцията е $ 100, а времето до падежа е 150 дни. Следователно стойностите на двете опции са съответно C(1) = $ 3,8375 и C(2) = $ 4,898. Стойностите на коефициентите делта и гама за двете опции са съответно:

1. 
   За делта на портфейла равно на 0 имаме:
   

2. 
   За гама на портфейла равно на 0 имаме:
   

3. 
   При самофинансиращ се портфейл имаме:
   

След като се решат посочените три уравнения, се получават следните стойности: N2 = 82,59, N3 = 8,64 и M= $ 884,96. Следователно 82,59 дяла от първата и 8,64 дяла от втората опция трябва да бъдат закупени и съответно да бъдат заети $ 884,96. Таблица 17 показва стойността на делта-вега неутрален портфейл.

Използването на делта- вега хеджирането създава условия за по-добро управление на портфейла и конструиране на неутрални портфейли. Предимството на този тип хеджиране се състои в това, че се използват две опции. Също така трябва да се отбележи, че опционните пазари са ликвидни в по-малка степен, отколкото пазарите на базовите активи, като например акции. Чрез включването на втора опция като средство за хеджиране се намалява рискът, свързан със с степента на променливост [13].

Много често се използва и комбинация от гама и вега (v) хеджиране. При такива случай при промяна на стойността на σ ще се промени и стойността на Δ. Коефициентът вега (v) измерва чувствителността на цената на опцията в зависимост от σ. За да се използва комбинацията от гама и вега (v) хеджиране, допълнително трябва да бъдат включени още два актива в разглеждания портфейл.

Анализира се следният пример:

• 
  Актив - Δ неутрален портфейл; Г = -5000; v = -8000.
  
• 
  1 опция с параметри – Δ = 0,6; Г = 0,5; v = 2,0.
  
• 
  Друга опция с параметри - Δ = 0,5 Г = 0,8; v = 1,2.
  
• 
  Портфейл, състоящ се от 3240 актива, 400 дяла от опция 1 и 6000 дяла от другата опция. Съответно стойностите на портфейла за са равни на 0.
  

С помощта на софтуерния продукт MATLAB е конструиран и анализиран един делта-гама-вега неутрален портфейл [31]. Разгледан е портфейл от 4 опции. Входните данни са посочени в таблица 18.

Таблица 18. Входни параметри

Цена на базов актив	Цена на упражняване	Време до падежа – в години	Стандартно отклонение	Стойност на дивидента	Вид опция
100 000	100	0,2	0,3	0	Кол
119 100	125	0,2	0,2	0,025	Пут
87 200	85	0,1	0,23	0	Кол
301 125	315	0,5	0,25	0,0333	Пут

Годишният безрисков лихвен процент е 10 %, а арбитражната стойност на портфейла е $17 000.

След разписването на алгоритъма и проиграването на модела чрез MATLAB се получават следните изходни данни за отделните опции в портфейла (вж. таблица 19).

Таблица 19. Резултати:

Опция	Цена на опцията	Делта	Гама	Вега
1	6,3441	0,5856	0,0290	17,4293
2	6,6035	-0,6255	0,0353	20,0347
3	4,2993	0,7003	0,0548	9,5837
4	22,7694	-0,4830	0,0074	83,5225

А за портфейла като цяло изходните данни са следните (вж. таблица 20).

Таблица 20. Данни за портфейла:

Стойност на портфейла	$ 17 000,00
Делта на портфейла	0,00
Гама на портфейла	-0,00
Вега на портфейла	0,00

На базата на разгледания пример за хеджиране чрез делта-гама-вега неутрален портфейл се установи, че тази техника за хеджиране е ефективна само за малки промени в стойностите на базовите променливи.

С помощта на следния пример се проследява как се конструира портфейл от различни ценни книжа и съответно как се хеджира с цел намаляване на риска. Даден е портфейл, който се състои от 8 ценни книжа – 2 облигации, 1 опция, издадена върху облигации, 1 суап и 4 други типа дериватни инструменти. Базовите данни за тях са посочени в таблица 21.

Таблица 21. Входнни параметри

На базата на посочените входни параметри чрез използването на вградената функция (targetSens) са определени стойностите на коефициентите делта, гама и вега за целия портфейл – таблица 22.

Таблица 22. Резултати

	Делта	Гама	Вега
Портфейл	-61 910,22	78 846,21	4852,91

Следващата стъпка е преминаване към намаляване на разходите по управлението на разглеждания портфейл и минимизиране на риска. Използва се в случая вградената функция в МATLAB – hedgeopt. Във връзка с това е необходимо да се хеджира портфейлът. Първото предположение, което трябва да се направи, е свързано с факта, че делът на всяка от ценните книжа и стойността на коефициентите на чувствителност на портфейла остават непроменени. Изчислената очаквана стойност на портфейла е равна на 0. За да се проследи дали разходите по управлението на портфейла ще намалеят, трябва да се определят две стойности на портфейла – Value 0 и Value 1. Value 0 е стойността преди хеджирането на портфейла, а Value 1 е стойността след пребалансирането му. След тяхното изчисляване получените стойности се сравняват и ако разликата между тях е 0, това означава, че управляваният портфейл е хеджиран ефективно. Следователно при проиграване на модела се получават следните стойности - за Value 0 = 23 674,62 и за Value 1 = 23 674,62, и разликата е 0. Това може да се използва и като начин за проверка на стойността на портфейла.

На базата на посочените вече входни параметри са проследени резултатите, които ще се получат при частично хеджиране на портфейла. За тази цел се променя делът на следните инструменти от портфейла, а именно 2, 3 и 6. Останалите позиции в портфейла остават с непроменени дялове (1, 4, 5, 7 и 8). Следователно промяната на относителните дялове на посочените позиции ще промени и стойностите на коефициентите на чувствителност на портфейла като цяло. При наличието на тези входни параметри чрез прилагането на алгоритъма чрез MATLAB се получават следните стойности:

	Делта	Гама	Вега
Портфейл	-23 000	-3300	3000

Проследява се и как ще се промени стойността на портфейла, ако се хеджира изцяло. Следователно в такъв случай коефициентите на чувствителност на портфейла трябва да приемат стойности 0, за да стане портфейлът неутрален. При такива случай отново се използва вградената функция в МATLAB – hedgeopt. За да се получат тези стойности, трябва да се промени делът на някои позиции в разглеждания портфейл, а именно: за втората позиция той става (-182,36), за третата – (19,55) и за шестата – (-32,97). При използването на вече променените дялове на позициите стойността на портфейла е равна на $ 23 055,90. Новата стойност на портфейла Value 1= 618,72.

МATLAB дава възможност и за построяването на графики, чрез които може да се проследи процесът на минимизиране на стойностите на чувствителността на портфейла. Във връзка с това може да бъде построена границата на стойностите на портфейла и така да се проследи как тя се е променяла. Предполага се, че максималната стойност на портфейла е $ 50 000 и така се построява граница за стойностите на управлявания портфейл, като се започне от $ 0 до $ 50 000. Чрез използване на вградените функции в МATLAB за построяване на графики на фигура 1 е илюстрирана границата на портфейла.

ІV.Основни изводи

При наличието на портфейли с голям брой активи може да се прилага комбинация от делта и гама хеджиране. Много често в практиката банките се стремят да поддържат портфейли, изцяло конструирани от деривати. Регулярно се изчисляват стойностите на делта, гама и вега на портфейла. Основната цел е поддържането на делта неутрален портфейл през цялото време. За разлика от него поддържането на гама и вега неутрален портфейл е много трудно, тъй като разходите за търговия са обвързани с вида на търгуваните деривати. Ако обаче стойностите им се отклоняват твърде съществено от нула, тогава портфейлът се нуждае от пребалансиране. Следователно, ако портфейлът не е неутрален, тогава банката трябва да се разпореди за замяната на едни деривати от портфейла с други, за да се намалят експозициите на текущия риск.

1. 
   Русинов, В. Н., Финансовый рынок – инструменты и методы прогнозирования, изд. „УРСС”, Москва, 2000.
   
2. 
   Фабоцци, Ф., Управление инвестициями, изд. „Инфра-М”, Москва, 2000.
   
3. 
   Bittman, J., Consider Your Options : How to Repair Broken Stocks, 2000.
   
4. 
   Das, S., Notes on Monte Carlo Methods for Pricing Derivatives, Santa Clara University.
   
5. 
   Duan, J., Monte Carlo Methods for Derivatives, 2002.
   
6. 
   Elliott, R., P. Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer, New York, 1999.
   
7. 
   Freeman, R., Finding a Cure for Financial Derivatives: The Market Cancer, 1993.
   
8. 
   Haug, E., The Complete Guide to Option Pricing Formulas, McGraw – Hill, Tempus Financial Engineering AS, 2000.
   
9. 
   Hull, J., Options, Futures, and Other Derivative Securities, Second ed., Prentice – Hall, Inc, 1993.
   
10. 
    Gibson, R., H. Zimmermann, The Benefits and Risks of Derivative Instruments, Switzerland, 1994.
    
11. 
    Horowitz, D., R. Mackay, Derivatives: State of Debate, 1995.
    
12. 
    Lehmann, B., The Greeks, Copyright, 2000-2003.
    
13. 
    Levent, Jony C., A. Kearney, Identifying, Measuring and Hedging Currency Risk at Merck, 1991.
    
14. 
    Miloge, S., Makivic, Numerical Pricing of Derivative Claims: Path Integral Monte Carlo Approach, 1994.
    
15. 
    Popchev,I., N. Velinova. Application of Monte Carlo Simulation in Pricing of Options - Cybernetics and Information Technologies, No 2, vol.3, 2003.
    
16. 
    Popchev, I., N. Velinova, Software Programs and Problems at Investing with Options - Cybernetics and Information Technologies, vol. 2, 2001.
    
17. 
    Rose, P., Money and Capital Markets, Sixth ed., Irwin, USA, 1997.
    
18. 
    Siems, T., 10 Myths about Financial Derivatives, 1997.
    
19. 
    Strong, R., Portfolio Construction, Management, and Protection, Second ed., South – Western College Publishing, 2000.
    
20. 
    Wiener, Zvi, Financial Risk Management, Chapter 14, USA, 2001.
    
21. 
    www.hoadley.net
    
22. 
    www.riskglossary.com
    
23. 
    www.cboe.com
    
24. 
    www.cbe.wwu.edu
    
25. 
    finance.wat.ch
    
26. 
    www.phlx.com
    
27. 
    www.academicpress.com
    
28. 
    www.aaii.com
    
29. 
    www.npac.syr.edu
    
30. 
    www.cnbc.com
    
31. 
    www.mathworks.com