Курсова работа по математика Комбинаторика Изготвил

Комбинаториката е раздел от елементарната математика, предметът на който е пресмятането на броя на елементите на дадено крайно множество.

1. 
   Правило за събиране.
   

б) Правило за умножение.

Ако елементът “а,, може да бъде избран по “m,, начина и при всеки избор на “а,, елементът “б,, може да бъде избран по “n,, начина, то изборът на наредената двойка (а,б) може да стане по “m . n,, начинa. Правилото за умножение може да се обобщи за намиране броя на наредени тройки обекти, наредени четворки обекти.


2.Пермутации на N–елемента

а) Определение и примери.

Пермутации от N–елемента се наричат такива съединения, във всяко от които влизат всички дадени елементи и се различават само по реда на елементите. Броят на всички възможни начини на подреждане на

N–елементи т.е. броя на пермутациите от N–елемента се означава с “Pn,

б)Формула за броя на пермутациите...P n =1.2.3.4….. (n - 1) n

Произведението 1.2.3....(n - 1). n е прието да се означава с „n!” и се чете ен факториел

Р_n = n! 0! =1

Пример: По колко различни начина могат на се подредят 7 души в кръг за хоро?

Решение: Р₇ = 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040


3.Вариации от N–елемента к-ти клас.

а)Определение и примери.

Вариациите без повторение на “n,, елемента от к-ти клас (кПример: В дисциплината троен скок на световното първенство по лека атлетика участват 8 съзтезателки. По колко различни начина могат да се разпределят златният, сребърният и бронзовият метал, ако се знае, че представителката на България със сигурност ще вземе златният медал?
Решение : V₇² = 7.6 = 42
б) Формула за броя на вариациите .

Броя на различните вариации от “n,, елемента от к - ти клас се означава с V _n ^k .

V _n ^k = n. (n - 1). (n - 2)…. n - (k - 1) т-е броя на вариациите без повторение от “n ,, елемента от к-ти клас е :
V _n ^k =n. (n - 1). (n - 2)…(n – k + 1)

От определенията на пермутациите и вариациите следва че пермутациите на “n,, елемента могат да се разглеждат като вариации от “n,, елемента от

“n,, - ти клас.

n. (n-1) … (n-k+1) = V _n ^k=^n! / _(n-k)! ; к < = n

а) Определение и примери

Комбинации без повторение от n-елемента от к-ти се наричат такива съединения всяко от които съдържа по “к,, различни елемента от дадените

“n,, и се различават едно от друго с поне 1 елемент.

С₂₀³ = 20.19.18/1.2.3 = 1140

С₁₅² = 15.14/1.2 = 105

С₂₀³. С₁₅² = 105.1140 = 119700 начина

Броят на различните комбинации без повторение от n-елемента от к-ти клас се означава с C _n ^k .

Броя на комбинациите от n-елемента от к-ти клас е :
C _n ^k= V _n ^k/P _k=^{n. ( n – 1 ). ( n – 2 )… (n -k+1)}/_{к ( к – 1 ) ….3.2.1}

5. Вероятности .

а)Определение и примери.

При провеждане на някакъв експеримент ( опит ), който може да бъде както реален, така и абстрактен, се случват събития, който могат да бъдат множества от възможните изходи или събития.

Съвкупността от всички възможни изходи се нарича пространство. Подмножествата на пространството се наричат събития.

Ако се знае, че след даде опит събитието ще настъпи, то се нарича сигурно ( достоверно ) събитие .

Ако след един опит се разбере, че събитието няма да настъпи то се нарича невъзможно събитие.

Ако събитията не могат даа се предвидят се наричат случайни.

В заобикалащият ни свят има много явления и събития, които са взаимно свързани и могат да се предвидят. Изучаването на закономерностите на случайните събития е предмет на математическата наука „Теорията на вероятоностите”.

В теорията на вероятоностите събитие ще наричаме резултатът от произведен опит или наблюдение след осъществяване на някакви условия. *Ако две събития настъпват едновременно, то те се наричат съвместими.

*Ако две събития не могат да настъпят едновременно, то те се наричат несъвместими.

*Ако при един опит непременно настъпва едно от събитията Е1, Е2,….Е n, които са две по две несъвместими, и друго събитие не може да се появи, каззваме, че тези събития са всичките възможни случеи ( елементарни събития ) – т.е. това е пълна система от несъвместими събития.

*Ако едно събитие А има n несъвместими събития и а подразделя на m частни събития (m < n ), казваме, че тези m събития са благоприятни случаи на събитието.

Вероятност за настъпването на едно събитие А наричаме отношението на броя m на благоприятните случаи на А към броя n на всички възможни случаи.

Следва че:

Р (А) = m / n = брой на благоприятните случаи / общ брой случаи

0 < = p(A) < = 1

При p(А)=0 събирането А е невъзможно.

При p(А)=1 събирането А е сигурно.

При 0

Пример: В едно училище учат 400 ученици. От тях 48 са отличници по всички предмети, а 160 са отличници, но не по всичко. Намерете каква е вероятността първия срещнат ученик от това училище

Да се окаже пълен отличник (събитие А) и да се окаже отличник но не по всичко ( събитие Б).

р(А) = 48/400 = 0,12, р(Б) = 160/400 = 0,40

б)Събиране на вероятностти.

Ако имаме събития А и B то тяхното обединение (сбор) на събитията

А и B и се бележи с А u B. Ако събитията А и B немогат да настъпят едновременно то те се състоят от различни екементарни събития.Такива събития се наричат несъвместими.От тук следва ако събитията А и B са несъвместими. n (A u B) = n (A) + n (B)

C₈²=8.7/1.2=28

4. При участия в играта ,,6 от 49”на Спортния тотализатор играчите попълват фиш с 6 числа от 1 до 49.Колко различни фиша могат да бъдат попълнени?

Решение.Тъй като редът на попълването на числата в един фиш няма значение,то свеки фиш е една комбинация на 49 елемента от 6-ти клас.съгласно формулата броят на различните фишове е

C49/6=49.48.47.46.45.44=49.47.46.3.44=13 983 816.

5. Колко 10-цифрени числа могат да се състоят,като всяка цифра се използва веднъж?

P₉=n! = 9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9=362880

P₁₀ - P₉=3628800-362880=3265920

6.Фирма предлага нов модел автомобили с вазможности за избор на пет различни цвята,три типа двигател и два вида трансмисии.Колко различни модификации има този модел? (5,3,2)=5.3.2=30 вида

а)4 елемента б)5 елемента в)7 елемента

б) P₅=n! = 5! = 1.2.3.4.5=120

в) P₇=n! = 7! = 1.2.3.4.5.6.7=5040
8.Колко различни знамена могат да се направят с цветовете бяло,зелено и червено,разположени в три хоризонтални ивици?
Vn²= Vn³=3. (3-1)(3-2)(3-3+1)=3.2.1.1=6
9. Пресметнете броя на комбинациите:
а) C₂⁵=5.4/1.2=20/2=10

б) C₁₀³=10.9.8/1.2.3=120

в) C₅⁵=5.4.3.2.1/1.2.3.4.5=1

г) C₆¹=6/1=6

д) C₆⁶=6.5.4.3.2.1/1.2.3.4.5.6=1
10. При играта белот се раздават по 8 карти от 32 .Каква е вероятността при едно раздаване играч да получи 4 валета?
C ₂₈⁴/C₃₂⁸≈28.27.26.25/4! // 32.31.30.29.28.27.26.25/8! ≈0, 0019
11. Каква е вероятноста при игра на белот играч да получи кварта? Тоест четри поредни карти от един вид(спатии,кари,купи или пики)?
4.5.С₂₄⁴/С₃₂⁸≈4.5.24.23.22.21/4! // 32.31.30.29.28.27.26.25/8! ≈ 0, 02
12.От колода с 52 карти са истеглени 3 карти .Каква е вероятността те да са 3, 7, А?
4³/С₅₂³≈64 // 52.51.20/1.2.3≈ 0,0029

13. Кое от събитията е най вероятно:

голямо А-в играта 6 от 49 да се улучи 6

голямо В-в играта 6 от 42 да се улучи 6

голямо С-в играта 5 от 35 да се улучи 5?
Р(А)=1/С₄₉⁶=1 // 49.48.47.46.45.44/6! = 0, 0000007
Р(В)=1/С₄₂⁶=1 // 42.41.40.39.38.37/6!=720/44,77= 0,000001
Р(С)=1/С₃₅⁵=1 // 35.34.33.32.31/5!=0,000003
Р(А) < Р(В) < Р(С)
14. Колко са възможните комбинации в играта “5 от 35 на спортния тотализатор?

C₃₅⁵=35.34.33.32.31/5!=324632