Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
Изтегляне 2.89 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Координатни условия за колинеарност и компланарност на вектори
- Афинно пространство
- Проекция на вектор върху ос
Афинни координатиНека V е векторно пространство. Избираме n линейно независими вектора e1, e2, ..., en V, такива че всеки вектор a V може да се представи като a1.e1+a2.e2+…+an.en; тогава К = { e1, e2, ..., en } се нарича векторна база на векторното пространство V. От паралелната дефиниция за линейно независими вектори числата a1, a2,…, an са единствени за вектора a. Тази наредена n-торка числа се нарича (афинни) координати на a спрямо векторната база К; съответствието между координати на вектор спрямо дадена векторна база и самият вектор е взаимноеднозначно. Нека а = 1.b1 + 2.b2 + … + s.bs; Фиксирана е векторна база K (е1, е2, ...,еn) в която векторът a има координати (a1, a2, …, an), т.е a = a1.e1+a2.e2+…+an.en, а векторът bi (i = 1, 2,…, s) има координати (b1i, b2i, …, bni), т.е. bi = b1i.e1 + b2i.e2 + … + bni.en. Тогава:
аi = (1.bi1 + 2.bi2 + … + s.bis) за 1 i n i – тата координата на a е същата линейна комбинация от i-тите координати на b. Координатите на линейна комбинация от вектори са равни на същата линейна комбинация от координатите на векторите.
Нека имаме база К { e1, е2 } във V2. Дадени са два вектора a (a1, a2) и b (b1, b2) с координати спрямо К. Тогава: a, b - колинеарни .a + .b = o , (, ) (0, 0) a1 a2 = 0 b1 b2
a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3) и c (c1, c2, c3) с координати спрямо К. Тогава: a, b, c - компланарни .a + .b + .c = o , (, , ) (0, 0, 0) a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0 c1 c2 c3 M (m) + g O e Нека върху оста g да фиксираме т. O и ненулев вектор e с начало в т. О; на т. М можем еднозначно да съпоставим вектора OM (m), където m е такова, че ОМ = me. Числото m наричаме координата на точката m спрямо К. При тези дефиниции сме фиксирали К { O, e } – афинна координатна система върху правата g; т. О се нарича начало на координатната система (К). Векторът ОМ се нарича радиус-вектор на точката М. М е2 О е1
В равнината фиксираме т. О и два неколинеарни вектора е1 и е2, т.е. фиксирали сме афинна координатна система К { O, e1, e2 }; на т. М съответства радиус-векторът ОМ = .е1 + .е2; т.е. на ОМ съответстват и ; т. М има координати , спрямо К. М е3 е2 О е1 В пространството фиксираме т.О и три некомпланарни вектора е1, е2 и е3; казваме, че сме фиксирали афинна координатна система К { O, e1, e2, e3 }; на т. М съответства радиус-векторът ОМ = .е1 + .е2 + .е3; т.е. на ОМ съответстват , и , а на т.М – координати , и спрямо К.
Нека е дадено множество А = { A, B, …}, елементите на което са наречени точки. Дадени са:
При тези условия множеството А се нарича афинно пространство. Права g в афинното пространство: взимаме една фиксирана т. О А, един фиксиран вектор e V и разглеждаме всички точки М А, такива че ОМ = .е; казваме, че тези точки образуват права g: { O, e } Равнина в афинното пространство: взимаме една фиксирана т. О А, два неколинеарни вектора е1 и е2 и разглеждаме всички точки М А, такива че ОМ = .е1 + .е2; казваме, че тези точки образуват равнина : { O, e1, e2 }
N
N1 g m n Нека са дадени насочена отсечка MN, права g и равнина , която не е успоредна на g. През точка М може да се прекара единствена равнина успоредна на - това е равнината m; нека m пресича g в точка М1; казваме, че М1 е проекция на точка М върху правата g, успоредна на . Аналогично N1 e проекция на точка N върху правата g, успоредна на . М1N1 e проекция на насочената отсечка MN върху правата g, успоредна на . В частност ако g, говорим за ортогонална проекция. Ако g e ос, говорим за проекция върху ос. Ако а има представител AB и проекцията на AB върху g е A1B1, която е представител на а1, говорим че а1 е проекция на а върху g, успоредна на . Афинните операции се запазват при проектиране: Ако c = a + b, то c1 = a1 + b1 Ако b = .a, то b1 = .a1 Алгебрична проекция на вектор върху ос – това е алгебричната мярка на проекцията на даден вектор върху дадена ос |