Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
Изтегляне 2.89 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Координатно представяне на скаларно произведение
- Смяна на координатна система
16 октомври
Скаларно произведение на геометрични вектори: ако a и b са геометрични вектори, тогава: a . b = |a|.|b|.cos( a, b ) Ако а или b е нулевият вектор, тогава скаларното произведение е равно на 0. Скаларното произведение съпоставя на всеки два вектора едно число. Скаларното произведение на два вектора a и b е произведението на алгебричната проекция на a върху ос, еднопосочно ориентирана с b, и дължината на b. a . b = пр.аb |b| a . b = пр.ba |a| Свойства на скаларното произведение:
Доказателство на 1: чрез определението за проекциите и чрез свойствата на проекциите Косинусът на ъгъла между a и b e равен на: a . b / (|a|.|b|) Дължината на един вектор |a| = a 2 a b a . b = 0 (за a, b o ) Евклидово пространство. Нека V е векторно пространство. Нека на всеки два вектора a и b да съпоставим число, което ще означаваме a . b и ще наричаме скаларно произведение; за него да важат горните четири свойства; такова векторно пространство ще наричаме евклидово пространство (векторно пространство с въведено скаларно произведение). Нека А е афинно пространство, V е евклидово пространство. Тогава ако на всеки две точки от А сме съпоставили вектор от евклидовото пространство V, вместо от векторно пространство казваме, че А е точково евклидово пространство. В евклидовото пространство можем да дефинираме ъгъл между два ненулеви вектора и дължина на вектор; именно: |a| = a 2 a . b cos = |a|.|b|
a . b / (|a|.|b|) трябва да е в интервала (–1, 1); Нека x R и c е вектор от V, такъв че c = x . a + b; повдигаме на квадрат двете страни: c 2 = ( x . a + b )2 c 2 = x2 . a 2 + 2 . x . a . b + b 2; тъй като лявата част е 0 за всеки вектор c за всяко x R дясната част е 0, но a 2 > 0 дискриминантата D = ( а . b )2 – a 2 . b 2 0 ( a . b )2 a 2 . b 2 |a . b| |a|.|b| - ъгълът е коректно дефиниран Горните дефиниции позволяват да дефинираме ортогоналност на два ненулеви вектора: a и b са ортогонални ( a b ), ако косинусът на ъгъла между тях е 0 Нека е дадена векторна база K = { e1, e2, ..., en }. Базата К е ортонормирана, ако са изпълнени следните две условия:
По същия начин се дефинира ортономирана координатна система К = { O, e1, e2, ..., en }.
Нека имаме векторна база К = { e1, e2, e3 }. Дадени са два вектора a (a1, a2, a3) и b (b1, b2, b3); Тогава:
a1b1e1 2 + a2b2e2 2 + a3b3e3 2 + ( a1b2 + a2b1 ) . e1 . e2 + ( a2b3 + a3b2 ) . e2 . e3 + ( a1b3 + a3b1 ) . e1 . e3
a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 |a|= a12 + a22 + a32; cos ( a, b ) = (a1b1 + a2b2 + a3b3)/ a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32; Ако М (m1, m2, m3) и N (n1, n2, n3) са две точки при фиксирана ортонормирана координатна система К = { O, e1, e2, e3 }, тогава: |MN| = (m1 – n1)2 + (m2 – n2)2 + (m3 – n3)2 Нека К е ортонормирана координатна система К = { O, e1, e2, e3 }; Даден е вектор а (а1, а2, а3); Тогава: а = а1.е1 + а2.е2 + а3.е3 |.e1 a . e1 = a1 Вижда се, че i-тата координата на един вектор а е скаларното му произведение с еi. Ако a (а1, а2, а3) е единичен вектор, тогава а12 + а22 + а32 = 1. Освен това: а1 = |a|.|e1|. cos ( a, e1 ) = cos ( a, e1 ); а2 = |a|.|e2|. cos ( a, e2 ) = cos ( a, e2 ); а3 = |a|.|e3|. cos ( a, e3 ) = cos ( a, e3 );
Нека в равнината имаме две фиксирани координатни системи: К = { O, e1, e2 } и К = { O, e1, e2 } е2 О
е1 е2 О Фиксираме вектор p в равнината. Спрямо двете координатни системи p има координати: p ( p1, p2 ) = p1.e1 + p2.e2 p ( p1, p2 ) = p1.e1 + p2.e2 Нека e1 = 11.e1 + 21.e2 e2 = 12.e1 + 22.e2 Тогава: p1.e1 + p2.e2 = p1 ( 11.e1 + 21.e2 ) + p2 ( 12.e1 + 22.e2 ) Тъй като e1 и e2 са линейно независими p1 = p1.11 + p2.12 p2 = p1.21 + p2.22
|