Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия

23 октомври

е₁

О

е₂

е₂

О

Нека имаме точка М и две фиксирани координатни системи

радиус-векторът OM (x, y);

Спрямо К - М има координати x, y, т.е. фиксиран е

радиус-векторът OM (x, y);

Нека спрямо К точката О има координати (x₀, y₀); т.е нека фиксираме векторът ОО (x₀, y₀);
Tогава спрямо К:
ОМ = OO + OM = OM - OO = (x – x₀, y – y₀);

Ако C = (_ij) e матрица на прехода от К в К, тогава:

y = y₀ + ₂₁.x + ₂₂.y

1. Смяна на ортонормирани координатни системи

Нека са дадени две ортонормирани бази К { е₁, е₂ } и К { е₁, е₂ };

Ако C = (_ij) е матрицата на прехода от К в К, тогава имаме:

e₁ = ₁₁.e₁ + ₂₁.e₂

e₂ = ₁₂.e₁ + ₂₂.e₂

Ако повдигнем на квадрат получаваме:

₁₁² + ₂₁² = 1 (1)

₁₂² + ₂₂² = 1 (2)

Ако умножим скаларно e₁ и e₂ получаваме:

₁₁.₁₂ + ₂₁.₂₂ = 0 (3)

От (2)  можем да изберем ъгъл , такъв че ₁₂ = sin, ₂₂ = cos;

Като използваме (3) получаваме, че  +  = k.; тогава:

₁₂ = - .sin, ₂₂ = .cos ( = 1);

Матрицата на прехода C е ортогонална (удоволетворява (1), (2) и (3), освен това detC =  = 1);
C =

cos, - .sin

sin, .cos

1. Ориентация в равнината

Нека са дадени две векторни бази К { е₁, е₂ } и К { е₁, е₂ }; матрицата на прехода от К в К е C = (_ij); освен това detC  0

Казваме, че К и К са противоположно ориентирани тогава и само тогава, когато detC < 0;

Проверка дали релацията “еднакво ориентирани” е релация на еквивалентност:
Нека К  К; Тогава матрицата на прехода C е:

C = 1 0

0 1 , detC = 1 > 0; т.е. всяка база е еднакво ориентирана със себе си (рефлексивност);
Лесно се доказва свойството симетричност (ако К е еднакво ориентирана с К, то К е еднакво ориентирана с К – получава се, че матрицата на прехода от К в К има детерминанта 1/detC)
Нека сега имаме три координатни системи К, К, К; матрицата на прехода от К в К е C; матрицата на прехода от K в К е C₁; матрицата на прехода от К в К е C₂; тогава:

C₂ = C.C₁ и detC₂ = detC.detC₁; ако detC и detC₁ са положителни, тогава detC₂ също е положително (транзитивност);

C = 0 1

1 0 , detC = -1 < 0; т.е. съществува противоположно ориентирана база на К.
Доказаното по-горе ни позволява да фиксираме база К в равнината и всички останали бази да ги разделим на два класа: еднакво ориентирани с К и противоположно ориентирани с К; тези два класа наричаме посоки на въртене в равнината.
Насочен ъгъл – нека е даден ъгъл с начало т. О и два лъча p^ и q^; казваме, че ъгълът е насочен (ориентиран), ако единият лъч (p^) е избран за първи, а другият (q^) е избран за втори;

1. Смяна на координатна система в пространството

Дадени са две координатни системи:

К = { O, e₁, e₂, e₃ } и К = { O, e₁, e₂, e₃ };

e₁ = ₁₁.e₁ + ₂₁.e₂ + ₃₁.e₃

e₂ = ₁₂.e₁ + ₂₂.e₂ + ₃₂.e₃

e₃ = ₁₃.e₁ + ₂₃.e₂ + ₃₃.e₃

Oсвен това т.О има координати (x₀, y₀, z₀) спрямо К.
Взимаме един вектор p, който има координати (p₁, p₂, p₃) спрямо К и (p₁, p₂, p₃) спрямо К. Тогава:
p₁ = ₁₁.p₁ + ₁₂.p₂ + ₁₃.p₃

p₂ = ₂₁.p₁ + ₂₂.p₂ + ₂₃.p₃

p₃ = ₃₁.p₁ + ₃₂.p₂ + ₃₃.p₃
Матрицата C = (_ij) е матрица на прехода; detC  0, тъй като базисните вектори на К са линейно независими;
Нека имаме точка М с координати x, y, z спрямо К и x, y, z спрямо К; тогава радиус-векторът ОМ има координати x – x₀, y – y₀, z – z₀ спрямо К. Получаваме:

x = x₀ + ₁₁.x + ₁₂.y + ₁₃.z

y = y₀ + ₂₁.x + ₂₂.y + ₂₃.z

z = z₀ + ₃₁.x + ₃₂.y + ₃₃.z

1. Ориентация в пространството

Нека са дадени две векторни бази К { е₁, е₂, е₃ } и К { е₁, е₂, е₃ }; матрицата на прехода от К в К е C = (_ij); освен това detC  0

Казваме, че К и К са противоположно ориентирани тогава и само тогава, когато detC < 0;

Проверка дали релацията “еднакво ориентирани” е релация на еквивалентност:
Нека К  К; Тогава матрицата на прехода C е:

1 0 0

0 0 1 , detC = 1 > 0; т.е . всяка база е еднакво ориентирана със себе си (рефлексивност);

C₂ = C.C₁ и detC₂ = detC.detC₁; ако detC и detC₁ са положителни, тогава detC₂ също е положително (транзитивност);

C = 0 1 0

1 0 0

0 0 1 , detC = -1 < 0; т.е. съществува противоположно ориентирана база на К.

1. Векторно произведение на два вектора

1. 
   c = o, ако a и b са колинеарни; това включва и случая, когато единият от тях или и двата са нулеви
   
2. 
   |c| = |a|.|b|. sin ( a, b )
   
3. 
   c  a, c  b
   
4. 
   { a, b, c }  S⁺, т.е. ако вземем база с тези три вектора (те са линейно независими) тя има положителна витлова посока
   

1. Смесено произведение на три вектора

Нека са дадени три вектора a, b и c. Тогава тяхното смесено произведение е число a b c = ( a x b ) . c

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: