октомври – семинарни занятия

25 октомври – семинарни занятия

Нека е дадена произволна афинна координатна система. Тогава:

1. 
   два вектора a (a₁, a₂) и b (b₁, b₂) са колинеарни, ако a₁/b₁ = a₂/b₂ = k  a₁ a₂
   

1. 
   три векторa а (a₁, a₂, a₃), b (b₁, b₂, b₃) и c (c₁, c₂, c₃) са компланарни, ако a₁ a₂ a₃
   

c₁ c₂ c₃

1. 
   три точки A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) и C (x₃, y₃) лежат на една права, ако x₁ y₁ 1
   

x₃ y₃ 1

1. 
   четири точки A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂), C (x₃, y₃, z₃) и D (x₄, y₄, z₄) лежат в една равнина, ако x₁ y₁ z₁ 1
   

x₃ y₃ z₃ 1 = 0

x₄ y₄ z₄ 1

Нека са дадени две прави, всяка от тях е определена с две точки А_i и B_i (i = 1, 2)

Взаимно положение на две прави в равнината:

1. 
   Проверявамe дали А₁, B₁, A₂, B₂ са компланарни. Ако не са, тогава правите са кръстосани – към 4., иначе - към 2.;
   
2. 
   Проверяваме дали векторите A₁B₁ и A₂B₂ са линейно зависими. Ако не са, тогава правите се пресичат – към 4., иначе към 3.;
   
3. 
   Проверяваме дали А₁B₁ и A₁B₂ са линейно зависими. Ако не са, тогава правите са успоредни, иначе правите съвпадат; към 4.
   
4. 
   Край.
   

Взаимно положение на права (определена с две точки А, B) и равнина (oпределена с три точки C, D, E) в пространството:

1. 
   Oпределяме дали CD и CE са линейно зависими, ако са – C, D, E са колинеарни и не образуват равнина – към 4., иначе – към 2.;
   
2. 
   Определяме дали AB, CD, CE са линейно независими, ако са – правата AB пробожда равнината (CDE) – към 4., иначе - към 3.;
   
3. 
   Определяме дали АC, AD, AE са компланарни, ако са – правата AB лежи в равнината (CDE), ако не са – правата AB е успоредна на равнината (CDE); към 4.;
   
4. 
   Край.
   

• 30 октомври

1. Свойства на смесено и векторно произведение

b



c  ( a x b )  a b c = o; ако a b c = o  c  ( a x b )  c  ( a, b ) 

a, b, c са компланарни;

a

c₁

c

3. |a b c | = V_{a, b, c} – абсолютната стойност на смесеното произведение на три вектора a, b и c е равна на обема на паралелепипеда, образуван от трите вектора; доказателство:

g




a b c = ( a x b ) . c  |a b c| = |( a x b ) . c | = | a x b | . |c₁| = |a|.|b|.sin.|c₁| = S.h = V; тук с c₁ означаваме алгебричната мярка на вектор c₁ върху оста g, която е еднакво ориентирана с a x b;

{ a, b, c }  S^-, тогава  = -1;

a, b, c са компланарни, тогава твърдението е тривиално (шестте смесени произведения са нули);

ако a, b, c не са компланарни  a, b, c са линейно независими 

a, b, c образуват база; { a, b, c }  S⁺;

0 1 0

0 0 1

( a x b ) . c + ( b x a ) . c = 0  ( a x b + b x a ) . c = 0; последното тъждество е вярно за всеки вектор c  a x b + b x a = о 

a x b = - b x a ;
6. .а x .b = .. a x b; доказателство: ще докажем, че тези два вектора имат равни дължини и еднакви посоки: ако  или  = 0 или а и b са колинеарни, твърдението е тривиално (и двете страни са нулевия вектор);
|.а x .b| = |.a|.|.b|.|sin _{.a,  .b}|=||.||.|a|.|b|.|sin _{a, b}|, тъй като ъгълът между векторите .a и .b е равен на  ( a, b ) или на

180 –  ( а, b ) в зависимост от знаците на  и   синусът на

 ( a, b ) се запазва  |.а x .b|= ||.||.|a x b|; тъй като

.a, .b, a, b са компланарни  .а x .b e колинеарен с .. a x b, тъй като и двата са перпендикулярни на ( a, b )  .а x .b =  . ( a x b ); тъй като a и b не са колинеарни  a, b, a x b образуват база;

 0 0

0 0 

a ².b ² – (|a|.|b|. cos(a, b)_e)² = a ².b ² – ( a . b )²;

1. Координатно представяне на векторно и смесено произведение

е₃

е₁

О

е₂

Нека e₁ x e₂ = p  |p|= |e₁|.|e₂|. sin (e₁, e₂) = 1 . 1 . 1 = 1;

p  ( e₁, e₂ ), e₃  ( e₁, e₂ )  p и e₃ са колинеарни, но |p|=|e₃| 

p =  e₃; от друга страна { e₁, e₂, e₃ }  S⁺, тъй като те задават витловата посока, { e₁, e₂, p }  S⁺ по дефиниция  p = e₃;

получаваме: e₁ . e₂ = e₃, e₂ . e₃ = e₁, e₃ . e₁ = e₂;
Нека са дадени два вектора a (a₁, a₂, a₃) и b (b₁, b₂, b₃);

Имаме: a = a₁.e₁ + a₂.e₂ + a₃.e₃; b = b₁.e₁ + b₂.e₂ + b₃.e₃;

a₁.b₃.e₁ x e₃ + a₂.b₁.e₂ x e₁ + a₂.b₃.e₂ x e₃ + a₃.b₁.e₃ x e₁ + a₃.b₂.e₃ x e₁ =

(a₂.b₃ – a₃.b₂).e₁ + (a₃.b₁ – a₁.b₃).e₂ + (a₁.b₂ – a₂.b₁).e₃;
т.е. a x b има координати a₂ a₃ , a₃ a₁ , a₁ a₂

b₂ b₃ b₃ b₁ b₁ b₂

b₂ b₃ b₃ b₁ b₁ b₂ b₁ b₂ b₃

c₁ c₂ c₃
Ако K e произволна координатна система имаме:
a₁ a₂ a₃

a b c = b₁ b₂ b₃ . ( e₁e₂e₃ )

c₁ c₂ c₃
Бивектори, тривектори, m-вектори
Нека a, b, c, d са вектори, такива че:
a x b = c x d = p  a, b  p; c, d  p  a, b, c, d са компланарни;

ако a и b не са колинеарни те образуват база { a, b };

= (  .  -  .  ). a x b    = 1;

 
Дефиниция за бивектор: Ако два вектора са колинеарни, техният бивектор е нулевият вектор; всеки две двойки линейно независими вектори, за които детерминантата на матрицата на прехода между базите, които образуват, е равна на 1 образуват клас бивектор; аналогично ако a b c = d e f – a, b, c и d, e, f образуват клас тривектор; дефиниция за m-вектор: всеки две m-торки линейно независими вектори, за които детерминантата на матрицата на прехода между базите, които образуват, е равна на 1 образуват клас m-вектор;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: