Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия



страница6/14
Дата24.07.2016
Размер2.89 Mb.
#4774
ТипЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

6 ноември




  1. Параметрични уравнения на права и равнина

Една права g може да се определи от фиксирана точка М0 върху нея и ненулев вектор p, колинеарен с правата.

p

М0



М

r

r0



O

Произволна точка M лежи върху правата тогава и само тогава, когато вектор M0M е колинеарен с p;


M0M || p  M0M = .p  M0M = OM – OM0 = .p  OM = OM0 + .p
получаваме: r = r0 + .p – векторно параметрично уравнение на права;
Нека фиксираме K { O, e1, e2, e3 } ;

Спрямо K: M ( x, y, z ); M0 (x0, y0, z0); p (a, b, c); тогава уравнението на правата приема следния вид:


x = x0 + .a

g: y = y0 + .b

z = z0 + .c
 се мени в (-, +); това уравнение се нарича координатно (скаларно) параметрично уравнение на права;
Ако g е ос,  = M0M/ p;
Нека имаме три точки A, B, M, които лежат на една права; числото

 = MA / MB се нарича просто отношение на трите точки и се бележи  = (ABM);  е дефинирано, когато M не съвпада с B;  < 0, когато точката M e между A и B и  > 0, когато точката М е външна за отсечката AB. Ако имаме въведена афинна координатна система и

M (xm, ym, zm), A (xa, ya, za), B (xb, yb, zb), тогава:

 = (ABM) = (xm-xa)/(xm-xb) = (ym-ya)/(ym-yb) = (zm-za)/(zm-zb);


M0

O



p

q

М



r

r0

Нека  e равнина; M0  ;

p и q – ненулеви, неколинеарни, компланарни с ;


Произволна точка M лежи в равнината тогава и само тогава, когато вектор M0M може да се представи като .p + .q ;
M    M0M = .p + .q  M0M = OM – OM0 = .p + .q 

OM = OM0 + .p + .q


получаваме: r = r0 + .p + .q – векторно параметрично уравнение на равнина;
Нека фиксираме K { O, e1, e2, e3 } ;

Спрямо K: M ( x, y, z ), M0 (x0, y0, z0), p (p1, p2, p3), q (q1, q2, q3); тогава уравнението на равнината приема следния вид:


x = x0 + .p1 + .q1

: y = y0 + .p2 + .q2

z = z0 + .p3 + .q3
,  се менят в (-, +); това уравнение се нарича координатно (скаларно) параметрично уравнение на равнина;

  1. Общо уравнение на права в равнината

М

Нека е фиксирана K { O, e1, e2 } ;



g

p

М0



Спрямо K: M0 (x0, y0), M (x, y), p (p1, p2); тогава: M0M (x – x0, y – y0);

M  g  MM0 колинеарен с p  x – x0 y – y0 = 0 

p1 p2
p2.(x – x0) – p1.(y – y0) = 0  p2.x – p1.y – p2.x0 + p1.y0 = 0
Означаваме A = p2, B = - p1, C = p1.y0 – p2.x0; тогава

A.x + B.y + C = 0;


M (x, y)  g  A.x + B.y + C = 0 (при въведените означения);

A, B  (0, 0), т.е. A2 + B2  0;

Правата g се определя с уравнението:
g: A.x + B.y + C = 0 – общо уравнение на права в равнината;
Твърдение: Всяко уравнение от вида A.x + B.y + C = 0, където

A2 + B2  0 е уравнение на някаква права в равнината;

Доказателство: Нека за определеност B  0; тогава y = – A/B . x – C/B;

Фиксираме точка M0 (x0, y0), такава, че y0 = – A/B . x0 – C/B;

Фиксираме вектор p ( –B, A );
Тогава { M0, p } определят някаква права g;

Нека M (x, y) е произволна точка, тя лежи върху правата g точно тогава, когато векторите M0M(x – x0, y – y0) и p ( –B, A ) са колинеарни, т.е. x – x0 y – y0 = 0 

–B A
A.x + B.y – A.x0 – B.y0 = A.x + B.y – B (y0 + A/B.x0) =

A.x + B.y – B ( –A/B.x0 – C/B + A/B.x0) = A.x + B.y + C = 0; т.е.

правата { M0, p } има уравнение A.x + B.y + C;
g

p

М0



М

М1

Всяка права има безброй много уравнения;

q

Например правата g може да бъде определена от { M0, p }



или от { M1, q } или от безброй много други двойки

{ точка от правата; вектор, колинеарен с правата } ;


Векторите p (p1, p2) и q (q1, q2) са колинеарни  съществува   0, такова че q1 = .p1, q2 = .p2;
Нека уравнението на правата g { M0, p } е:

A.x + B.y + C = 0  p2 = A, p1 = –B;


Нека уравнението на правата g { M1, q } е:

A.x + B.y + C = 0  q2 = A, q1 = –B;


A = q2 = .p2 = .A; B = –q1 = –.p1 = .B;

M0  g  .A.x0 + .B.y0 + C = 0  C = –.(A.x0 + B.y0) = –.(– C) = .C;


{ M1, q } : .A.x + .B.y + .C = 0;
Ако имаме една права g с уравнение A.x + B.y + C = 0  уравнението

.A.x + .B.y + .C = 0 е уравнение на същата права (   0 );


Теорема: Спрямо произволна координатна система в равнината

К = { O, e1, e2 } всяка права има уравнение A.x + B.y + C = 0, където

(A, B)  (0, 0); векторът p ( –B, A ) е колинеарен с правата; уравненията A.x + B.y + C = 0 и A1.x + B1.y + C1 = 0 са уравнения на една и съща права тогава и само тогава, когато

A1 = .A, B1 = .B, C1 = .C, където   0;



  1. Уравнение на права през две точки

Нека са дадени M1 (x1, y1), M2 (x2, y2); търсим уравнението на единствената права g през точките M1 и M2;

M1, M2  g  M1M2 e колинеарен с g  g е определена от: { M1, M1M2 };

тогава уравнението на g е:


g: x – x1 y – y1 = 0

x2 – x1 y2 – y1

x y 1


g: x1 y1 1 = 0

x2 y2 1



  1. Отрезово уравнение на права

Нека е дадена правата g, която не минава през началото O на координатната система; тогава g пресича координатните оси в

е2

A

B



g

е1

О

точките A (a, 0) и B (0, b) (a, b  0); a, b се наричат отрези;



x y 1

g: a 0 1 = 0  x/a + y/b = 1

0 b 1

  1. Декартово уравнение на права

Нека g не е колинеарна с e2 (не е успоредна на Oy);

g: A.x + B.y + C = 0;

p ( –B, A ) е колинеарен с g  p ( –B, A) и e2 (0, 1) не са колинеарни

 –B A  0, т.е. B  0;

0 1
g не е успоредна на Oy  B  0;

Нека координатната система K е ортонормирана.
y = –A/B.x – C/B (B  0); означаваме k = – A/B, m = – C/B;

y = k.x + m – декартово уравнение на права


Векторът p (1, k) е колинеарен на g  p0 (1/1 + k2, k/1 + k2) e колинеарен с g; освен това |p0| = 1  съществува ъгъл , такъв че:

p0 (cos, sin), където  e ъгълът между векторите p и e1  k = tg;

k се нарича ъглов коефициент на правата;

  1. Нормално уравнение на права

Нека К = { O, e1, e2 } е ортонормирана координатна система;

нека g е произволна права; g: A.x + B.y + C = 0;
Известно е, че векторът p ( –B, A ) е колинеарен с g;

Да разгледаме векторът n ( A, B ); p . n = –A.B + A.B = 0; p, n  o

 p  n  n  g  n0 (A/A2 + B2, B/A2 + B2)  g; освен това |n0| = 1  съществува ъгъл 0, такъв че: n0 (cos0, sin0);
Умножаваме уравнението на g по  = 1 /A2 + B2  0, получаваме:
g: A/A2 + B2.x + B/A2 + B2.y + C/A2 + B2 = 0

g: cos0.x + sin0.y + C = 0 – нормално уравнение на права;


всяка права има две нормални уравнения:
g: A/A2 + B2.x + B/A2 + B2.y + C/A2 + B2 = 0

g: - A/A2 + B2.x - B/A2 + B2.y - C/A2 + B2 = 0


М1
  1. Разстояние от точка до права

n0

М0

е1

е2

О

g


К – ортонормирана;

Нека е дадена права g с нормално уравнение:

g: cos.x + sin.y + c = 0; фиксирана е точка M1 (x1, y1)  g;

търсим колко е разстоянието от точка M1 до правата g;
Нека M0 (x0, y0) е петата на перпендикуляра спуснат от M1 към g;
M0M1  g, n0  g  M0M1 и n0 са колинеарни  съществува :

M0M1 =  . n0  |M0M1| = ||.|n0|  |M0M1| = ||, т.е. търсеното разстояние е равно на ||;


M0M1 (x1 – x0, y1 – y0), n0 (cos, sin)  x1 – x0 = .cos, y1 – y0 = .sin;

 x0 = x1 - .cos, y0 = y1 - .sin;


M0  g  cos.x0 + sin.y0 + c = 0 

cos.(x1 - .cos) + sin.(y1 - .sin) + c = 0 

cos.x1 + sin.y1 + c = , т.е. разстоянието между M1 и g e

|| = |cos.x1 + sin.y1 + c|;

Ако g e зададена с уравнение: А.x + B.y + C = 0

 || = |A/A2 + B2.x + B/A2 + B2.y + C/A2 + B2|


 се нарича ориентирано разстояние между М1 и g;

 > 0, когато М0М1 e eднопосочен с n0 и  < 0, когато

М0М1 e разнопосочен с n0; в зависимост от знака на , можем да определяме в коя от двете полуравнини, определени от правата лежи

дадена точка;



1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница