ноември – семинарни занятия

8 ноември – семинарни занятия

Нека ABCD е произволен тетраедър; тогава V_ABCD = 1/6 |AB AC AD|;

1. Двойно векторно произведение

( a x b ) x c = ( a . c ) . b – ( b . c ) . a ; получаваме вектор, който е линейна комбинация на векторите в скобите;

b.c b.d
Доказателство: чрез използване на горната формула;

Следствие:

( a x b ) . ( а x b ) = a.a a.b

b.a b.b
Детерминантата, която стои отдясно в равенството се нарича детерминанта на Грам за векторите a, b; детерминанта на Грам от ред n се дефинира върху n вектора; първият ред е скаларните произведения на първия вектор с всичките n, вторият е ред е скаларните произведения на втория вектор с всичките n и т.н.;
Твърдение: ( a b c ) . d = ( b c d ) . a + ( c a d ) . b + ( a b d ) . c ;

Доказателство: Разглеждаме ( a x b ) . ( c x d ) и прилагаме формулата за двойно векторно произведение;

a.a₁ a.b₁ a.c₁

Твърдение: ( a b c ) . ( a₁ b₁ c₁ ) = b.a₁ b.b₁ b.c₁

c.a₁ c.b₁ c.c₁

Следствие: ( a b c ) . ( a b c ) = b.a b.b b.c

c.a c.b c.c
Квадратът на смесеното произведение на три вектора е равно на стойността на детерминантата на Грам за трите вектора (взети в същия ред);

• 13 ноември

1. Полуравнини

Фиксирана е афинна координатна система K = { O, e₁, e₂ } ;

ако имаме точка M₀ (x₀, y₀), l (M₀ ) = A.x₀ + B.y₀ + C;

M₁ и M₂ лежат в различни полуравнини относно правата g, тогава и само тогава, когато: l (M₁).l (M₂) < 0;



М₁

М₀

М₁ и M₂ лежат в различни полуравнини тогава и само тогава, когато отсечката M₁M₂ пресича правата g;

Нека M₁M₂  g = т. M₀  M₀M₁ е колинеарен с M₀M₂  M₀M₂ = .M₀M₁,

но M₀ е между M₁ и M₂   < 0;

 x₂ – x₀ = .(x₁ – x₀); y₂ – y₀ = .(y₁ – y₀) 

x₀ = (x₂ - .x₁)/(1 - ); y₀ = (y₂ - .y₁)/(1 - );

M₀  g  A.x₀ + B.y₀ + C = 0 

A.(x₂ - .x₁)/(1 - ) + B.(y₂ - .y₁)/(1 - ) = 0 

(A.x₂ + B.y₂ + C) - .(A.x₁ + B.y₁ + C) = 0  l (M₂) = .l (M₁)

  < 0  l (M₁). l (M₂) < 0 и теоремата е доказана;
Следствие:

g : l (x, y) = A.x + B.y + C = 0;

g разделя равнината на две полуравнини  и :

 : A.x + B.y + C > 0

 : A.x + B.y + C < 0

1. Взаимно положение на две прави

Фиксирана е афинна координатна система K = { O, e₁, e₂ } ;

Дадени са две прави

g₁ : l₁ (x, y) = A₁.x + B₁.y + C₁ = 0

g₂ : l₂ (x, y) = A₂.x + B₂.y + C₂ = 0
Известно е, че p₁ (-B₁, A₁) е колинеарен с g₁,

вектор p₂ (-B₂, A₂) е колинеарен с g₂;

 g₁ е успоредна на g₂, тогава и само тогава, когато векторите

p₁ и p₂ са колинеарни, т.е. p₁ = .p₂  B₁ = .B₂, A₁ = .A₂;

ако правите не съвпадат необходимо е C₁  .C₂;

 g₁ е успоредна на g₂  A₁ = .A₂, B₁ = .B₂, C₁  .C₂;

g₁ пресича g₂  A₁ = .A₂, B₁  .B₂;
Нека g₁ пресича g₂ в точка M;

g

g₂

g₁

Множеството от правите, които минават през точка M се нарича сноп прави; точка М се нарича център на снопа;

Теорема: Всяка права g от снопа, определен от пресекателните прави g₁ и g₂ има уравнение: l (x, y) = .l₁(x, y) + .l₂(x, y) = 0, където  и  са реални параметри, менят се в (-, +), не са едновременно нули и описват всички прави, които принадлежат на този сноп;

Означение: ще бележим сноп прави с S_{, } : .l₁ (x, y) + .l₂ (x, y) = 0;

Доказателство:

l (x, y) = .(A₁.x + B₁.y + C₁) + .(A₂.x + B₂.y + C₂) =

(.A₁ + .A₂).x + (.B₁ + .B₂).y + .C₁ + .C₂ = 0

това е уравнение на права, точно тогава, когато коефициентите пред x и y не са едновременно нули;

нека допуснем, че това е така, т.е.:

.A₁ + .A₂ = 0

.B₁ + .B₂ = 0
Taзи система е хомогенна, но (, )  (0, 0)  тя трябва да има ненулево решение  A₁ A₂ = 0  g₁ е успоредна на g₂ - противоречие

B₁ B₂

 уравнението е зададено коректно, освен това:

l (M) = .l₁(M) + .l₂(M) = .0 + .0 = 0 ( т.M  g₁, g₂ )

 l (x, y) = .l₁(x, y) + .l₂(x, y) = 0 е уравнение на права от снопа с център т. M;

При  = 0 правата g  g₂, ако   0 можем да разделим на  и да остане само един параметър  = /:

g  g₂ : l (x, y) = l₁(x, y) + .l₂(x, y);

1. Общо уравнение на равнина

M₀



p

q

 - равнина; точка M₀  , p, q – два неколинеарни вектора, компланарни с ;

M₀    M₀M, p, q – компланарни;

Нека:

p (p₁, p₂, p₃);

q (q₁, q₂, q₃);

x – x₀ y – y₀ z – z₀

M₀M, p, q    p₁ p₂ p₃ = 0 

q₁ q₂ q₃

+ ( - (p₂.q₃ – p₃.q₂).x₀ - (p₃.q₁ – p₁.q₃).y₀ - (p₁.q₂ – p₂.q₁).z₀ ) = 0;

Нека A = p₂.q₃ – p₃.q₂; B = p₃.q₁ – p₁.q₃; C = p₁.q₂ – p₂.q₁;

D = - A.x₀ - B.y₀ - C.z₀;

 M    A.x + B.y + C.z + D = 0 – общо уравнение на равнина;

необходимо условие е (A, B, C)  (0, 0, 0), т.е. A² + B² + C²  0;

p₂.q₃ = p₃.q₂  p₃ = k₁.q₃, p₂ = k₁.q₂;

p₁.q₃ = p₃.q₁  p₃ = k₂.q₃, p₁ = k₂.q₁;

p₁.q₂ = p₂.q₁  p₁ = k₃.q₁, p₂ = k₃.q₂;

 k₁ = k₂ = k₃ = k  p = k.q – противоречие ( p, q не са колинеарни)

 (А, B, C)  (0, 0, 0);

.А.x + .B.y + .C.z +.D = 0 е уравнение на същата равнина 

при   0;

нека за определеност C  0  z = – A/C.x – B/C.y – D/C;

Фиксираме точките:

M₀ (0, 0, - D/C);

M₁ (1, 0, -(A+D)/C)  M₀M₁ (1, 0, -A/C);

M₂ (0, 1, -(B+D)/C)  M₀M₂ (0, 1, -B/C);

Нека M(x, y) е произволна точка  M₀M (x, y, z + D/C);

M    x y z + D/C = 0  A.x + B.y + C.z + D = 0;

1 0 -A/C

0 1 -B/C
Теорема: Спрямо фиксирана координатна система в пространството всяка равнина има общо уравнение от вида:

A.x + B.y + C.z + D = 0, (A, B, C)  (0, 0, 0);

две уравнения от този вид задават една и съща равнина, когато коефициентите им са пропорционални:

: A₁.x + B₁.y + C₁.z + D₁ = 0

: A₂.x + B₂.y + C₂.z + D₂ = 0

 A₁ = .A₂, B₁ = .B₂, C₁ = .C₂, D₁ = .D₂,   0;

1. Условие за компланарност на вектор и равнина

Нека е даден вектор p (, , ) и равнина  : A.x + B.y + C.z + D = 0;

Фиксираме точка M₀ върху , тогава вектор p има единствен представител M₀M₁;

Нека M₀ (x₀, y₀, z₀), M₁ (x₁, y₁, z₁)  M₀M₁ (x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀), но

M₀M₁ = p  x₁ – x₀ = , y₁ – y₀ = , z₁ – z₀ = 

 x₀ = x₁ - , y₀ = y₁ - , z₀ = z₁ - ;

M₀    A.x₀ + B.y₀ + C.z₀ + D = 0 

A.x₁ – A. + B.y₁ – B. + C.z₁ – C. + D = 0 

A.x₁ + B.y₁ + C.z₁ + D – (A. + B. + C.) = 0

p е компланарен с   М₁    А. + B. + C. = 0;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: