В задачи с ъглополовящи се използва, че симетричните точки на върховете на триъгълника относно ъглополовящата лежат на правата определена от срещуположната страна;
Ъглополовящи на ъгли, определени от пресичащи се прави
Фиксирана е ортонормирана координатна система в равнината;
Дадени са две прави:
a1 : A1.x + B1.y + C1 = 0;
а2 : А2.x + B2.y + C2 = 0;
a2
М
a1
l2
l1
за всяка точка M(x, y) l1 l2:
нека 1 е ориентираното разстояние от M до a1;
нека 2 е ориентираното разстояние от M до a2;
|1| = |2| 1 + 2 = 0 1 - 2 = 0;
1 = A1.x + B1.y + C1 / A12 + B12 ;
2 = A2.x + B2.y + C2 / A22 + B22 ;
l1, 2 : A1.x + B1.y + C1 / A12 + B12 A2.x + B2.y + C2 / A22 + B22 = 0;
Ъглополовяща на тъп и остър ъгъл
Векторът p ( - B1, A1) е колинеарен с a1;
Векторът q ( - B2, A2) е колинеарен с a2;
-
p . q > 0 ( p, q )e – остър 1 + 2 = 0 е ъглополовяща на острия ъгъл, 1 - 2 = 0 е ъглополовяща на тъпия ъгъл;
-
p . q < 0 ( p, q )e – тъп 1 + 2 = 0 е ъглополовяща на тъпия ъгъл, 1 - 2 = 0 е ъглополовяща на острия ъгъл;
Ъглополовяща на ъгъл, съдържащ дадена точка
Нека е дадена точка P;
ако (P, a1) и (P, a2) са с еднакви знаци, тогава ъглополовящата на ъгъла, който съдържа точка P е 1 - 2 = 0;
ако (P, a1) и (P, a2) са с различни знаци, тогава ъглополовящата на ъгъла, който съдържа точка P е 1 + 2 = 0;
Представяне на права, която е зададена чрез две равнини, със скаларно параметрично уравнение
Нека g = ;
: A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0;
: A2.x + B2.y + C2.z + D2 = 0;
нека n (A1, B1, C1) е нормалният вектор на ;
нека n (A2, B2, C2) е нормалният вектор на ;
тогава p (p1, p2, p3) = n x n е колинеарен с g;
M (0, m2, m3) g, където m2 и m3 са определени от системата:
B1.m2 + C1.m3 = - D1
B2.m2 + C2.m3 = - D2
в такъв случай g = { M, p } има скаларно параметрично уравнение:
x = 0 + .p1;
y = m2 + .p2;
z = m3 + .p3; се мени в ( - , + );
т. F се нарича фокус,
правата g – директриса,
константата e – ексцентрицитет;
Парабола
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
Спрямо K:
т. F (p, 0), p > 0;
пр. g : x = 0;
ексцентрицитетът е = 1;
След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
преходът се осъществява по следния начин:
K K : x = x + ; y = y;
= p/2, > 0;
Спрямо К:
т. F (p/2, 0);
пр. g : x = - p/2;
коничното сечение в този случай е парабола;
нека параболата означим с ;
: y2 = 2.p.x;
-
очевидно т. О ;
-
графиката на параболата е изцяло в първи и четвърти квадрант, тъй като x > 0;
-
графиката на параболата е симетрична относно Ox;
-
параболата пресича правата x = 0 единствено в т. O;
-
нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:
y2 = 2.p.x, y = k.x k2.x2 = 2.p.x x.(k2.x – 2.p) = 0;
оттук всяка права с уравнение y = k.x, k 0 има две пресечни точки с : т. O и (2.p/k2, 2.p/k); правата y = 0 пресича единствено в т. О;
Оy
О
F
g
M
Ox
Свойство на параболата: ако през произволна точка M от параболата прекараме допирателна, тогава лъч, който минава през фокуса F след
отражение от допирателната в т.М се ориентира успоредно на Ox;
Елипса
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
Спрямо K:
т. F (p, 0), p > 0;
пр. g : x = 0;
ексцентрицитетът е < 1;
След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
преходът се осъществява по следния начин:
K K : x = x + ; y = y;
= p/(1 – e2), > 0;
Спрямо K:
т. F ( – p.e2/(1 – e2), 0);
пр. g : x = - p/(1 – e2);
нека означим: c = p.e2/(1 – e2); a = p.e/(1 – e2), b = p.e/ 1 – e2;
a, b, c > 0;
тогава c2 = a2 – b2;
т. F ( -c, 0);
пр. g : x = - a2/c;
коничното сечение в този случай е елипса;
- p.e2/(1 – e2) > - p.e/(1 – e2) > - p/(1 – e2), тъй като e < 1
точките g Ox, (-a, 0), F, О лежат в този ред върху Ox;
нека oзначим елипсата с ;
тогава : x2/a2 + y2/b2 = 1;
-
Ако т. M0 , тогава x02 + y02 = 1 т. М1 (-x0, y0) ,
т. M2 (x0, -y0) , т. М3 (-x0, -y0) ; графиката на елипсата е симетрична относно Ox и Oy;
-
Нека разгледаме F (c, 0) и g : x = a2/c; поради симетрията относно Oy MF/|M, g| = e, за всякa точка M елипсата има два фокуса и две директриси, които са симетрични относно Oy;
-
Нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:
x2/a2 + y2/b2 = 1, y = k.x x2/a2 + k2.x2/b2 = 1
b2.x2 + a2.k2.x2 = a2.b2 x = a.b/ b2 + a2.k2;
оттук всяка права с уравнение y = k.x пресича в две точки, които са симетрични спрямо т. О;
-
Нека запишем уравнението на в следния вид:
y2 = b2.(1 – x2/a2) 1 – x2/a2 0 |x| a x [ -a; a];
аналог. x2 = a2.(1 – y2/b2) 1 - y2/b2 0 |y| b y [ -b; b];
оттук графиката на е заключена в правоъгълник със страни 2.а и 2.b с център т. О;
Оy
-
точките (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b) и се наричат върхове на елипсата; т. О се нарича център на елипсата, тя е център на симетрия за нея; Ox и Oy се наричат оси на елипсата, те са оси на симетрия за нея;
x = -a
F
y = b
g
F
О
Ox
M
M1
M2
M3
y = -b
x = a
P
g
Свойство на елипсата: за произволна точка P ,
|FP| + |FP| = const = 2.a;
Доказателство: нека P (x, y); P x2/a2 + y2/b2 = 1;
|PF| = (x + c)2 + y2; |PF| = (x – c)2 + y2 ;
|PF| = x2 + 2.c.x + c2 – b2.x2/a2 + b2 =
a2.x2 – b2.x2 + 2.c.a2.x + a2.(c2 + b2) /a=
c2.x2 + 2.c.a2.x + a4 /a = |c.x + a2|/a = |x.c/a + a|;
тъй като c/a = e < 1, |x| a |x|.c/a < a.e < a
x.c/a ( -a, a) |PF| = a + x.c/a;
aналог. |PF| = |x.c/a – a|; тъй като x.c/a < a
|PF| = a – x.c/a;
|PF| + |PF| = const = 2.a;
Хипербола
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
Спрямо K:
т. F (p, 0), p > 0;
пр. g : x = 0;
ексцентрицитетът е > 1;
След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;
преходът се осъществява по следния начин:
K K : x = x + ; y = y;
= p/(1 – е2), < 0;
Спрямо K:
т. F ( – p.e2/(1 – e2), 0);
пр. g : x = - p/(1 – e2);
нека означим: c = p.e2/(е2 – 1); a = p.e/(е2 – 1), b = p.e/ е2 – 1;
a, b, c > 0;
тогава c2 = a2 + b2;
т. F (c, 0);
пр. g : x = a2/c;
коничното сечение в този случай е хипербола;
p/(e2 – 1) < p.e/(e2 – 1) < p.e2/(e2 – 1), тъй като e > 1
точките O, g Ox, (a, 0), F лежат в този ред върху Ox;
нека oзначим хиперболата с ;
тогава : x2/a2 - y2/b2 = 1;
-
Ако т. M0 (x0, y0) , тогава x02 - y02 = 1 т. М1 (-x0, y0) ,
т. M2 (x0, -y0) , т. М3 (-x0, -y0) ; графиката на хиперболата е симетрична относно Ox и Oy;
-
Нека разгледаме F (-c, 0) и g : x = -a2/c; поради симетрията относно Oy MF/|M, g| = e, за всякa точка M хиперболата има два фокуса и две директриси, които са симетрични относно Oy;
-
Нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:
x2/a2 - y2/b2 = 1, y = k.x x2/a2 - k2.x2/b2 = 1
b2.x2 - a2.k2.x2 = a2.b2 (b2 – a2.k2).x2 = a2.b2;
-
b2 – a2.k2 > 0 |k|< b/a;
x = a.b/ b2 - a2.k2; оттук всяка права с уравнение
y = k.x, |k| < b/a пресича в две точки, които са симетрични спрямо т. О;
-
b2 – a2.k2 0 |k| b/a лявата страна на равенството е неотрицателна, а дясната страна – строго положителна, т.е. x ; оттук всяка права с уравнение
y = k.x, |k| b/a няма общи точки с ; правите
y = b/a . x се наричат асимптоти на хиперболата ;
-
Нека запишем уравнението на в следния вид:
y2 = b2.(x2/a2 - 1) x2/a2 – 1 0 |x| a
x ( -, -a ] [ a, + );
аналог. x2 = a2.(1 + y2/b2), но оттук не получаваме ограничение за y y (-, +);
-
Пресечните точки на с Оx са (-a, 0), (a, 0) и те се наричат върхове на хиперболата; т. О се нарича център на хиперболата, тя е център на симетрия за нея;
g
F
О
y = -b/а.x
x = a
M3
M2
M1
M
Ox
Оy
y = b/a.x
F
x = -a
g
Свойство на хиперболата: за произволна т. P ,
||PF| - |PF|| = const = 2.a;
Доказателство: аналогично на това за елипсата;
Полярни координати в равнината
В равнината са фиксирани:
произволна т. O;
ос l, която минава през т. O;
положителна посока на въртене (S+);
освен това се предполага, че сме фиксирали измерими единици за разстояние и големина на ъгъл;
по този начин на всяка точка M в равнината можем да съпоставим
= |OM|; = ( l +, OM);
ако ъгъл ( - , + ], тогава съответствието е взаимноеднозначно;
S+
M
+
О
l
по този начин сме фиксирали полярна координатна система:
P = { O, l+, S+ } ; т. O се нарича полюс, l+ се нарича ос на координатната система;
нека K = { O, e1, e2 }, e1 ↑↑ l+, e2 l+;
нека спрямо K: M (x, y) OM (x, y) OM/ (cos, sin)
OM ( .cos, .sin );
P K : { x = .cos; y = .sin };
K P : { = x2 + y2, = arctg (y/x) };
Полярно уравнение на конично сечение
|MF| / |M, g| = e = const;
въвеждаме полярна координатна система P = { F, l+, S+}, където
l+: l+ g, F l+;
нека M (, ), |F, g| = p |MF| = , |M, g| = p + .cos;
/ (p + .cos) = e = p.e/(1 – e.cos) – полярно уравнение на конично сечение;
т. М ( p.e/(1 – e.cos), ) коничното сечение;
трябва да се има предвид, че при хипербола се получава само клонът, който има връх (a, 0) (чертежът по-горе);
другият клон има уравнение = p.e/(e.cos - 1);
Полярно уравнение на окръжност
Дадена е окръжност с център т. О и радиус r ;
Въвеждаме полярна координатна система P = { O, l+, S+ };
тогава окръжността има полярно уравнение = r ;
това означава, че всяка точка с координати (r, ), където се мени
в ( - , + ] окръжността;
|