Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия


ноември – семинарни занятия



страница9/14
Дата24.07.2016
Размер2.89 Mb.
#4774
ТипЛекции
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

22 ноемврисеминарни занятия

В задачи с ъглополовящи се използва, че симетричните точки на върховете на триъгълника относно ъглополовящата лежат на правата определена от срещуположната страна;



  1. Ъглополовящи на ъгли, определени от пресичащи се прави

Фиксирана е ортонормирана координатна система в равнината;

Дадени са две прави:

a1 : A1.x + B1.y + C1 = 0;

а2 : А2.x + B2.y + C2 = 0;

a2

М

a1


l2

l1

за всяка точка M(x, y)  l1  l2:

нека 1 е ориентираното разстояние от M до a1;

нека 2 е ориентираното разстояние от M до a2;

 |1| = |2|  1 + 2 = 0  1 - 2 = 0;

1 = A1.x + B1.y + C1 /  A12 + B12 ;

2 = A2.x + B2.y + C2 /  A22 + B22 ;


 l1, 2 : A1.x + B1.y + C1 /  A12 + B12  A2.x + B2.y + C2 /  A22 + B22 = 0;

  1. Ъглополовяща на тъп и остър ъгъл

Векторът p ( - B1, A1) е колинеарен с a1;

Векторът q ( - B2, A2) е колинеарен с a2;


  1. p . q > 0   ( p, q )e – остър  1 + 2 = 0 е ъглополовяща на острия ъгъл, 1 - 2 = 0 е ъглополовяща на тъпия ъгъл;

  2. p . q < 0   ( p, q )e – тъп  1 + 2 = 0 е ъглополовяща на тъпия ъгъл, 1 - 2 = 0 е ъглополовяща на острия ъгъл;



  1. Ъглополовяща на ъгъл, съдържащ дадена точка

Нека е дадена точка P;

ако (P, a1) и (P, a2) са с еднакви знаци, тогава ъглополовящата на ъгъла, който съдържа точка P е 1 - 2 = 0;

ако (P, a1) и (P, a2) са с различни знаци, тогава ъглополовящата на ъгъла, който съдържа точка P е 1 + 2 = 0;


Представяне на права, която е зададена чрез две равнини, със скаларно параметрично уравнение
Нека g =   ;

 : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0;

 : A2.x + B2.y + C2.z + D2 = 0;

нека n (A1, B1, C1) е нормалният вектор на ;

нека n (A2, B2, C2) е нормалният вектор на ;

тогава p (p1, p2, p3) = n x n е колинеарен с g;

M (0, m2, m3)  g, където m2 и m3 са определени от системата:

B1.m2 + C1.m3 = - D1

B2.m2 + C2.m3 = - D2

в такъв случай g = { M, p } има скаларно параметрично уравнение:

x = 0 + .p1;

y = m2 + .p2;

z = m3 + .p3;  се мени в ( - , +  );

  • 27 ноември



т. F се нарича фокус,

правата g директриса,

константата e ексцентрицитет;
Парабола
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

Спрямо K:

т. F (p, 0), p > 0;

пр. g : x = 0;

ексцентрицитетът е = 1;

След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

преходът се осъществява по следния начин:

K  K : x = x + ; y = y;

 = p/2,  > 0;

Спрямо К:

т. F (p/2, 0);

пр. g : x = - p/2;



коничното сечение в този случай е парабола;

нека параболата означим с ;

 : y2 = 2.p.x;


  1. очевидно т. О  ;

  2. графиката на параболата е изцяло в първи и четвърти квадрант, тъй като x > 0;

  3. графиката на параболата е симетрична относно Ox;

  4. параболата пресича правата x = 0 единствено в т. O;

  5. нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:

y2 = 2.p.x, y = k.x  k2.x2 = 2.p.x  x.(k2.x – 2.p) = 0;

оттук всяка права с уравнение y = k.x, k  0 има две пресечни точки с  : т. O и (2.p/k2, 2.p/k); правата y = 0 пресича  единствено в т. О;

Оy
О

F

g


M

Ox

Свойство на параболата: ако през произволна точка M от параболата прекараме допирателна, тогава лъч, който минава през фокуса F след

отражение от допирателната в т.М се ориентира успоредно на Ox;


Елипса
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

Спрямо K:

т. F (p, 0), p > 0;

пр. g : x = 0;

ексцентрицитетът е < 1;

След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

преходът се осъществява по следния начин:

K  K : x = x + ; y = y;

 = p/(1 – e2),  > 0;

Спрямо K:

т. F ( – p.e2/(1 – e2), 0);

пр. g : x = - p/(1 – e2);

нека означим: c = p.e2/(1 – e2); a = p.e/(1 – e2), b = p.e/ 1 – e2;

 a, b, c > 0;

тогава c2 = a2 – b2;

т. F ( -c, 0);

пр. g : x = - a2/c;

коничното сечение в този случай е елипса;

- p.e2/(1 – e2) > - p.e/(1 – e2) > - p/(1 – e2), тъй като e < 1 

точките g  Ox, (-a, 0), F, О лежат в този ред върху Ox;

нека oзначим елипсата с ;

тогава  : x2/a2 + y2/b2 = 1;


  1. Ако т. M0  , тогава x02 + y02 = 1  т. М1 (-x0, y0)  ,

т. M2 (x0, -y0)  , т. М3 (-x0, -y0)  ;  графиката на елипсата е симетрична относно Ox и Oy;

  1. Нека разгледаме F (c, 0) и g : x = a2/c; поради симетрията относно Oy  MF/|M, g| = e, за всякa точка M    елипсата има два фокуса и две директриси, които са симетрични относно Oy;

  2. Нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:

x2/a2 + y2/b2 = 1, y = k.x  x2/a2 + k2.x2/b2 = 1

 b2.x2 + a2.k2.x2 = a2.b2  x =  a.b/ b2 + a2.k2;

оттук всяка права с уравнение y = k.x пресича  в две точки, които са симетрични спрямо т. О;


  1. Нека запишем уравнението на  в следния вид:

y2 = b2.(1 – x2/a2)  1 – x2/a2  0  |x|  a  x  [ -a; a];

аналог. x2 = a2.(1 – y2/b2)  1 - y2/b2  0  |y|  b  y  [ -b; b];

оттук графиката на  е заключена в правоъгълник със страни 2.а и 2.b с център т. О;

Оy



  1. точките (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b) и се наричат върхове на елипсата; т. О се нарича център на елипсата, тя е център на симетрия за нея; Ox и Oy се наричат оси на елипсата, те са оси на симетрия за нея;

x = -a


F

y = b


g

F

О



Ox

M

M1



M2

M3

y = -b

x = a


P

g


Свойство на елипсата: за произволна точка P  ,

|FP| + |FP| = const = 2.a;

Доказателство: нека P (x, y); P    x2/a2 + y2/b2 = 1;

|PF| =  (x + c)2 + y2; |PF| =  (x – c)2 + y2 ;

|PF| =  x2 + 2.c.x + c2 – b2.x2/a2 + b2 =

 a2.x2 – b2.x2 + 2.c.a2.x + a2.(c2 + b2) /a=

 c2.x2 + 2.c.a2.x + a4 /a = |c.x + a2|/a = |x.c/a + a|;

тъй като c/a = e < 1, |x| a  |x|.c/a < a.e < a 

x.c/a  ( -a, a)  |PF| = a + x.c/a;

aналог. |PF| = |x.c/a – a|; тъй като x.c/a < a 

|PF| = a – x.c/a;

 |PF| + |PF| = const = 2.a;


Хипербола
Избрали сме K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

Спрямо K:

т. F (p, 0), p > 0;

пр. g : x = 0;

ексцентрицитетът е > 1;

След това сме фиксирали K = { O, e1, e2 } – ортонормирана;

преходът се осъществява по следния начин:

K  K : x = x + ; y = y;

 = p/(1 – е2),  < 0;

Спрямо K:

т. F ( – p.e2/(1 – e2), 0);

пр. g : x = - p/(1 – e2);

нека означим: c = p.e2/(е2 – 1); a = p.e/(е2 – 1), b = p.e/ е2 – 1;

 a, b, c > 0;

тогава c2 = a2 + b2;

т. F (c, 0);

пр. g : x = a2/c;

коничното сечение в този случай е хипербола;

p/(e2 – 1) < p.e/(e2 – 1) < p.e2/(e2 – 1), тъй като e > 1 

точките O, g  Ox, (a, 0), F лежат в този ред върху Ox;

нека oзначим хиперболата с ;

тогава  : x2/a2 - y2/b2 = 1;


  1. Ако т. M0 (x0, y0)  , тогава x02 - y02 = 1  т. М1 (-x0, y0)  ,

т. M2 (x0, -y0)  , т. М3 (-x0, -y0)  ;  графиката на хиперболата е симетрична относно Ox и Oy;

  1. Нека разгледаме F (-c, 0) и g : x = -a2/c; поради симетрията относно Oy  MF/|M, g| = e, за всякa точка M    хиперболата има два фокуса и две директриси, които са симетрични относно Oy;

  2. Нека разгледаме правите y = k.x, където k се мени в (-, +); ако пресечем тези прави с , получаваме:

x2/a2 - y2/b2 = 1, y = k.x  x2/a2 - k2.x2/b2 = 1

 b2.x2 - a2.k2.x2 = a2.b2  (b2 – a2.k2).x2 = a2.b2;



    1. b2 – a2.k2 > 0  |k|< b/a;

 x =  a.b/ b2 - a2.k2; оттук всяка права с уравнение

y = k.x, |k| < b/a пресича  в две точки, които са симетрични спрямо т. О;



    1. b2 – a2.k2  0  |k|  b/a  лявата страна на равенството е неотрицателна, а дясната страна – строго положителна, т.е. x  ; оттук всяка права с уравнение

y = k.x, |k|  b/a няма общи точки с ; правите

y = b/a . x се наричат асимптоти на хиперболата ;

  1. Нека запишем уравнението на  в следния вид:

y2 = b2.(x2/a2 - 1)  x2/a2 – 1  0  |x|  a 

x  ( -, -a ]  [ a, + );

аналог. x2 = a2.(1 + y2/b2), но оттук не получаваме ограничение за y  y  (-, +);


  1. Пресечните точки на с Оx са (-a, 0), (a, 0) и те се наричат върхове на хиперболата; т. О се нарича център на хиперболата, тя е център на симетрия за нея;

g

F



О

y = -b/а.x

x = a

M3



M2

M1

M

Ox



Оy

y = b/a.x

F

x = -a


g

Свойство на хиперболата: за произволна т. P  ,

||PF| - |PF|| = const = 2.a;

Доказателство: аналогично на това за елипсата;


Полярни координати в равнината
В равнината са фиксирани:

произволна т. O;

ос l, която минава през т. O;

положителна посока на въртене (S+);


освен това се предполага, че сме фиксирали измерими единици за разстояние и големина на ъгъл;
по този начин на всяка точка M в равнината можем да съпоставим

 = |OM|;  =  ( l +, OM);

ако ъгъл   ( - , +  ], тогава съответствието е взаимноеднозначно;

S+

M

+



О

l
по този начин сме фиксирали полярна координатна система:



P = { O, l+, S+ } ; т. O се нарича полюс, l+ се нарича ос на координатната система;
нека K = { O, e1, e2 }, e1 ↑↑ l+, e2  l+;

нека спрямо K: M (x, y)  OM (x, y)  OM/ (cos, sin)

 OM ( .cos, .sin );

 P  K : { x = .cos; y = .sin };

K  P : {  =  x2 + y2,  = arctg (y/x) };
Полярно уравнение на конично сечение
|MF| / |M, g| = e = const;

въвеждаме полярна координатна система P = { F, l+, S+}, където

l+: l+  g, F  l+;

нека M (, ), |F, g| = p  |MF| = , |M, g| = p + .cos;

  / (p + .cos) = e = p.e/(1 e.cos) полярно уравнение на конично сечение;

т. М ( p.e/(1 – e.cos),  )  коничното сечение;

трябва да се има предвид, че при хипербола се получава само клонът, който има връх (a, 0) (чертежът по-горе);

другият клон има уравнение  = p.e/(e.cos - 1);


Полярно уравнение на окръжност
Дадена е окръжност с център т. О и радиус r ;

Въвеждаме полярна координатна система P = { O, l+, S+ };

тогава окръжността има полярно уравнение  = r ;

това означава, че всяка точка с координати (r, ), където  се мени

в ( - , + ]  окръжността;

1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница