Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1



страница1/23
Дата09.09.2016
Размер4.23 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
  1. Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

  2. Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivandg@yahoo.com.

  3. Четени са през зимния семестър на учебната 2001/2002 година. Лектори тогава бяха професор Пламен Джаков и главен асистент Николай Буюклиев. Семинарните упражнения водеше главен асистент Росен Николов и не присъстват всичките.

  4. Използвал съм моите (и на мои колеги) записки от лекции и семинарни занятия, както и следните учебници: Диференциално смятане на Ярослав Тагамлицки, Математически Анализ на Дойчин Дойчинов.

  5. Добре е да имате инсталиран MathType, за да нямате проблеми при разчитането. От този линк http://www.dessci.com/en/dl/MTW6.exe може да изтеглете trial версия за един месец.

  6. 1. Понятие за R – множество от реалните числа

Множеството на естествените числа { 1, 2, …n,…} означаваме с N;

Множеството на целите числа { 0, 1, 2, …n,…} означаваме с Z;

Множеството на рационалните числа { p/q; p, qZ, q  0 }

означаваме с Q;

Множеството на реалните числа означаваме с R.

Множеството на комплексните числа { a+b.i; a, b  R, i2 = -1 } означаваме с C;
За тези множества имаме: N Z Q R C;
Аксиоми на Пеано за естествените числа:


  1. Всяко естествено число n има наследник n+1;

  2. На всеки две естествени числа се m, n се съпоставя еднозначно сумата им m+n, която е естествено число;

  3. На всеки две естествени числа се m, n се съпоставя еднозначно произведението им m.n, което е естествено число;

  4. Множеството N на естествените числа е наредено; съществува релация  - сравнение на естествени числа;

Рационалните числа представляват крайни и безкрайни периодични дроби; едно рационално число m/n може да се представи като крайна десетична дроб тогава и само тогава, когато n = 2k.5m, където k и m са естествени или нули; в такъв случай това число може да се запише по следния начин:


m/n = ao, a1a2a3…an - ако числото е записано в десетична бройна система, тo ai  { 0, 1, …, 9}, aoZ;
Ако n = 2k.5m.c, където c  N, c  1, тогава числото m/n се записва като безкрайна периодична дроб; дължината на периода е минималното числото s за което 10s – 1 се дели на n, a преди периода стоят точно l = max(k, m) цифри; обикновено записът е следният:
m/n = a0, a1a2…al(a l+1a l+2…a l+s); ai  { 0, 1, …, 9 }, a0Z;
Крайните десетични дроби могат да се разглеждат като безкрайни периодични дроби с период 0.
Пример, че съществуват безкрайни непериодични дроби: да разгледаме числото 1, 010010001…

то не е рационално, тъй като не е периодична дроб (очевидно не е крайна); това е пример, че съществуват ирационални числа;


Реалните числа се дефинират като обединение на рационалните и ирационалните, т.е. всични безкрайни периодични или непериодични дроби:
R = { ao, a1a2a3…an - a0Z, ai  { 0, 1, …, 9 } };
В дефиницията за реални числа ще добавим следното - за всяко

k  N, съществува индекс n > k : an  9; това го добавяме, за да не допускаме едни и същи числа да се записват по различни начини чрез безкрайни дроби – например 1, (0) = 0, (9) и - 2.25(0) = - 2.24(9);


Аксиоми за реалните числа R.
Аксиоми за събирането:

  1. а+b = b+a;

  2. (a+b)+c = a+(b+c);

  3. съществува число 0: а + 0 = a;

  4. за всяко число а, съществува –а : а + (-а) = 0; елементът –а се нарича противоположен

Тези четири свойства на събирането определят структура на група по отношение на събирането;
Аксиоми за умножениетo:

  1. a.b = b.a;

  2. (a.b).c = a.(b.c);

  3. съществува число 1: a.1=a;

  4. за всяко число а  0, съществува а-1: а.а-1 = 1;

Дистрибутивен закон:

  1. (a+b).c = a.c + b.c;

Релации за наредба:

  1. Ако a  b, b  c  a  c;

  2. Ако c  0 и a  b  a.c  b.c;

Аксиома на Архимед:

За всяко число a съществува естествено число n: n.1 > a;


Нека имаме две реални числа:

a = a0, a1a2…an

b = b0, b1b2…bn

a0, b0Z; ai  { 0, 1, 2…, 9 }

Казваме, че a > b, ако съществува индекс k  { 0, 1, 2,… }, такъв че

a0 = b0; a1 = b1; …; ak > bk


Дефиниция: Нека X  R. Казваме, че M е горна граница на X, ако за всяко x  X е в сила, че x  M; в такъв случай множеството X се нарича ограничено отгоре.

Дефиниция: Най-малката горна граница на X се нарича супремум на X или точна горна граница. Бележи се sup X.


Дефиниция: Нека X  R. Казваме, че m е долна граница на X, ако за всяко x  X е в сила, че x  m; в такъв случай множеството X се нарича ограничено отдолу.

Дефиниция: Най-голямата долна граница на X се нарича инфимум на X или точна долна граница. Бележи се inf X.


Дефиниция: Едно множество е ограничено, ако то е ограничено отдолу и отгоре, т.е. съществува M > 0, че за всяко x  X : |x|< M;
Твърдение: За всяко множество, което е ограничено отгоре, съществува точна горна граница x (супремум) 

  1. Ако x  X, то x  x

  2. Ако x < x, то съществува x  X: x > x

Доказателство: Разглеждаме два случая – дали в x има или няма положителни числа; ще докажем твърдението за първия случай, във втория е аналогично;
Нека X0 = { x  X, x  0 } ;

с [ x ] означаваме цялaта част на x;

Нека А0 = { [ x ], x  X0} ; тъй като X0 e ограничено  съществува горна граница M на X0, за нея е изпълнено 0  [ x ]  M  А0 е ограничено, но то се състои само от цели числа  А0 е крайно множество, означаваме най-големият елемент от А0 с x0;
Нека X1 = { x  X0, [ x ] = x0 } ; нека А1 е множеството от цифрите, които стоят на първо място след десетичната запетая в числата от X1; А1 е крайно, означаваме с x1 най-големият елемент на А1;
По този начин получаваме числото x = x0, x1x2…xn…; твърдим, че

x e супремумът на X.


Първо: ще докажем, че за всяко x  X, x  x;

Без ограничение на общността можем да разглеждаме единствено елементите на X0;

Допускаме, че съществува x > 0, x  X: x > x;

Нека x = x0, x1x2…xn…, тогава съществува индекс k  { 0, 1, …, n, …} , такъв че (1) x0 = x0; x1 = x1 …; xk-1 = xk-1;

(2) xk > xk;

от (1)  x  Xk, oсвен това xk е максималното число, което стои на

k-то място след десетичната запетая в числата  Xk, което е в противоречие с (2)  допускането не е вярно  за всяко x  X, x  x;
Второ: ще докажем, че ако x < x съществува x  X, такова че x > x;
Нека x = x0, x1x2…xn…, тогава съществува индекс k  { 0, 1,…, n,…}, такъв че x0 = x0; x1 = x1 …; xk-1 = xk-1;

(1) xk < xk;


Нека x  Xk+1  X, x = x0, x1x2…xn…, тогава:

x0 = x0; x1 = x1 …; xk-1 = xk-1;

(2) xk = xk;
от (1), (2)  x > x
С това доказателството е завършено;

Аналогично се доказва:

Всяко числово множество, което е ограничено отдолу има точна долна граница (инфимум);

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница