Обратни функции. Диференциране на обратни функции

15. Обратни функции. Диференциране на обратни функции.

Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана в интервал ; f (x) е обратима, ако тя притежава единствена обратна функция; f (x) е обратима  f (x) е инекция; в такъв случай случай обратната функция на f (x) e f^-1(y) : f ()  ;

Доказателство: Нека за определеност f (x) е монотонно растяща;

тъй като f (x) е строго монотонно растяща  за всеки x₁, x₂  ,

x₁ < x₂ е изпълнено f (x₁) < f (x₂)  f (x₁)  f (x₂)  f (x) е инекция  f (x) е обратима; нека нейната обратната функция е f^-1 (y): f ()  ; избираме две произволни числа y₁ < y₂  f ()  y₁ = f (x₁), y₂ = f (x₂);

в такъв случай f^-1 (y₁) = x₁ и f^-1 (y₂) = x₂; ако допуснем, че

f^-1 (y₁)  f^-1 (y₂) ще получим, че x₁  x₂  f (x₁)  f (x₂)  y₁  y₂, което е противоречие  f^-1 (y₁) < f^-1 (y₂) за всеки y₁ < y₂  f ()  f^-1 е монотонно растяща;

f (x) е строго монотонно растяща (намаляваща); тогава f (x) е обратима и нейната обратна функция е непрекъсната за всяко x  f ();

Доказателство: Нека за определеност f (x) е строго монотонно растяща; Тъй като f (x) е непрекъсната и  е интервал  по твърдение за непрекъснатост на монотонни функции  f () е интервал; от горното твърдение получаваме, че f (x) е обратима и обратната и функция f^-1: f ()   е строго монотонно растяща; използваме твърдение за непрекъснатост на монотонни функции:

f^-1 e строго монотонно растяща дефинирана в интервала f () и приемаща стойности в интервала   f^-1 е непрекъсната;

Доказателство: Нека за определеност f (x) > 0;

Тъй като f (x) > 0  f (x) е строго монотонно растяща в , освен това

f (x) е диференцируема в   f (x) е непрекъсната в ; от горното твърдение  f (x) е обратима и нейната обратна функция

g (y) : f ()   е непрекъсната в f ();

Ще покажем, че g (y) е диференцируема в f ();

разглеждаме диференчното частно на g (y): (g (y+h) – g (y))/h;

полагаме k = g (y+h) – g (y)  g (y+h) = k + g (y) = k + x, където x  ;

 y + h = f (x+k)  h = f (x+k) – y  h = f (x+k) – f (x);

тогава (g (y+h) – g (y))/h = k / (f (x+k) – f (x)); нека h  0; като използваме, g (y) е непрекъсната, получаваме, че k = g (y+h) – g (y)  0 при h  0  g (y) = 1/f (x), т.е. g (f (x)) = 1/f (x);

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: