Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

Обобщени биномни коефициенти

( ) = .(-1)…. ( - k + 1)/ k !,   R, k  N₀;

0

0


k

-1
k

( ) = (-1)^k;
k



Забележка: ( ) е полином от степен k на .

x

0

x

x

x

x-1
( ) – ( ) + ( ) … + (-1)^k( ) = (-1)^k . ( );

1 и k; тогава от горните тъждества P (l) = 0; Q (l) = 0, тъй като l-1

-1

 P (l) = Q (l) за l = 1, 2, …, k;

P (0) = 1; Q (0) = (-1)^k. ( ) = (-1)^2k = 1  P (0) = Q (0); P, Q съвпадат за k+1 стойности  P (x)  Q (x);

1. 3. Монотонни редици. Дефиниране на числото е.

n  N е изпълнено a_n  a_n+1;

Доказателство: Нека А е точната горна граница на редицата а_n.

Тъй като A е горна граница са в сила следните твърдения:

1. 
   a_n  A за всяко n  N;
   
2. 
   за всяко A < A, съществува N  N, такова че a_N > A или за всяко  > 0 съществува N  N, такова че a_N > A - ;
   

A -  < a_N < a_n  A < A +   a_n е сходяща и клони към числото A;

Доказателство:

Аналогично на горната теорема;
Разглеждаме редицата a_n = (1 + 1/n)ⁿ; ще покажем, че тази редица е сходяща;

n

n

n

По бинома на Нютон получаваме:

2

n

(1 + 1/n)ⁿ = 1 + ( ).1/n + ( ).1/n² + … + ( ).1/n^k + … + ( ).1/nⁿ =

+ (n.(n-1)…(n-(n-1))/n!).1/nⁿ = 1 + 1 + 1/2!.(1 – 1/n) +

1/3!(1-1/n).(1-2/n) + … + 1/k!.(1 – 1/n).(1 – 2/n)…(1 – (k-1)/n) + …

+ 1/n!.(1 – 1/n).(1 – 2/n)…(1 – (n-1)/n);

a_n  1 + 1 + 1/2!.(1 – 1/(n+1)) + 1/3!.(1 – 1/(n+1).(1 – 2/(n+1)) + …

1/k!.(1 – 1/(n+1)).(1 – 2/(n+1))…(1 – (k-1)/(n+1)) + …

1/n!.(1 – 1/(n+1)).(1 – 2/(n+1))…(1 – (n-1)/(n+1)) = a_n+1 –

1/(n+1)!.(1 – 1/(n+1)).(1 – 2/(n+1))…(1 – n/(n+1)) < a_n+1;

 редицата a_n е монотонно растяща; (1)

(1 – 1/n).(1 – 2/n)…(1 - (k-1)/n) < 1

 a_n  1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … + 1/n!;

от друга страна k! = k.(k-1)…3.2  2.2…2 = 2^k-1;

 a_n  1 + 1 + 1/2 +1/2² + … + 1/2^n-1 = 1 + (1 – 1/2ⁿ)/(1 – 1/2) =

3 – 1/2^n-1 < 3; освен това a_n  a₁ = 2 

2  a_n < 3  a_n – ограничена; (2)

от (1) и (2)  a_n – сходяща;

• Дефиниция: Неперовото число е се дефинира като граница на

нека b_n = (1 + 1/n)ⁿ⁺¹;

очевидно a_n.(1 + 1/n) = b_n  a_n < b_n;

Разглеждаме числата 1+1/n, 1+1/n, …, 1+1/n, 1;

n числа
тези числа са строго положителни; освен това не могат да бъдат всичките еднакви (1  (1 + 1/n)); прилагаме неравенството за средно аритметично и средно геометрично;

n+1

( n.(1+1/n) + 1 )/(n+1) >  (1 + 1/n)ⁿ  (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹ > (1+1/n)ⁿ или което е все същото a_n+1 > a_n; равенство не може да има, тъй като числата не могат да бъдат едновременно еднакви;

аналогично избираме числата 1 – 1/(n+1), …, 1 – 1/(n+1), 1;

n+1 числа

n+2

( (n+1).(1 – 1/(n+1)) + 1 )/(n+2) >  ( 1 – 1/(n+1) )ⁿ⁺¹ 

( ( n+1 –1 + 1)/(n+2) )ⁿ⁺² > (1 – 1/(n+1) )ⁿ⁺¹ 

( (n+1)/(n+2) )ⁿ⁺² > ( n/(n+1) )ⁿ⁺¹  ( (n+2)/(n+1) )ⁿ⁺² < ( (n+1)/n )ⁿ⁺¹ 

(1 + 1/(n+1))ⁿ⁺² < (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ или което е все същото b_n+1 < b_n; равенство не може да има, тъй като числата не могат да бъдат едновременно еднакви;

получаваме: 2 = a₁  a_n < b_n  b₁ = 4  a_n – ограничена, b_n – ограничена  a_n – сходяща и клони към числото A, b_n – сходяща и клони към числото B;

освен това a_n.(1 + 1/n) = b_n  A = B ( границата на 1+1/n e 1);

числото е дефинираме като общата граница на двете редици a_n и b_n;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 4.23 Mb.
  
  Сподели с приятели: