Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1


Теорема на Кантор за свиваща система от интервали



страница5/23
Дата09.09.2016
Размер4.23 Mb.
#8626
ТипЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Теорема на Кантор за свиваща система от интервали

Определение: Нека е дадена безкрайна редица от интервали

1, 2, …, n; казваме, че { n} е свиваща система от интервали, ако:


  1. Всички интервали са затворени, т.е. i = [ai, bi];

  2. Всеки интервал n съдържа следващия n+1, т.е. за всяко n  N, an  an+1  bn+1  bn;

  3. При n  , bn – an  0


Теорема на Кантор: Нека е дадена една свиваща система от интервали [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn]. Тогава съществува единствена точка C, такава че C  [an, bn] за всяко n  N;

Доказателство:

аn  аn+1 за всяко n  N, т.е. { an} е растяща редица;

bn  bn+1 за всяко n  N, т.е. { bn} е намаляваща редица;

освен това a1  an  bn  b1  an, bn са ограничени редици 

an – сходяща, нека an  A при n  ;

bn – сходяща, нека bn  B при n  ;

 bn – an  B – A при n  , но по определение bn – an  0 при n  

 B – A = 0, т.е. A = B;

Нека C = A = B;

an – монотонна растяща и клони към C  an  C;

bn – монотонна намаляваща и клони към C  C  bn;

 an  C  bn за всяко n  N;

Да допуснем, че съществува друга точка C, такава че

an  C  bn за всяко n  N; нека за определеност C < C;

в такъв случай аn  C < C  bn за всяко n  N;

an – сходяща и има граница C;

нека  = (C - C) / 2 > 0;

тогава съществува индекс N  N, такъв че при n > N;

|an – C| <   C -  < an < C +   an > C -  = (C + C) / 2 > C - противоречие (an  C за всяко n N)  точката C е единствена;


Твърдение: Нека an – сходяща; тогава границата е единствена.

Доказателство:

Да допуснем, че an има две граници A < A;

избираме  = (A - A)/2;

an – сходяща и има граница A  съществува индекс N1N, такъв че при n > N1: |an – A| < , т.е. A -  < an < A + ;

an – сходяща и има граница A  съществува индекс N2N, такъв че при n > N2: |an – A| < , т.е. A -  < an < A + ;

тогава при n > max (N1, N2) имаме:

A -  < an < A + ;

A -  < an < A + ;

но A +  = A -  = (A + A)/2  A -  < an < (A + A)/2 < an < A +  - противоречие  границата наистина е единствена;



  1. 4. Точки на сгъстяване. Подредици. Теорема на Болцано – Вайерщрас.

Определение: Нека е дадена редица a1, а2, …, an, …; казваме, че редицата an1, an2, …, ank, … е подредица на { an } , ако целите положителни числа n1, n2, …, nk, … удоволетворяват неравенствата:

n1 < n2 < … < nk < …;
Твърдение: Ако редицата an е сходяща и има граница А, тогава всяка нейна подредица { ank } е сходяща и има същата граница;

Доказателство:

Фиксираме  > 0;

аn - сходяща и има граница А  съществува индекс N  N, такъв че при n > N имаме |an – A| < ;

избираме индекс k0, такъв че при nk0 > N; това е възможно, тъй като редицата { nk } е безкрайна, а само краен брой естествени числа са по-малки от N;

тогава при k > k0 имаме: nk > nk0 > N 

|ank – A| <   { ank } е сходяща и има граница A;
Определение 1: Казваме, че A е точка на сгъстяване за редицата

{ an }, ако съществува подредица { ank }, която е сходяща и има за граница числото A;

Определение 2: Казваме, че A е точка на сгъстяване за редицата

{ an }, ако за всяко  > 0 съществуват безброй много членове на { an }, които се намират в интервала (A - , A + );


Ще докажем, че двете определения са еквивалентни;

Oчевидно от определение 1  определение 2, тъй като за всяко  > 0 в околността (A - , A + ) са всички елементи с достатъчно голям индекс ( > N, където N – фиксирано);

Ще докажем, че от определение 2  определение 1;

Нека 1 = 1; тогава съществува индекс n1, такъв че

an1  (A – 1, A + 1);

Нека 2 = 1/2; тогава в околността (А - 2, А + 2) има безброй много елементи на редицата, тогава ще има и такива с индекс n2 > n1;

an2  (A – 1/2, A + 1/2), n2 > n1;

Нека k = 1/k; тогава в околността (А - k, А + k) има безброй много елементи на редицата, тогава ще има и такива с индекс nk > nk-1;



ank  (A – 1/k, A + 1/k), nk > nk-1;


По този начин получихме една подредица { ank } на редицата { an }, за която А – 1/k < ank < A + 1/k за всяко k  N  oт теоремата за полицаите, че { ank }  A;


Теорема на Болцано Вайерщрас: Всяка ограничена редица притежава поне една точка на сгъстяване; друга еквивалентна формулировка е, че от всяка ограничена редица може да се избере сходяща подредица;
Означение: Най-голямата точка на сгъстяване се бележи с

lim an и се чете ‘лимес супериор’;

Означение: Най-малката точка на сгъстяване се бележи с

lim an и се чете ‘лимес инфериор’;


Ще докажем по-силното твърдение:

Твърдение: Всяка ограничена редица { an } притежава най-голяма и най-малка точка на сгъстяване;

Доказателство:

Нека m и M са съответно една долна и една горна граница за редицата { an }, т.е. m  an  M за всяко n  N;

Разглеждаме следното множество A:

A се състои от всички реални числа x, за които съществуват краен брой членове от редицата, които са по-големи от x;

в такъв случай M  A, тъй като има 0 (краен брой) членове, които са по-големи от M  A  ;

освен това всяко y  m  A, тъй като безброй много членове (всичките) са по-големи от y  за всяко x  A, x > m  m е долна граница на A, освен това A е непразно  А притежава точна долна граница; нека inf (A) = x;

Ако x  A  всяко y > x  A;

Ако x  A  всяко y < x  A;

ще докажем, че x е най-голямата точка на сгъстяване

за редицата { an }, т.е.:


  1. x е точка на сгъстяване;

  2. всяко x > x не е точка на сгъстяване на редицата;

доказателство на 1:

фиксираме  > 0;

тогава x +  > x; ако допуснем, че x +   A  всяко y < x +   A 

за всяко y  A : y > x +   x +  е долна граница на A – противоречие с факта, че x е най-голямата долна граница  x +   A  само краен брой членове на редицата са по-големи от x + ;



x -  < xx -   A  безброй много членове на редицата са по-големи от x -   в околността (x - , x + ) има безброй много членове на редицата { an }  x е точка на сгъстяване;

доказателство на 2:

нека x > x, по-горе доказахме, че в такъв случай x  A;

нека  = (x - x)/2,  > 0;

x -  = (x + x)/2 > xx -   A, x +   A 

в околността (x - , x + ) има краен брой членове  x не е точка на сгъстяване  x е най-голямата точка на сгъстяване;


За сходящи редици имаме: lim an = lim an;
Твърдение: Нека редицата { an } е неограничена; тогава или съществува подредица { ank }  +  или подредица { ank }  - ;

Доказателство:

{ an } – неограничена  за всяко M  R+ съществува индекс n, такъв че |an| > M;

избираме M1 = 1  съществува индекс n1 : |an1| > M1 = 1;

избираме M2 = max (2, |an1|)  съществува индекс n2: |an2| > M2;

избираме Mk = max (k, |ank-1|)  съществува индекс nk: |ank| > Mk;



за избраната подредица на { ank } имаме:

|an1| < |an2| < … < |ank| < …; |ank| > k  |ank|  + ;

безброй много членове от редицата са със знак ‘+’ (или със знак ‘-‘); избираме съответната подредица и тя клони към +  (- );


Като обобщение от всяка редица можем да изберем сходяща подредица, ако прибавим несобствените точки + , - ;
  1. Семинарни занятия




1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница