Определение: Нека е дадена безкрайна редица от интервали
1, 2, …, n; казваме, че { n} е свиваща система от интервали, ако:
-
Всички интервали са затворени, т.е. i = [ai, bi];
-
Всеки интервал n съдържа следващия n+1, т.е. за всяко n N, an an+1 bn+1 bn;
-
При n , bn – an 0
Теорема на Кантор: Нека е дадена една свиваща система от интервали [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn]. Тогава съществува единствена точка C, такава че C [an, bn] за всяко n N;
Доказателство:
аn аn+1 за всяко n N, т.е. { an} е растяща редица;
bn bn+1 за всяко n N, т.е. { bn} е намаляваща редица;
освен това a1 an bn b1 an, bn са ограничени редици
an – сходяща, нека an A при n ;
bn – сходяща, нека bn B при n ;
bn – an B – A при n , но по определение bn – an 0 при n
B – A = 0, т.е. A = B;
Нека C = A = B;
an – монотонна растяща и клони към C an C;
bn – монотонна намаляваща и клони към C C bn;
an C bn за всяко n N;
Да допуснем, че съществува друга точка C, такава че
an C bn за всяко n N; нека за определеност C < C;
в такъв случай аn C < C bn за всяко n N;
an – сходяща и има граница C;
нека = (C - C) / 2 > 0;
тогава съществува индекс N N, такъв че при n > N;
|an – C| < C - < an < C + an > C - = (C + C) / 2 > C - противоречие (an C за всяко n N) точката C е единствена;
Твърдение: Нека an – сходяща; тогава границата е единствена.
Доказателство:
Да допуснем, че an има две граници A < A;
избираме = (A - A)/2;
an – сходяща и има граница A съществува индекс N1 N, такъв че при n > N1: |an – A| < , т.е. A - < an < A + ;
an – сходяща и има граница A съществува индекс N2 N, такъв че при n > N2: |an – A| < , т.е. A - < an < A + ;
тогава при n > max (N1, N2) имаме:
A - < an < A + ;
A - < an < A + ;
но A + = A - = (A + A)/2 A - < an < (A + A)/2 < an < A + - противоречие границата наистина е единствена;
4. Точки на сгъстяване. Подредици. Теорема на Болцано – Вайерщрас.
Определение: Нека е дадена редица a1, а2, …, an, …; казваме, че редицата an1, an2, …, ank, … е подредица на { an } , ако целите положителни числа n1, n2, …, nk, … удоволетворяват неравенствата:
n1 < n2 < … < nk < …;
Твърдение: Ако редицата an е сходяща и има граница А, тогава всяка нейна подредица { ank } е сходяща и има същата граница;
Доказателство:
Фиксираме > 0;
аn - сходяща и има граница А съществува индекс N N, такъв че при n > N имаме |an – A| < ;
избираме индекс k0, такъв че при nk0 > N; това е възможно, тъй като редицата { nk } е безкрайна, а само краен брой естествени числа са по-малки от N;
тогава при k > k0 имаме: nk > nk0 > N
|ank – A| < { ank } е сходяща и има граница A;
Определение 1: Казваме, че A е точка на сгъстяване за редицата
{ an }, ако съществува подредица { ank }, която е сходяща и има за граница числото A;
Определение 2: Казваме, че A е точка на сгъстяване за редицата
{ an }, ако за всяко > 0 съществуват безброй много членове на { an }, които се намират в интервала (A - , A + );
Ще докажем, че двете определения са еквивалентни;
Oчевидно от определение 1 определение 2, тъй като за всяко > 0 в околността (A - , A + ) са всички елементи с достатъчно голям индекс ( > N, където N – фиксирано);
Ще докажем, че от определение 2 определение 1;
Нека 1 = 1; тогава съществува индекс n1, такъв че
an1 (A – 1, A + 1);
Нека 2 = 1/2; тогава в околността (А - 2, А + 2) има безброй много елементи на редицата, тогава ще има и такива с индекс n2 > n1;
an2 (A – 1/2, A + 1/2), n2 > n1;
…
Нека k = 1/k; тогава в околността (А - k, А + k) има безброй много елементи на редицата, тогава ще има и такива с индекс nk > nk-1;
ank (A – 1/k, A + 1/k), nk > nk-1;
…
По този начин получихме една подредица { ank } на редицата { an }, за която А – 1/k < ank < A + 1/k за всяко k N oт теоремата за полицаите, че { ank } A;
Теорема на Болцано – Вайерщрас: Всяка ограничена редица притежава поне една точка на сгъстяване; друга еквивалентна формулировка е, че от всяка ограничена редица може да се избере сходяща подредица;
Означение: Най-голямата точка на сгъстяване се бележи с
lim an и се чете ‘лимес супериор’;
Означение: Най-малката точка на сгъстяване се бележи с
lim an и се чете ‘лимес инфериор’;
Ще докажем по-силното твърдение:
Твърдение: Всяка ограничена редица { an } притежава най-голяма и най-малка точка на сгъстяване;
Доказателство:
Нека m и M са съответно една долна и една горна граница за редицата { an }, т.е. m an M за всяко n N;
Разглеждаме следното множество A:
A се състои от всички реални числа x, за които съществуват краен брой членове от редицата, които са по-големи от x;
в такъв случай M A, тъй като има 0 (краен брой) членове, които са по-големи от M A ;
освен това всяко y m A, тъй като безброй много членове (всичките) са по-големи от y за всяко x A, x > m m е долна граница на A, освен това A е непразно А притежава точна долна граница; нека inf (A) = x;
Ако x A всяко y > x A;
Ако x A всяко y < x A;
ще докажем, че x е най-голямата точка на сгъстяване
за редицата { an }, т.е.:
-
x е точка на сгъстяване;
-
всяко x > x не е точка на сгъстяване на редицата;
доказателство на 1:
фиксираме > 0;
тогава x + > x; ако допуснем, че x + A всяко y < x + A
за всяко y A : y > x + x + е долна граница на A – противоречие с факта, че x е най-голямата долна граница x + A само краен брой членове на редицата са по-големи от x + ;
x - < x x - A безброй много членове на редицата са по-големи от x - в околността (x - , x + ) има безброй много членове на редицата { an } x е точка на сгъстяване;
доказателство на 2:
нека x > x, по-горе доказахме, че в такъв случай x A;
нека = (x - x)/2, > 0;
x - = (x + x)/2 > x x - A, x + A
в околността (x - , x + ) има краен брой членове x не е точка на сгъстяване x е най-голямата точка на сгъстяване;
За сходящи редици имаме: lim an = lim an;
Твърдение: Нека редицата { an } е неограничена; тогава или съществува подредица { ank } + или подредица { ank } - ;
Доказателство:
{ an } – неограничена за всяко M R+ съществува индекс n, такъв че |an| > M;
избираме M1 = 1 съществува индекс n1 : |an1| > M1 = 1;
избираме M2 = max (2, |an1|) съществува индекс n2: |an2| > M2;
…
избираме Mk = max (k, |ank-1|) съществува индекс nk: |ank| > Mk;
…
за избраната подредица на { ank } имаме:
|an1| < |an2| < … < |ank| < …; |ank| > k |ank| + ;
безброй много членове от редицата са със знак ‘+’ (или със знак ‘-‘); избираме съответната подредица и тя клони към + (- );
Като обобщение от всяка редица можем да изберем сходяща подредица, ако прибавим несобствените точки + , - ;
-
Семинарни занятия
|