Граници на функции. Еквивалентност на дефинициите на Хайне и Коши

6. Граници на функции. Еквивалентност на дефинициите на Хайне и Коши.

x_n  a при n  , x_n  a за всяко n  N да е в сила:

{ f (x_n) }  A при n  ;
Дефиниция на Коши: Казваме, че числото A е граница на функцията f (x) в точка а, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че за всяко x, такова че 0 < |x – a| <  е в сила |f (x) – A| < ;
xa

xa

Доказателство:

от Коши  Хайне:

Избираме произволна редица { x_n }  a при n   и

x_n  a за всяко n  N;

фиксираме  > 0; тогава съществува  > 0, такова че за всяко x, такова че 0 < |x – a| <  е в сила |f (x) – A| < ; тъй като  > 0 е фиксирано, { x_n } има граница a  съществува индекс N  N, такъв че за всяко n > N, |x_n – a| < ; тъй като x_n  a за всяко n  N 

0 < |x_n – a| <   |f (x_n) – A| <  за всяко n > N  редицата { f (x_n) } е сходяща и има граница A  f (x) има граница по Хайне в точката а;
от Хайне  Коши:

допускаме противното: нека съществува число ₀ > 0, такова че за всяко  > 0 съществува x, такова че 0 < |x – a| <  и |f (x) – A|  ₀;

Нека ₁ = 1; тогава можем да намерим x₁  a, такова че

|x₁ – a| < ₁ и |f (x₁) – A|  ₀;

Нека ₂ = 1/2; тогава можем да намерим x₂  a, такова че

|x₂ – a| < ₂ и |f (x₂) – A|  ₀;

…

Нека _k = 1/k; тогава можем да намерим x_k  a, такова че

…
Получихме една редица от числа { x_n }, за която е изпълнено:

0 <|x_n – a| < 1/n за всяко n  N, |f (x_n) – A|  ₀;

очевидно x_n  a, x_n  a (например по теорема за полицаите) 

f (x_n)  A, което е в противоречие с |f (x_n) – A|  ₀  допускането не е вярно  f (x) има граница по Коши в точката A;
Примери:

Ще покажем, че x.sin1/x  0 при x  0;

Фиксираме  > 0;

|x.sin1/x| = |x|.|sin1/x|  |x|;

ако изберем  =   |x.sin1/x|  |x| <  =   x.sin1/x има граница 0 при x  0;

Ще покажем, че sin1/x няма граница при x  0;

за целта избираме редицата { x_n } по следния начин:

x₁ = 2/, x₂ = 2/(3.), …, x_n = 2/((2.n+1).), …;

за съответната редица { f (x_n) } получаваме:

f (x₁) = sin /2 = 1

f (x₂) = sin 3./2 = -1

…

f (x_n) = sin (2n+1)./2 = (-1)ⁿ;

f (x) = sin1/x не притежава граница при x  0;

x_n  a за всяко n  N, съответната редица { f (x_n) }   ;

съответната редица { f (x) }  A;

1. 7. Свойства на граници на функции. Намиране на границите sinx/x при x  0 и (1 + x)^1/x при x  0;

Нека са дадени две функции f (x) и g (x), които имат една и съща дефиниционна област ; тогава, ако f (x)  A при x  a и g (x)  B при x  a:

1. 
   (f +g)(x)  A + B при x  a;
   
2. 
   (f – g)(x)  A – B при x  a;
   
3. 
   (f. g)(x)  A.B при x  a;
   
4. 
   (f/ g)(x)  A/B при x  a при условие, че B  0 и g (x)  0 за всяко x  ;
   

Свойство 2:

Нека са дадени две функции f (x) и g (x), които имат една и съща дефиниционна област ; тогава, ако f (x)  A при x  a и g (x)  B при x  a и f (x)  g (x) за всяко x  D  A  B;
Свойство 3:

Нека са дадени три функции f (x), h (x), g (x) които имат една и съща дефиниционна област ; ако f (x)  C при x  a, g (x)  C при x  a и f (x)  h (x)  g (x) за всяко x    h (x)  C при x  a;

Нека f (x) и g (x) са две функции с една и съща дефиниционна област ; тогава ако f (x)  0 при x  a и g (x) е ограничена в някоя околност на a, (f. g) (x)  0 при x  a;

Доказателство:

Нека (a - ₁, a + ₁) е околност на a, в която g (x) е ограничена

(₁ > 0)  съществува K  R⁺, такова че |g (x)|< K за всяко

x  (a - ₁, a + ₁)  |x – a| < ₁;

Фиксираме  > 0; тогава /K > 0;

f (x) има граница 0  съществува ₂ > 0, такова че за всяко x, такова че 0 < |x – a| < ₂ е в сила |f (x)| < /K;

тогава ако  = min (₁, ₂):

|f (x).g (x)| = |f (x).g (x)| < K./K =  

f (x).g (x) има граница 0 при x  a;
Свойство 5:

Нека f (x) е дефинирана в . Ако f (x) има граница при x  a, то съществува околност на a, в която f (x) е ограничена;

Доказателство: Фиксираме  = 1;

нека f (x) има граница A при x  a  съществува  > 0, такова че

от 0 < |x – a| <   |f (x) – A| < 1  A – 1< f (x) < A + 1  функцията

f (x) е ограничена в (a - , a + )\{ a};

x  a, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че от 0 < x – a <  следва |f (x) – A| < ;

x  a, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че от 0 < а – x <  следва |f (x) – A| < ;

xa+0

xa-0

f (x) има граница А при x  a тогава и само тогава, когато f (x) има лява и дясна граница при x  a и те са равни;

Доказателство:

Ако f (x) има граница A при x  a;

избираме  > 0; нека  > 0 е такова, че от 0 < |x – a| <  

|f (x) – A| < ; тогава от 0 < x – a <   0 <|x – a|<   |f (x) – A| <   f (x) има дясна граница А при x  a; аналогично от 0 < a – x < A 

0 <|x – a| <   |f (x) – A| <   f (x) има лява граница А при x  a;

Нека f (x) има дясна граница A и лява граница A при x  a;

избираме  > 0; нека ₁ > 0 е такова, че от 0 < x – a < ₁ 

|f (x) – A| < ; нека ₂ > 0 е такова, че от 0 < a – x < ₂ 

|f (x) – A| < ; тогава за  = max (₁, ₂) имаме:

от 0 < x – a < , 0 < a – x <   |f (x) – A| < , т.е. от 0 < |x – a| < 

 |f (x) – A| <   f (x) има граница A при x  a;
Твърдение: sinx/x  1 при x  0;

Доказателство:

Чрез единичната окръжност и сравняване на лица можем да докажем следното неравенство:

sinx < x < tgx за 0 < x < /2;

от него  1 < x/sinx < 1/cosx  1 > sinx/x > cosx 

0 < 1 – sinx/x < 1 – cosx  0 < 1 – sinx/x < 2.sin²x/2 

0 < 1 – sinx/x < x²/2;

това неравенство очевидно е вярно и при - /2 < x < 0, тъй като

sinx/x и x² запазват знаците си;

ясно е, че x²/2 = x . x . 1/2  0 при x  0;

по теорема на полицаите получаваме, че 1 – sinx/x  0 при x  0 

sinx/x  1 при x  0;

Доказателство:

Ще докажем, че дясната граница е е;

по – долу предполагаме, че x > 0;

Известно е, че редиците a_n = (1 + 1/(n+1))ⁿ и b_n = (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ са сходящи и клонят към е;

избираме  > 0;

тогава съществува N  N, такъв че за всяко n > N е в сила:

|a_n - e| < , |b_n - e| <  или e -  < a_n < e + , e -  < b_n < e + ;

избираме  = 1/(N + 1);

нека x е такова, че x <   x < 1/(N+1)  N + 1 < 1/|x|;

Нека 1/x = n + 1  1/x = n;

освен това n + 1 = 1/x  1/x > N + 1  n > N;

от неравенствата:

n + 1  1/x  n  1/(n+1)  x  1/n  1 + 1/(n+1)  1 + x  1 + 1/n

 ( 1 + 1/(n+1) )ⁿ  (1+x)^1/x  (1 + 1/n)ⁿ⁺¹; последното неравенство следва от това, че основите са по-големи от 1 и се повдига в степени

n  1/x  n+1; тъй като n > N от последното неравенство получаваме:

За да докажем, че лявата граница е е полагаме x = - t; тогава t клони към 0 с положителни стойности;

(1 + x)^1/x = (1 – t)^-1/t = (1/(1 - t))^1/t = ( 1 + t/(1 - t) )^{(1-t)/t + 1} =

= ( 1 + t/(1-t) )^(1-t)/t . (1 + t/(1 – t) ) = е ,

тъй като t/(1-t) клони към 0 с положителни стойности  първият множител клони към е (от по-горе), а вторият клони към 1 (от свойството за събиране);
Условие на Коши за граници на функции
Определение: Функцията f (x) удоволетворява условието на Коши в точката a, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че за всеки две точки x и x, такива че 0 < |x - a| < , 0 < |x - a| <  е в сила

|f (x) – f (x)| < ;

Доказателство:

Нека f (x) има граница A при x  a; избираме  > 0; нека  > 0 е такова, че от 0 < |x – a| <   |f (x) – A| < /2;

нека x е такова, че 0 < |x - a| <   |f (x) – A| < /2;

нека x е такова, че 0 < |x - a| <   |f (x) – A| < /2;

 |f (x) – f (x)| = |f (x) – A + A – f (x)|  |f (x) – A| + |f (x) – A| = 

 функцията удоволетворява условието на Коши в точката a;

Нека f (x) удоволетворява условието на Коши в точката a;

избираме  > 0; нека  > 0 e такова, че за всяко x, x, такива че

0 < |x - a| < , 0 < |x - a| <  е в сила |f (x) – f (x)| < ; избираме

произволна редица { x_n}  a, x_n  a; съществува индекс N  N, такъв че за всяко n > N, 0 < |x_n – a| < ; нека n₁ > N, n₂ > N 

0 < |x_n1 – a| < , 0 < |x_n2 – a| <   |f (x_n1) – f (x_n2)| <   редицата

{ f (x_n) } е фундаментална  { f (x_n) } сходяща  функцията има

граница при x  a;

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: