Непрекъснатост на функции в точка. Еквивалентни определения. Свойства

8. Непрекъснатост на функции в точка. Еквивалентни определения. Свойства.

|f (x) – f (a)| < ;

Доказателство:

от Коши  Хайне:

Избираме произволна редица { x_n }  a при n  ;

фиксираме  > 0; тогава съществува  > 0, такова че за всяко x, такова че |x – a| <  е в сила |f (x) – f (a)| < ; тъй като  > 0 е фиксирано, { x_n } има граница a  съществува индекс N  N, такъв че за всяко n > N, |x_n – a| <   |f (x_n) – f (a)| <  за всяко n > N  редицата { f (x_n) } е сходяща и има граница f (a)  f (x) е непрекъсната по Хайне в точката a;
от Хайне  Коши:

допускаме противното: нека съществува число ₀ > 0, такова че за всяко  > 0 съществува x, такова че |x – a| <  и |f (x) – f (a)|  ₀;

Нека ₁ = 1; тогава можем да намерим x₁, такова че

|x₁ – a| < ₁ и |f (x₁) – f (a)|  ₀;

Нека ₂ = 1/2; тогава можем да намерим x₂, такова че

|x₂ – a| < ₂ и |f (x₂) – f (a)|  ₀;

…

Нека _k = 1/k; тогава можем да намерим x_k, такова че

…
Получихме една редица от числа { x_n }, за която е изпълнено:

|x_n – a| < 1/n за всяко n  N, |f (x_n) – f (a)|  ₀;

очевидно x_n  a (например по теорема за полицаите) 

f (x_n)  f (a), което е в противоречие с |f (x_n) – f (a)|  ₀  допускането не е вярно;
Една функция е непрекъсната в числово множество, ако тя е непрекъсната за всяка точка от това множество;
Пример: Ще покажем, че sinx е непрекъсната в R;

нека а  R; избираме  > 0;

|sinx – sina| = 2.sin|(x – a)/2|.cos|(x + a)/2|  2.|(x – a)/2| = |x – a|;

използвали сме неравенството |sin|  ||, което е вярно за   R;

нека изберем  =   |sinx – sina|  |x – a| <  =   функцията

sinx е непрекъсната в точката a;

-1, x < 0; 1, x > 0; 0, x = 0 е прекъсната в точката 0;

Избираме произволна редица { x_n }  0, x_n  0; тогава съответната редица { sgn (x_n) } е сходяща и клони към 1  sgn (0)  по Хайне функцията е прекъсната в точката 0;

Ще покажем, че функцията на Дирихле De (x) дефинирана с:

0, x  R\Q;1, x  Q е прекъсната за всяко x  R;

Нека а  R; в произволна околност на a има безброй много рационални и ирационални числа; избираме една редица x_n  a и

x_n  Q за всяко n  N; избираме друга редица x_n  a и

x_n  R\Q за всяко n  N  редиците { De (x_n) }, { De (x_n) } клонят съответно към 1 и към 0  по Хайне функцията е прекъсната в точката a;

Доказателство: Непосредствено от определенията;

f (a)  0, то съществува околност (a - , a + ) на точката a, в която

f (x) не си мени знака;

Доказателство:

Нека f (a) > 0; случаят f (a) < 0 се разглежда аналогично;

Нека  = f (a)/2 > 0; тъй като f (x) е непрекъсната в точката a, тогава съществува  > 0, такова че от |x – a| <   |f (x) – f (a)| <  

f (a) -  < f (x) < f (a) +   f (a)/2 < f (x) < 3.f (a)/2 

за всяко x  (a - , a + ) имаме f (a) > 0;

1. 
   f (x) + g (x) е непрекъсната в точката a;
   
2. 
   f (x) – g (x) е непрекъсната в точката a;
   
3. 
   f (x) . g (x) е непрекъсната в точката a;
   
4. 
   f (x) / g (x) e непрекъсната в точката a, ако g (a)  0;
   

Доказателство: Използваме дефиниция на Хайне; например за делението: тъй като g (a)  0  от горното твърдение, съществува околност (a - ₀, a + ₀) в която g (x)  0; нека { x_n }  a; тъй като f (x) и g (x) са непрекъснати в точката a, { f (x_n) }  f (a), { g (x_n) }  g (a) 

{ f (x_n)/g (x_n) }  f (a)/g (a)  f (x)/g (x) е непрекъсната в точката a;
Дефиниция: Нека f (x): ₁  ₂; нека g (t): ₃  ₄, където ₄  ₁; дефинираме функцията F (t) = f ( g (t)): ₃  ₂; функцията F наричаме композиция на двете функции g и f;

означаваме: F = f ж g;

g (t): ₃  ₄, където ₄  ₁, е непрекъсната в точката t₀ и g (t₀) = x₀;

тогава F = f ж g : ₃  ₂ е непрекъсната в точката t₀;

Доказателство: Нека { t_n } е произволна редица от стойности, която клони към t₀ и за всяко n  N, t_n  ₃; тъй като g (t) е непрекъсната в точката t₀  съответната редица { g (t_n) }  g (t₀) = x₀;

тъй като t_n  ₃ за всяко n  N  g (t_n)  ₄ 

g (t_n)  ₁; тъй като функцията f (x) е непрекъсната в точката x₀ и

g (t_n)  x₀ = g (t₀)  редицата { f (g (t_n)) } е сходяща и клони към f (x₀), но F (t_n) = f (g (t_n)), F (t₀) = f (g (t₀)) = f (x₀)  { F (t_n) } клони към F (t₀) 

функцията F (t) е непрекъсната в точката t₀;

f (x) е ограничена;

Доказателство: Фиксираме  = 1;

тъй като f (x) е непрекъсната в точката a  съществува  > 0, такова че от |x – a| <   |f (x) – f (a)| < 1  f (a) – 1< f (x) < f (a) + 1  функцията f (x) е ограничена в (a - , a + );

2. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: