Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Теореми за непрекъснати функции в краен затворен интервал
Изтегляне 4.23 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Теорема 1 ( Болцано – Коши )
- Теорема 2 ( за междинните стойности )
- Teo рема 4 ( на Вайерщрас )
9. Теореми за непрекъснати функции в краен затворен интервал.Роля на затворения интервал: Нека { xn} А е произволна сходяща редица и всичките и елементи са в интервала [a, b]; тогава като използваме теоремите за граничен преход получаваме, че a A b, което означава, че граница остава в затворения интервал; Теорема 1 (Болцано – Коши): Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека f (a) и f (b) имат различни знаци, т.е. f (a).f (b) < 0 съществува c [a, b], такова че f (c) = 0; Доказателство: Нека за определеност f (a) < 0, f (b) > 0; Нека c1 = (a + b)/2; ако f (c1) = 0, теоремата е доказана; ако f (c1) > 0, тогава а1 = а, b1 = c1; ако f (c1) < 0, тогава a1 = c1, b1 = b; получаваме f (a1) < 0, f (b1) > 0; Нека c2 = (a1 + b1)/2; ако f (c2) = 0, теоремата е доказана; ако f (c2) > 0, тогава а2 = а1, b1 = c2; ако f (c2) < 0, тогава a2 = c2, b2 = b1; получаваме f (a2) < 0, f (b2) > 0; … Нека cn+1 = (an + bn)/2; ако f (cn+1) = 0, теоремата е доказана; ако f (cn+1) > 0, тогава аn+1 = аn, bn+1 = cn; ако f (c1) < 0, тогава an+1 = cn+1, bn+1 = bn; получаваме f (an+1) < 0, f (bn+1) > 0; … Получаваме една свиваща се система от интервали [an, bn]; това е така, защото дължината на един интервал е (bn – an)/2n 0 при n и всеки интервал се съдържа в следващия; по теоремата на Кантор съществува единствена точка c, която принадлежи на всеки един от тези интервали an C, bn C при n ; тъй като f (x) е непрекъсната, по Хайне f (an) f (C); тъй като f (an) < 0 за всяко n N, след граничен преход получаваме: f (C) 0; тъй като f (x) е непрекъсната, по Хайне f (bn) f (C); тъй като f (bn) > 0 за всяко n N, след граничен преход получаваме: f (C) 0; f (C) = 0; Следствие 1: Всеки полином от нечетна степен има поне един реален корен; Следствие 2: Нека f (x) е непрекъсната в R и 1, 2, ..., n са всички нули на f (x); тогава f (x) не си променя знака в интервалите ( -, 1), (1, 2), …, (n, +); Теорема 2 (за междинните стойности): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека е число между f (a) и f (b); тогава съществува c [a, b], такова че f (c) = ; Доказателство: Разглеждаме помощната функция (x) = f (x) - ; имаме: (a) = f (a) - < 0, (b) = f (b) - > 0, (x) – непрекъсната в [a, b] съществува x0, такова че (x0) = 0 f (x) = ;
Доказателство: Допускаме противното; нека за определеност f (x) е неограничена отгоре в интервала [a, b]; в такъв случай за всяко M R съществува x [a, b], такова че f (x) > M; Нека M1 = 1; избираме x1, такова че f (x1) > M1; Нека M2 = 2; избираме x2, такова че f (x2) > M2; … Нека Mn = n; избираме xn, такова че f (xn) > Mn; … Разглеждаме редицата { xn}; за нея a xn b за всяко n N; по теоремата на Болцано – Вайерщрас, съществува сходяща подредица { xnk} x0 [a, b]; получаваме, че f (xnk) > nk за всяко k N редицата f (xnk) при k ; oт друга страна f (x) е непрекъсната по Хайне { f (xnk) } f (x0) – получаваме противоречие f (x) наистина е ограничена в [a, b];
Доказателство: f (x) непрекъсната в [a, b] f (x) е ограничена множеството X = { f (x) | a x b} притежава точна горна граница; нека M = sup { f (x) | a x b}; тогава за всяко > 0, M - не е горна граница на X; Нека 1 = 1; тогава съществува x1 [a, b], такова че f (x1) > M - 1; Нека 2 = 1/2; тогава съществува x2 [a, b], такова че f (x2) > M - 2; … Нека n = 1/n; тогава съществува xn [a, b], такова че f (xn) > M - n; … Получаваме една редица { xn}, за която xn [a, b] и f (xn) > M – 1/n за всяко n N; тъй като { xn} е ограничена, тогава по теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува сходяща подредица { xnk} x0 [a, b]; тъй като f (x) е непрекъсната по Хайне { f (xnk) } f (x0) за k ; от друга страна M – 1/nk < f (xnk) M; от теоремата за полицаите f (xnk) M f (x0) = M; по същия начин се установява, че f (x) достига най-малка стойност; |