Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра



страница14/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   24

19 ноември



Твърдение: Всички базиси на крайномерно ненулево линейно пространство V се състоят от един и същи брой вектори.

Доказателство: V има краен базис, тъй като е крайномерно.

Нека един базис на V е системата A = { a1, a2, …, an } (n  N)

 A е линейно независима;

Нека системата B = { b1, b2, …, bk } (k  N) е произволен базис на V

 B е линейно независима;

Да допуснем, че B съдържа повече от n вектора, т.е. k > n;

B  (A), тъй като A е базис; oт основната лема  B е линейно зависима система вектори – противоречие  k  n (1);

Да допуснем, че k < n. A  (B), защото B е базис, n > k;

от основната лема  A е линейно зависима система вектори – противоречие  k  n (2);

От (1) и (2)  k = n, т.е. A и B са съставени от един и същ брой вектори;
Дефиниция: Ако V е ненулево крайномерно линейно пространство, размерност на V наричаме броят на векторите в кой да е базис на V;
Oзначение: dimV или dimFV; n = dimVN;
За V = {  } приемаме dimV = 0;

Ако V е безкрайномерно dimV = ;


Примери:

V = Fn;

eдин базис на V e: e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), …, en = (0, 0, …, 1)  dimV = n;


V = Fn+1[x];

eдин базис на V e: 1, x, x2, …, xn (n+1 вектора) dimV = n+1;


V = F[x];

dimV = , защото V е безкрайномерно;


Нека V е линейно пространство над полето F;
Твърдение: ( V  {  } )

  1. dimV = n (n  N)  във V има n на брой линейно независими вектори и всеки n+1 вектори са линейно зависими, т.е. максималният брой линейно независими вектори във V е n; тогава всеки n на брой линейно независими вектори във V са базис на V;

  2. dimV =   за всяко n  N във V има n на брой линейно независими вектори, т.е. във V има безброй много линейно независими вектори;

Доказателство на 1. :

Нека dimV = n; нека системата A = { a1, a2, …, an } е базис на V; тогава А е съставена от n линейно независими вектори;

Нека c1, c2, …, cn+1 са произволни вектори от V;

c1, c2, …, cn+1 (A), тъй като А е базис, n+1 > n;

от основната лема  c1, c2, …, cn+1 са линейно зависими;

доказахме, че съществуват n линейно независими вектори и че всеки n+1 вектори са линейно зависими;

Нека във V има n линейно независими вектори и всеки n+1 вектори са линейно зависими;

Нека А = { a1, a2, …, an } и A е линейно независима система вектори;

Нека v  V. Ако v  (A), то от лемата  а1, а2, …, an, s са линейно независими, но те са n+1 на брой – противоречие  v  (A);

за всяко v  V, v  (A); A – линейно независима система вектори

 А е базис на V  dimV = n, тъй като A съдържа n вектори;

с това 1. е доказано и в обратната посока; освен това в процеса на доказателството е показано, че всеки n линейно независими вектори са базис на V (в процеса на доказателството);


Доказателство на 2. :

dimV =   dimV  n за всяко n  N, т.е. 1. не е изпълнено за никое n  във V няма максимален брой линейно независими вектори  във V има безброй много линейно независими вектори;


Твърдение: Всяка линейно независима система в крайномерно линейно пространство V може да се допълни до базис на V,

т.е. ако dimV = n и b1, b2, …, bk са линейно независими (k  n), то съществуват bk+1, bk+2, …, bnV, такива че b1, b2, …, bn

образуват базис на V (при k = n без допълване);

Доказателство:

Ако (b1, b2, …, bk) = V  b1, b2, …, bk е базис на V  k = n;

Нека (b1, b2, …, bk)  Vсъществува вектор bk+1V и

bk+1 (b1, b2, …, bk); прилагаме лемата  b1, b2, …, bk, bk+1 са линейно независими;

Ако (b1, b2, …, bk, bk+1) = V  b1, b2, …, bk, bk+1 е базис на V;

Нека (b1, b2, …, bk, bk+1)  V  съществува вектор bk+2V и

bk+2 (b1, b2, …, bk, bk+1); прилагаме лемата  b1, b2, …, bk, bk+1, bk+2 са линейно независими;

Очевидно след n-k стъпки получаваме вектори b1, b2, …, bn, които са линейно независими и са n на брой  те са базис на V;
Твърдение: V – линейно пространство; ако V е крайномерно и U V, то U също е крайномерно и dimU  dimV;

при това dimU = dimVU = V;

Доказателство:

Нека n = dimV (n  N); да допуснем, че dimU = m, m > n;

нека u1, u2, …, um е базис в U; тъй като U V  u1, u2, …, umV, но те са m > n на брой и са линейно независими, тъй като са базис в U – противоречие (максималният брой линейно независими вектора във V е n)  m  n  dimU  dimV;
Ако U = V, очевидно dimU = dimV;

Нека dimU = dimV = n  в U има базис u1, u2, …, un; uiU;

тъй като U V  u1, u2, …, unV, но те са n на брой и са линейно независими, тъй като са базис в U  системата u1, u2, …, un е базис

във VV = (u1, u2, …, un) UU = V;


Нека n = dimV (n  N); Нека системата b1, b2, …, bn е един базис на V  всеки вектор v  V се изразява по единствен начин във вида:

v = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn , iF;

Да допуснем, че v = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn, iF

1.b1 + 2.b2 + … + n.bn = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn

(1 - 1).b1 + (2 - 2).b2 + … + (n - n).bn = ,

но b1, b2, …, bn – базис  b1, b2, …, bn са линейно независими

 1 - 1 = 2 - 2 = … = n - n = 0  1 = 1; 2 = 2; …; n = n;

 изразяването е единствено;

Тази единствена n-торка от числа се нарича координати на

вектора v спрямо дадения базис b1, b2, …, bn;






Сподели с приятели:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   24




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница