Твърдение: Всички базиси на крайномерно ненулево линейно пространство V се състоят от един и същи брой вектори.
Доказателство: V има краен базис, тъй като е крайномерно.
Нека един базис на V е системата A = { a1, a2, …, an } (n N)
A е линейно независима;
Нека системата B = { b1, b2, …, bk } (k N) е произволен базис на V
B е линейно независима;
Да допуснем, че B съдържа повече от n вектора, т.е. k > n;
B ℓ (A), тъй като A е базис; oт основната лема B е линейно зависима система вектори – противоречие k n (1);
Да допуснем, че k < n. A ℓ (B), защото B е базис, n > k;
от основната лема A е линейно зависима система вектори – противоречие k n (2);
От (1) и (2) k = n, т.е. A и B са съставени от един и същ брой вектори;
Дефиниция: Ако V е ненулево крайномерно линейно пространство, размерност на V наричаме броят на векторите в кой да е базис на V;
Oзначение: dimV или dimFV; n = dimV N;
За V = { } приемаме dimV = 0;
Ако V е безкрайномерно dimV = ;
Примери:
V = Fn;
eдин базис на V e: e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), …, en = (0, 0, …, 1) dimV = n;
V = Fn+1[x];
eдин базис на V e: 1, x, x2, …, xn (n+1 вектора) dimV = n+1;
V = F[x];
dimV = , защото V е безкрайномерно;
Нека V е линейно пространство над полето F;
Твърдение: ( V { } )
-
dimV = n (n N) във V има n на брой линейно независими вектори и всеки n+1 вектори са линейно зависими, т.е. максималният брой линейно независими вектори във V е n; тогава всеки n на брой линейно независими вектори във V са базис на V;
-
dimV = за всяко n N във V има n на брой линейно независими вектори, т.е. във V има безброй много линейно независими вектори;
Доказателство на 1. :
Нека dimV = n; нека системата A = { a1, a2, …, an } е базис на V; тогава А е съставена от n линейно независими вектори;
Нека c1, c2, …, cn+1 са произволни вектори от V;
c1, c2, …, cn+1 ℓ (A), тъй като А е базис, n+1 > n;
от основната лема c1, c2, …, cn+1 са линейно зависими;
доказахме, че съществуват n линейно независими вектори и че всеки n+1 вектори са линейно зависими;
Нека във V има n линейно независими вектори и всеки n+1 вектори са линейно зависими;
Нека А = { a1, a2, …, an } и A е линейно независима система вектори;
Нека v V. Ако v ℓ (A), то от лемата а1, а2, …, an, s са линейно независими, но те са n+1 на брой – противоречие v ℓ (A);
за всяко v V, v ℓ (A); A – линейно независима система вектори
А е базис на V dimV = n, тъй като A съдържа n вектори;
с това 1. е доказано и в обратната посока; освен това в процеса на доказателството е показано, че всеки n линейно независими вектори са базис на V (в процеса на доказателството);
Доказателство на 2. :
dimV = dimV n за всяко n N, т.е. 1. не е изпълнено за никое n във V няма максимален брой линейно независими вектори във V има безброй много линейно независими вектори;
Твърдение: Всяка линейно независима система в крайномерно линейно пространство V може да се допълни до базис на V,
т.е. ако dimV = n и b1, b2, …, bk са линейно независими (k n), то съществуват bk+1, bk+2, …, bn V, такива че b1, b2, …, bn
образуват базис на V (при k = n без допълване);
Доказателство:
Ако ℓ (b1, b2, …, bk) = V b1, b2, …, bk е базис на V k = n;
Нека ℓ (b1, b2, …, bk) V съществува вектор bk+1 V и
bk+1 ℓ (b1, b2, …, bk); прилагаме лемата b1, b2, …, bk, bk+1 са линейно независими;
Ако ℓ (b1, b2, …, bk, bk+1) = V b1, b2, …, bk, bk+1 е базис на V;
Нека ℓ (b1, b2, …, bk, bk+1) V съществува вектор bk+2 V и
bk+2 ℓ (b1, b2, …, bk, bk+1); прилагаме лемата b1, b2, …, bk, bk+1, bk+2 са линейно независими;
Очевидно след n-k стъпки получаваме вектори b1, b2, …, bn, които са линейно независими и са n на брой те са базис на V;
Твърдение: V – линейно пространство; ако V е крайномерно и U V, то U също е крайномерно и dimU dimV;
при това dimU = dimV U = V;
Доказателство:
Нека n = dimV (n N); да допуснем, че dimU = m, m > n;
нека u1, u2, …, um е базис в U; тъй като U V u1, u2, …, um V, но те са m > n на брой и са линейно независими, тъй като са базис в U – противоречие (максималният брой линейно независими вектора във V е n) m n dimU dimV;
Ако U = V, очевидно dimU = dimV;
Нека dimU = dimV = n в U има базис u1, u2, …, un; ui U;
тъй като U V u1, u2, …, un V, но те са n на брой и са линейно независими, тъй като са базис в U системата u1, u2, …, un е базис
във V V = ℓ (u1, u2, …, un) U U = V;
Нека n = dimV (n N); Нека системата b1, b2, …, bn е един базис на V всеки вектор v V се изразява по единствен начин във вида:
v = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn , i F;
Да допуснем, че v = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn, i F
1.b1 + 2.b2 + … + n.bn = 1.b1 + 2.b2 + … + n.bn
(1 - 1).b1 + (2 - 2).b2 + … + (n - n).bn = ,
но b1, b2, …, bn – базис b1, b2, …, bn са линейно независими
1 - 1 = 2 - 2 = … = n - n = 0 1 = 1; 2 = 2; …; n = n;
изразяването е единствено;
Тази единствена n-торка от числа се нарича координати на
вектора v спрямо дадения базис b1, b2, …, bn;
Сподели с приятели: |