15. Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор.
Основна теорема на алгебрата:
Нека f (x) е полином от степен n на x, т.е.
f (x) = an.xn + an-1.xn-1 + …+ a1.x + a0, където ai C, an 0, n N, n 1;
Тогава съществуват 1, 2, …, n C, такива че
f (x) = an.(x - 1).(x - 2). … .(x - n), т.е. f има n комплексни корена;
Нека F – поле; А – квадратна матрица от ред n, A = (ij) Fnxn;
разглеждаме fA (x) = , където
11 - x 12 … 1n
21 22 - x … 2n
= … … … … = det (A – x.E); x – променлива;
… … … …
n1 n2 … nn - x
fA (x) е полином на x с коефициенти от полето F и степента на този полином е n – това е така, тъй като главният диагонал дава най-високата степен на x (xn) и коефициента пред нея е (-1)n; свободният член на полинома е fA (0) = detA; fA (x) се нарича характеристичен полином на матрицата А; този полином има n на брой корени
1, 2, …, n C – характеристични корени на матрицата А;
Пример: A = 0 -1
2 3
характеристичният полином e fA (x) = det (A – x.E) = 0 – x -1 = 2 3 – x
= x.(x - 3) + 2 = x2 – 3.x + 2; характеристичните корени са
1 = 1, 2 = 2;
Ako A е триъгълна матрица, т.е.
а11 а12 … … а1n
0 a22 … … a2n
A = 0 0 a33 … a3n
… … … … …
0 0 … 0 ann
тогава fA (x) = (11 – x).(22 – x). ….(nn – x) и характеристичните корени са 1 = 11, 2 = 22, …, n = nn;
Теорема: Ако А е реална симетрична матрица ( A Rnxn, At = A), то всички характеристични корени на матрицата са реални числа;
Доказателство:
Нека характеристичните корени на А са 1, 2, …, n и нека е кой да е от тях; нека A = (ij), ij R и ij = ji за всяко i, j { 1, 2, …, n };
Разглеждаме системата:
(11 - ).x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0
(*)
21.x1 + (22 - ).x2 + … + 2n.xn = 0
…
n1.x1 + n2.x2 + … + (nn - ).xn = 0
Детерминантата на (*) e fA () = 0 (*) има ненулево решение
(1, 2, …, n) (0, 0, …, 0), i C за всяко i = 1, 2, …, n, тъй като коефициентите на (*) са комплексни;
за всяко i = 1, 2, …, n имаме:
i1. 1 + i2. 2 + … + (ii - ). i + … + in. n = 0
n
i1. 1 + i2. 2 + …+ in. n = . i; умножаваме двете страни по i и получаваме: i1. 1. i + i2. 2. i + …+ in. n. i = .|i|2, т.е.
j=1
ij. j. i = . |i|2;
последното равенство сумираме по i = 1, 2, …, n и получаваме:
n
n
n
i=1
j=1
i=1
ij. j. i = . |i|2;
n
н
i=1
n
j=1
i=1
n
ека v = ij. j. i, u = |i|2 v = .u;
u R, u 0 (дори u > 0), тъй като (1, 2, …, n) (0, 0, …, 0); (1)
n
j=1
n
j=1
n
n
р
i=1
i=1
n
j=1
n
i=1
азглеждаме v = ij. j. i = ij. j. i = ji. i. j =
n
i=1
j=1
n
ij. i. j = v, тъй като ij = ji за всяко i, j { 1, 2, …, n};
получихме, че v = v v R; (2)
от (1) и (2) = v/u R;
14 януари
Твърдение: Нека A, B Fnxn; ако A ~ B, тогава fA (x) = fB (x);
Доказателство: A ~ B съществува неособена матрица T Fnxn
(detT 0), такава че B = T-1.A.T;
fB (x) = det (B – x.E) = det (T-1.A.T – x.E) = det (T-1.A.T – x.T-1.E.T) =
= det (T-1.(A – x.E).T) = detT-1.det (A – x.E).detT = 1/detT.det (A – x.E).detT = det (A – x.E) = fA (x);
Нека V е линейно пространство над полето F, dimV = n N;
Hom (V);
Дефиниция: x V наричаме собствен вектор на оператора , ако
x и съществува F, такова че (x) = .x; се нарича собствена стойност на оператора ;
Нека e1, e2, …, en е базис на V; нека има матрица А = (ij) Fnxn в този базис;
Дефиниция: Характеристичен полином на оператора е fA (x);
Дефиницията е коректна, тъй като, ако B е матрицата на в друг базис, то B ~ A fA (x) = fB (x), т.е. тя не зависи от базиса;
Означение: f (x) – характеристичният полином на матрицата на оператора спрямо кой да е базис ( в частност = fA (x) );
корените на f (x) наричаме характеристични корени на
оператора ;
Нека x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en, y = (x) = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en;
x – собствен вектор y = (x) = .x;
от въпрос №14 - = A., където е векторът-стълб от координатите на y, а е векторът-стълб от координатите на x;
y = (x) = .x = .; A. = = ., т.е.
11.1 + 12.2 + … + 1n.n = 1 = .1;
21.1 + 22.2 + … + 2n.n = 2 = .2;
…
n1.1 + n2.2 + … + nn.n = n = .n;
(11 - ).1 + 12. 2 + … + 1n.n = 0
(2)
21.1 + (22 - ).2 + … + 2n.n = 0
…
n1.1 + n2.2 + … + (nn - ).n = 0
хомогенната система (*) (по-горе) има решение
(1, 2, …, n) (0, 0, …, 0) (x ) det на системата е равна на 0, т.е.
fA () = 0 е характеристичен корен на A (и на );
Дотук: всяка собствена стойност на оператора е характеристичен корен на този оператор;
Обратно: Нека е характеристичен корен на ( на матрицата му A ) и F; щом е характеристичен корен fA () = 0 det на системата (*) е равна на 0 системата (*) има ненулево решение
(1, 2, …, n) (0, 0, …, 0); нека x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; изпълнени са равенствата (2) (x) = .x - собствена стойност;
Твърдение 2: Собствени стойности на линеен оператор Hom (V) са точно онези характеристични корени на оператора, които принадлежат на същото поле F;
Ако F C, тогава всички характеристични корени са собствени стойности на оператора ;
Ако F R, тогава само реалните характеристични корени са собствени стойности на оператора;
Намиране на собствени стойности и вектори на :
-
Пресмятаме характеристичният полином на матрицата на оператора ; решаваме уравнението fA (x) = 0, корените на това уравнение са характеристичните корени 1, 2, …, n C на оператора;
-
Нека е измежду 1, 2, …, n и F; решаваме хомогенната система (*), намираме всички решения (1, 2, …, n)
(0, 0, …, 0), т.е. всички собствени вектори
x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en на оператора , които съответстват на собствената стойност ;
Твърдение 3: Нека V е линейно пространство над полето F;
Hom (V); ако a1, a2, …, ak (k N) са собствени вектори на оператора , съответстващи на различни собствени стойности
1, 2, …, k, то a1, a2, …, ak са линейно независими;
Доказателство:
Индукция по k;
База k = 1: векторът a1 е собствен вектор на a1 a1 – линейно независим;
Стъпка: Нека твърдението е вярно за k-1 вектора ( k 2), т.е.
a1, a2, …, ak-1 са линейно независими;
нека 1.a1 + 2.a2 + … + k-1.ak-1 + k.ak = , i F; (1)
прилагаме оператора към равенството (1); получаваме:
1. (a1) + 2. (a2) + … + k-1. (ak-1) + k. (ak) = () = , но
(aj) = j.aj за всяко j = 1, 2, …, k
1.1.a1 + 2.2.a2 + … + k-1.k-1.ak-1 + k.k.ak = ; (2)
към (2) прибавяме (1) умножено с -k;
получаваме: 1.(1 - k).a1 + 2.(2 - k).a2 + … + k-1.(2 - k).ak-1 = , но
векторите a1, a2, …, ak-1 по индукционното предположение са линейно независими 1.(1 - k) = 2.(2 - k) = … = k-1.(2 - k) = 0, но характеристичните корени са два по два различни
1 = 2 = … = k-1 = 0; заместваме в (1) и получаваме:
k.ak = , но ak k = 0;
получихме, че произволна линейна комбинация на векторите
a1, a2, …, ak равна на нулевия вектор е тривиалната векторите a1, a2, …, ak са линейно независими;
Нека V е линейно пространство над полето F, n = dimV;
e1, e2, …, en е базис на V;
даден е линеен оператор на V с матрица А спрямо базиса
e1, e2, …, en; търсим друг базис g1, g2, …, gn спрямо който матрицата B на е възможно най-проста; идеалният случай е B да е диагонална, т.е.
1 0 0 … 0
0
B =
Fnxn
2 0 … 0
… ……… …
0 0 0 … n
в такъв случай (g1) = 1.g1 + 0.g2 + … + 0.gn = 1.g1, (g2) = 2.g2, …,
(gn) = n.gn, т.е. базисът g1, g2, …, gn се състои от собствени вектори на оператора, а 1, 2, …, n са съответните собствени стойности на оператора;
Теорема 2: V – линейно пространство над полето F; dimV = n < ;
Hom (V); ако има n на брой различни собствени стойности, то съществува базис на V спрямо който матрицата на е диагонална;
Доказателство: Нека собствените стойности на са 1, 2, …, n; избираме собствени вектори g1, g2, …, gn за съответните собствени стойности 1, 2, …, n; от твърдение 3 g1, g2, …, gn са линейно независими и са n на брой g1, g2, …, gn образуват базис на V; матрицата на спрямо този базис е точно матрицата
1 0 0 … 0
0 2 0 … 0
… ……… …
0 0 0 … n
Следствие: Нека A Cnxn и характеристичните корени на А са
1, 2, ..., n C и са два по два различни; тогава съществува неособена матрица T Fnxn, такава че
1 0 0 … 0
0
T-1.A.T =
2 0 … 0
… ……… …
0 0 0 … n
Доказателство: Нека V е n-мерно пространство над полето C; нека
e1, e2, …, en е базис на V съществува единствен линеен оператор
Hom (V), такъв че матрицата на спрямо e1, e2, …, en е А;
по теорема 2 съществува базис g1, g2, …, gn на V, спрямо който оператора има матрица
1 0 0 … 0
0
B =
2 0 … 0
… ……… …
0 0 0 … n
Нека T е матрицата на прехода от базиса e1, e2, …, en към базиса
g1, g2, …, gn, T – неособена; от въпрос №14 B = T-1.A.T;
Край
14 януари 2002 г.
Сподели с приятели: |