Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра


Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор



страница24/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24

15. Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор.



Основна теорема на алгебрата:

Нека f (x) е полином от степен n на x, т.е.

f (x) = an.xn + an-1.xn-1 + …+ a1.x + a0, където aiC, an  0, n  N, n  1;

Тогава съществуват 1, 2, …, nC, такива че

f (x) = an.(x - 1).(x - 2). … .(x - n), т.е. f има n комплексни корена;
Нека F – поле; А – квадратна матрица от ред n, A = (ij)  Fnxn;

разглеждаме fA (x) = , където




11 - x 12 … 1n

2122 - x … 2n

 = … … … … = det (A – x.E); x – променлива;

… … … …

n1 n2 … nn - x


fA (x) е полином на x с коефициенти от полето F и степента на този полином е n – това е така, тъй като главният диагонал дава най-високата степен на x (xn) и коефициента пред нея е (-1)n; свободният член на полинома е fA (0) = detA; fA (x) се нарича характеристичен полином на матрицата А; този полином има n на брой корени

1, 2, …, nCхарактеристични корени на матрицата А;


Пример: A = 0 -1

2 3


характеристичният полином e fA (x) = det (A – x.E) = 0 – x -1 = 2 3 – x

= x.(x - 3) + 2 = x2 – 3.x + 2; характеристичните корени са

1 = 1, 2 = 2;
Ako A е триъгълна матрица, т.е.


а11 а12 … … а1n

0 a22 … … a2n

A = 0 0 a33 … a3n

… … … … …

0 0 … 0 ann


тогава fA (x) = (11 – x).(22 – x). ….(nn – x) и характеристичните корени са 1 = 11, 2 = 22, …, n = nn;
Теорема: Ако А е реална симетрична матрица ( A  Rnxn, At = A), то всички характеристични корени на матрицата са реални числа;

Доказателство:

Нека характеристичните корени на А са 1, 2, …, n и нека  е кой да е от тях; нека A = (ij), ijR и ij = ji за всяко i, j  { 1, 2, …, n };

Разглеждаме системата:

(11 - ).x1 + 12.x2 + … + 1n.xn = 0


(*)


21.x1 + (22 - ).x2 + … + 2n.xn = 0

n1.x1 + n2.x2 + … + (nn - ).xn = 0


Детерминантата на (*) e fA () = 0  (*) има ненулево решение

(1, 2, …, n)  (0, 0, …, 0), iC за всяко i = 1, 2, …, n, тъй като коефициентите на (*) са комплексни;

за всяко i = 1, 2, …, n имаме:

i1. 1 + i2. 2 + … + (ii - ). i + … + in. n = 0 


n
i1. 1 + i2. 2 + …+ in. n = . i; умножаваме двете страни по i и получаваме: i1. 1. i + i2. 2. i + …+ in. n. i = .|i|2, т.е.


j=1
ij. j. i = . |i|2;
последното равенство сумираме по i = 1, 2, …, n и получаваме:


n


n

n


i=1

j=1

i=1
 ij. j. i = . |i|2;


n


н
i=1

n

j=1

i=1

n
ека
v = ij. j. i, u = |i|2  v = .u;
u  R, u  0 (дори u > 0), тъй като (1, 2, …, n)  (0, 0, …, 0); (1)


n

j=1

n

j=1

n

n

р


i=1

i=1

n

j=1

n

i=1
азглеждаме
v = ij. j. i = ij. j. i = ji. i. j =


n



i=1

j=1

n
 ij. i. j = v, тъй като ij = ji за всяко i, j  { 1, 2, …, n};
получихме, че v = v  v  R; (2)

от (1) и (2)   = v/u  R;



14 януари



Твърдение: Нека A, B  Fnxn; ако A ~ B, тогава fA (x) = fB (x);

Доказателство: A ~ B  съществува неособена матрица T  Fnxn

(detT  0), такава че B = T-1.A.T;

fB (x) = det (B – x.E) = det (T-1.A.T – x.E) = det (T-1.A.T – x.T-1.E.T) =

= det (T-1.(A – x.E).T) = detT-1.det (A – x.E).detT = 1/detT.det (A – x.E).detT = det (A – x.E) = fA (x);
Нека V е линейно пространство над полето F, dimV = n  N;

  Hom (V);


Дефиниция: x  V наричаме собствен вектор на оператора , ако

x   и съществува   F, такова че (x) = .x;  се нарича собствена стойност на оператора ;


Нека e1, e2, …, en е базис на V; нека има матрица А = (ij)  Fnxn в този базис;
Дефиниция: Характеристичен полином на оператора е fA (x);
Дефиницията е коректна, тъй като, ако B е матрицата на в друг базис, то B ~ A  fA (x) = fB (x), т.е. тя не зависи от базиса;

Означение: f (x) – характеристичният полином на матрицата на оператора спрямо кой да е базис ( в частност = fA (x) );

корените на f (x) наричаме характеристични корени на

оператора ;


Нека x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en, y = (x) = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en;

x – собствен вектор  y =  (x) = .x;

от въпрос №14 -  = A., където  е векторът-стълб от координатите на y, а  е векторът-стълб от координатите на x;

y =  (x) = .x   = .;  A. =  = ., т.е.


11.1 + 12.2 + … + 1n.n = 1 = .1;

21.1 + 22.2 + … + 2n.n = 2 = .2;

n1.1 + n2.2 + … + nn.n = n = .n;



(11 - ).1 + 12. 2 + … + 1n.n = 0


(2)
21.1 + (22 - ).2 + … + 2n.n = 0

n1.1 + n2.2 + … + (nn - ).n = 0


хомогенната система (*) (по-горе) има решение

(1, 2, …, n)  (0, 0, …, 0) (x  )  det на системата е равна на 0, т.е.

fA () = 0   е характеристичен корен на A (и на );

Дотук: всяка собствена стойност на оператора е характеристичен корен на този оператор;


Обратно: Нека  е характеристичен корен на ( на матрицата му A ) и   F; щом  е характеристичен корен  fA () = 0  det на системата (*) е равна на 0  системата (*) има ненулево решение

(1, 2, …, n)  (0, 0, …, 0); нека x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en; изпълнени са равенствата (2)  (x) = .x   - собствена стойност;


Твърдение 2: Собствени стойности на линеен оператор Hom (V) са точно онези характеристични корени на оператора, които принадлежат на същото поле F;
Ако FC, тогава всички характеристични корени са собствени стойности на оператора ;

Ако FR, тогава само реалните характеристични корени са собствени стойности на оператора;


Намиране на собствени стойности и вектори на :

  1. Пресмятаме характеристичният полином на матрицата на оператора ; решаваме уравнението fA (x) = 0, корените на това уравнение са характеристичните корени 1, 2, …, nC на оператора;

  2. Нека  е измежду 1, 2, …, n и   F; решаваме хомогенната система (*), намираме всички решения (1, 2, …, n) 

(0, 0, …, 0), т.е. всички собствени вектори

x = 1.e1 + 2.e2 + … + n.en на оператора , които съответстват на собствената стойност ;


Твърдение 3: Нека V е линейно пространство над полето F;

  Hom (V); ако a1, a2, …, ak (k  N) са собствени вектори на оператора , съответстващи на различни собствени стойности

1, 2, …, k, то a1, a2, …, ak са линейно независими;

Доказателство:

Индукция по k;

База k = 1: векторът a1 е собствен вектор на  a1    a1 – линейно независим;

Стъпка: Нека твърдението е вярно за k-1 вектора ( k  2), т.е.

a1, a2, …, ak-1 са линейно независими;

нека 1.a1 + 2.a2 + … + k-1.ak-1 + k.ak = , iF; (1)

прилагаме оператора към равенството (1); получаваме:

1. (a1) + 2. (a2) + … + k-1. (ak-1) + k. (ak) = () = , но

 (aj) = j.aj за всяко j = 1, 2, …, k 

1.1.a1 + 2.2.a2 + … + k-1.k-1.ak-1 + k.k.ak = ; (2)

към (2) прибавяме (1) умножено с -k;

получаваме: 1.(1 - k).a1 + 2.(2 - k).a2 + … + k-1.(2 - k).ak-1 = , но

векторите a1, a2, …, ak-1 по индукционното предположение са линейно независими  1.(1 - k) = 2.(2 - k) = … = k-1.(2 - k) = 0, но характеристичните корени са два по два различни 

1 = 2 = … = k-1 = 0; заместваме в (1) и получаваме:

k.ak = , но ak    k = 0;

получихме, че произволна линейна комбинация на векторите

a1, a2, …, ak равна на нулевия вектор е тривиалната  векторите a1, a2, …, ak са линейно независими;


Нека V е линейно пространство над полето F, n = dimV;

e1, e2, …, en е базис на V;

даден е линеен оператор на V с матрица А спрямо базиса

e1, e2, …, en; търсим друг базис g1, g2, …, gn спрямо който матрицата B на е възможно най-проста; идеалният случай е B да е диагонална, т.е.

1 0 0 … 0

0
B =



Fnxn
2 0 … 0

… ……… …


0 0 0 … n
в такъв случай (g1) = 1.g1 + 0.g2 + … + 0.gn = 1.g1, (g2) = 2.g2, …,

 (gn) = n.gn, т.е. базисът g1, g2, …, gn се състои от собствени вектори на оператора, а 1, 2, …, n са съответните собствени стойности на оператора;


Теорема 2: V – линейно пространство над полето F; dimV = n < ;

  Hom (V); ако има n на брой различни собствени стойности, то съществува базис на V спрямо който матрицата на е диагонална;

Доказателство: Нека собствените стойности на са 1, 2, …, n; избираме собствени вектори g1, g2, …, gn за съответните собствени стойности 1, 2, …, n; от твърдение 3  g1, g2, …, gn са линейно независими и са n на брой  g1, g2, …, gn образуват базис на V; матрицата на спрямо този базис е точно матрицата


1 0 0 … 0

0 2 0 … 0

… ……… …


0 0 0 … n

Следствие: Нека A  Cnxn и характеристичните корени на А са

1, 2, ..., nC и са два по два различни; тогава съществува неособена матрица T  Fnxn, такава че
1 0 0 … 0

0
T-1.A.T =


2 0 … 0

… ……… …


0 0 0 … n
Доказателство: Нека V е n-мерно пространство над полето C; нека

e1, e2, …, en е базис на V  съществува единствен линеен оператор

  Hom (V), такъв че матрицата на спрямо e1, e2, …, en е А;

по теорема 2  съществува базис g1, g2, …, gn на V, спрямо който оператора има матрица




1 0 0 … 0

0
B =
2 0 … 0

… ……… …


0 0 0 … n
Нека T е матрицата на прехода от базиса e1, e2, …, en към базиса

g1, g2, …, gn, T – неособена; от въпрос №14  B = T-1.A.T;



Край
14 януари 2002 г.


Сподели с приятели:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   24




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница