Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра


Свойство 3: Нека за някое k (1  k  n) сме умножили почленно



страница5/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

Свойство 3: Нека за някое k (1 k n) сме умножили почленно

к-тият ред на матрицата с числото F; означаваме детерминантата на тази матрица с   = .



а11 а12 ……… а1n

a21 a22 ……...a2n

 = …………………. …

ak1 ak2 ……akn

……………………..

an1 an2 ……. …ann
Доказателство:  =  (-1)[ i1, i2,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... anin =

 .  (-1)[ i1, i2,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... anin =  . 


Свойство 4: Ако за някои k и l, k  l - ak1 = al1, ak2 = al2, …, akn = aln, то  = 0

Доказателство: Без ограничение на общността можем да смятаме, че k < l;

кой да е член p от  изглежда така:

p = (-1)[ i1, i2,… ik ,… il ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akik ... alil ... anin

друг член q в развитието на , получен след извършване на транспоцизия il<->ik изглежда така:

q = (-1)[ i1, i2,… il,… ik ,…in ] . а1i1 . a2i2 ... akil ... alik ... anin

Тъй като akik = alik и akil = alil  |p|=|q|

Oсвен това:

Нека  = i1, i2,… ik ,… il ,…in и  = i1, i2,… il ,… ik ,…in ;  е получената от  с една транспозиция   и  са с различни четности 

(-1)[ i1, i2,… ik ,… il ,…in ] = - (-1)[ i1, i2,… il,… ik ,…in ]  p = - q  p + q = 0;

тъй като транспозицията е фиксирана  на всяка четна пермутация се съпоставя точно една нечетна и обратно, но те са по равен брой и две по две се унищожават   = 0
Свойство 5: Ако за някои k и l, k  l,   F - ak1 = al1, ak2 = al2, …, akn = aln, то  = 0
Доказателство: На кратко - комбиниране на свойство 3 със свойство 4
Свойство 6: Ако за някои k и l, k  l,   F променим k-ти ред по следния начин - ak1 = ak1 + al1, ak2 = ak2 + al2, …, akn = akn + aln,

то  не се изменя


Доказателство: На кратко - комбиниране на свойство 2 със свойство 5
Свойство 7: Ако за някои k и l, k  l, разменим местата на k-ти ред и l-ти ред детерминантата си сменя знака.

а11 а12 …а1n



………………

ред k a l1 a l2 …a ln

……………... = - 

ред l ak1 ak2 …akn

………………

an1 an2 …ann


Означаваме горната детерминанта с 

В  към ред k прибавяме ред l (използваме свойство 6 с  = 1)

Получаваме:

а11 а12 ……………….…а1n



………………………………

ред k аk1+a l1 ak2+al2 .…akn+a ln

 = ……………………………...

ред l ak1 ak2 …………………akn

……………………………...

an1 an2 …………………ann

От ред l изваждаме ред k (използваме свойство 6 с  = -1)

Получаваме:

а11 а12 …………….….…а1n

…………………….…………

ред k аk1+a l1 ak2+al2 ..…akn+a ln

 = ….…………………………...

ред l -al1 -al2 …………………-aln

……………………….……...

an1 an2 ……………….…ann

Kъм ред k прибавяме ред l (използваме свойство 6 с  = 1)

Получаваме:

а11 а12 …а1n….

……………..…

ред k a k1 a k2 …a kn

 = ……………….. = -  (по свойство 3)

ред l -al1 -al2 .…-aln

……………..…

an1 an2 …..ann


Свойство 8: Нека 2, 3,..., nF и

a11 = 2.a21 + 3.a31 + …+ n.an1

a12 = 2.a22 + 3.a32 + …+ n.an2

……

a1n = 2.a2n + 3.a3n + …+ n.ann


В такъв случай казваме, че първият ред е линейна комбинация на останалите. (първият е взет за определеност, свойството важи за кой да е ред) Тогава  = 0.
Доказателство: Прилагаме свойство 6: прибавяме към първи ред втория умножен с -2; прибавяме към първи ред третия умножен с

-3 и т.н. Накрая на първия ред остават само нули и от свойство 1 

 = 0




Сподели с приятели:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница