Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра



страница7/24
Дата25.07.2016
Размер2.43 Mb.
#6192
ТипЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24

Формули на Крамер

Нека е дадена системата от линейни уравнения:


a11 . x1 + a12 . x2 + ... + а1n . xn = b1

(1) a21 . x1 + a22 . x2 + …+ a2n . xn = b2

…………………………………

an1 . x1 + an2 . x2 + … + ann . xn = bn

аij, bkF – поле;  = |aij|; i, j, k  { 1, 2, …, n }
Решаваме системата:
Фиксираме k (1  k  n); искаме да изразим xk, като елиминираме всички останали елементи;
Умножаваме първото уравнение с A1k, второто с А2k, …,

n-тото с Аnk и ги събираме; получаваме:


x1 . ( a11 . A1k + a21 . A2k + … + an1 . Ank ) + x2 . ( a12 . A1k + a22 . A2k + … + an2 . Ank ) + … + xk . ( a1k . A1k + a2k . A2k + … + ank . Ank ) + … +

xn . ( a1n . A1k + a2n . A2k + … + ann . Ank ) = b1 . A1k + b2 . A2k + … + bn . Ank


Като използваме предишното следствие 2 получаваме:
 . xk = b1 . A1k + b2 . A2k + … + bn . Ank
Нека k е детерминанта от ред n, получена от  като заменим k-тият стълб със стълба от свободните членове b1, b2,…, bn, а останалите стълбове си останат същите; тогава адюнгираните количества на елементите на k-тия стълб на k съвпадат с адюнгираните количества на елементите на k-тия стълб на , тъй като те не съдържат елементи от k-тия стълб на  (а останалите редове на k са същите като на );

развиваме k по k-тия стълб:


k = b1 . A1k + b2 . A2k + … + bn . Ank   . xk = k
Следствие от системата (1) е следната система:
. x1 = 1

(2)  . x2 = 2

...

 . xn = n


Нека   0; тогава (2) има единствено решение:

x1 = 1/; x2 = 2/; …; xn = n/


Тъй като системата (2) е следствие от (1), то трябва да направим проверка – заместваме x1, x2,…, xn в (1):
Разглеждаме i-тото уравнение (1  i  n);
ai1 . x1 + ai2 . x2 + … + ain . xn = bi, т.е.


k=1



n
 aik . xk = bi;


n


x
j=1
k = k/ = 1/ . ( b1 . A1k + b2 . A2k + … + bn . Ank ) = 1/ .  bj . Ajk;
Заместваме:


n


k=1

k=1


n

j=1

n

n

n


k=1

n

j=1

j=1

k=1
 aik . 1/ .  bj . Ajk = 1/
k=1

n

j=1
.   aik . bj. Ajk = 1/ .  bj  aik . Ajk =


n


n

=
j=1



j=1
1/ .  bj . ij .  =  bj . ij = bi
 x1, x2, …, xn удоволетворяват системата (1) и са единствени
Ако b1 = b2 = … = bn = 0, тогава (1) се нарича хомогенна. Очевидно едно нейно решение е x1 = x2 = … = xn = 0; от формулите на Крамер  това решение е единствено при   0

29 октомври




4. Умножение на детерминанти.

Цел: Ако 1 и 2 са детерминанти от ред n, числото 1.2 да се представи като детерминанта от ред n;


Л
n

m
ема
: Нека




а11 а12 ……а1n 0 0 ……. 0


n


a21 a22 ……a2n 0 0 ……. 0

………………… … ………. …

………………… … ………. …

an1 an2 ……ann 0 0 ……. 0

= * * …… * b11 b12 ……b1m


m
* * …… * b21 b22 ……b2m

……………… …………………

……………… …………………

* * …… * bm1 bm2 ……bmm


  Fm+nxm+n; * е произволно число; нулевият блок и блокът с произволните числа могат да си разменят местата;

а11 а12 ……а1n b11 b12 ……b1m

a21 a22 ……a2n b21 b22 ……b2m

Ако 1 = …………………  Fnxn и 2 = …………………  Fmxm

………………… …………………

an1 an2 ……ann bm1 bm2 ……bmm


Tвърдим:  = 1 . 2
Доказателство:

Нека  = |cij| i, j  { 1, 2, …, m+n }

Тогава:

aij, при i  n, j  n




cij =
0 , при i  n, j > n

* , при i > n, j  n

bi-n, j-n, при i > n, j > n
 =  (-1)[ 1, 2,…, n, n+1, n+2, …n+m ] . c11 . c22 ... cnn . cn+1n+1 . cn+2n+2 … cn+mn+m – сумата е по всички пермутации

1, 2, …, n, n+1, n+2,…, n+m на числата 1, 2, …n, n+1, n+2, …, n+m


Ако за някое k (1  k  n), k > n, то ckk = 0. Тогава разглеждаме само онези членове, за които k  n, за всяко k  { 1, 2, …, n }  1, 2, …, n е пермутация на 1, 2, …, n  n+1, n+2, …, n+m е пермутация на числата n+1, n+2, …n+m;
Нека означим 1 = n+1 – n; 2 = n+2 – n; …; m = n+m – n; 

1, 2, …, m е пермутация на числата 1, 2, …, m;


c11 = a11 ; c22 = a22; …; cnn = ann ( k  n, за всяко k  { 1, 2, …, n } )

cn+1n+1 = bn+1– n, n+1 – n = b11 ; cn+2n+2 = bn+2– n, n+2 – n = b22 ; …;

cn+mn+ m = bn+m– n, n+ m – n = bmm ;

( l > n, за всяко l  { n+1, n+2, …, n+m } )

[ 1, 2, …, n, n+1, n+2, …, n+m ] = [ 1, 2, …, n ] +

[ n+1, n+2, …, n+m ], тъй като k  n за всяко k  { 1, 2, …, n } и l > n

за всяко l  { n+1, n+2, …, n+m }, т.е. k и l не образуват инверсия; Oсвен това:

[ 1, 2, …, n ] + [ n+1, n+2,…, n+m ] = [ 1, 2, …, n ] + [ 1, 2,…, m ],

тъй като i e получено от n+i с изваждане на фиксирано число

(за всяко i  { 1, 2, …, m } )

  =  (-1)[ 1, 2,…, n] +[ 1, 2, …m ] . a11 . a22 ... ann . b11 . b22 … bmm =

 (-1)[ 1, 2,…, n] . a11 . a22 ... ann . (-1)[ 1, 2, …m ] . b11 . b22 … bmm – сумирането е по всички пермутации 1, 2, …, n на числата

{ 1, 2, …, n } и по всички пермутации 1, 2, …, n на числата

{ 1, 2, …, m } 

 =  (-1)[ 1, 2,…, n] . a11 . a22 ... ann .  (-1)[ 1, 2, …m ] . b11 . b22 … bmm

  = 1 . 2


Теорема: Нека

а11 а12 ……а1n b11 b12 ……b1n

a21 a22 ……a2n b21 b22 ……b2n

1 = …………………  Fnxn и 2 = …………………  Fnxn;

………………… …………………

an1 an2 ……ann bn1 bn2 ……bnn


Тогава 1 . 2 = , където  е детерминанта от ред n;

 = |cij|; i, j  { 1, 2, … n }, cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + … + ain . bnj;

т
n
.е. cij се получава като умножим почленно i-тият ред на 1 с j-тия стълб на 2 и съберем получените произведения; това правило се нарича още “ред” x “стълб”

(
k=1


1) cij =  aik . bkj
Вярно е:

(2) cij = ai1 . bj1 + ai2 . bj2 + … + ain . bjn; това правило се нарича “ред” x “ред”; това е така, тъй като можем да вземем транспонираната матрица на (bij) и по този начин запазваме стойността на 2 и не променяме крайния резултат;

Аналогично са вярни:

(3) cij = a1i . b1j + a2i . b2j + … + ani . bnj; това правило се нарича

“стълб” x “стълб”;

(4) cij = a1i . bj1 + a2i . bj2 + … + ani . bjn; това правило се нарича

“стълб” x “ред”;
Доказателство на теоремата:
Нека

n

n





а11 а12 ……а1n 0 0 ……. 0


n


a21 a22 ……a2n 0 0 ……. 0

………………… … ………. …

………………… … ………. …

an1 an2 ……ann 0 0 ……. 0

D = -1 0 …… 0 b11 b12 ……b1n


n
0 -1 …… 0 b21 b22 ……b2n

……………….. …………………

……………….. …………………

0 0 …… -1 bn1 bn2 ……bnn


От лемата  D = 1 . 2 (1)

Преобразуваме : за всяко i (1  i  n) към i-тия ред прибавяме

(n+1)-ви умножен с аi1, (n+2)-ри умножен с аi2, ..., (2n)-ти

умножен с аin; при това D не променя стойността си;

Получаваме:

0 0 …… 0 d11 d12 ……d1n

0 0 …… 0 d21 d22 ……d2n



………………. …………………

………………. …………………

0 0 …… 0 dn1 dn2 ……dnn ; dij = ai1.b1j + … + ain.bnj, т.е.

D = -1 0 …… 0 b11 b12 ……b1n dij = cij за всяко i, j  { 1, 2, …, n }

0 -1 …… 0 b21 b22 ……b2n

……………….. …………………

……………….. …………………

0 0 …… -1 bn1 bn2 ……bnn


След това разменяме последователно 1-ви стълб и (n+1)-ви стълб,

2-ри стълб и (n+2)-ри стълб и т.н. n-ти стълб и (2n)-ти стълб; направили сме общо n размествания; при това D сменя знака си точно n пъти;

Получаваме:

c11 c12 ……c1n 0 0 …… 0

c21 c22 ……c2n 0 0 …… 0



………………… …………………

………………… …………………

cn1 cn2 ……cnn 0 0 …… 0

D = b11 b12 ……b1n –1 0 …… 0 . (-1)n

b21 b22 ……b2n 0 –1 …… 0

……………….. …………………



……………….. …………………

bn1 bn2 ……bnn 0 0 … … –1


Прилагаме лемата:

c11 c12 ……c1n -1 0 …… 0

c21 c22 ……c2n 0 -1 …… 0

D = (-1)n ………………… . …………………  D = (-1)n .  . (-1)n =  (2)

………………… …………………

cn1 cn2 ……cnn 0 0 … … -1


от (1) и (2)   = 1 . 2




Сподели с приятели:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница