Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

5 ноември

Транспониране

Ако A = (a_ij)  Fm_xn, транспонираната матрица на А е

A^t = (a_ij)  Fn_xm, където a_ij = a_ji за всяко i и j.
Транспонирането е външна операция – тя не е между матрици;
Свойства:

1. 
   (А^t)^t = A;
   
2. 
   (.A)^t = .A^t (за всяко   F );
   
3. 
   (A + B)^t = A^t + B^t ( A, B  Fm_xn );
   
4. 
   (A.B)^t = B^t.A^t ( ако съществува A.B );
   

Проверка на 4 (при m=n):

n

Н
k=1

C
k=1

B^t = (b_ij); b_ij = b_ji;

A
n

n
^t = (a_ij); a_ij = a_ji;

D
k=1

Нека n  N; означаваме:

1 0 …… 0

0 1 …… 0

Е = ……………  Fn_xn;

……………

0 0 …… 1

В съкратен вид: E = (_ij)n_xn;

Ако   F; .Е се нарича скаларна матрица;

За всяко A  Fn_xn e в сила .А = (.Е).А – по този начин операцията умножение на матрица с число може да се реализира като умножение на две матрици от тип Fn_xn;
Нека A  Fn_xn; A e oбратима, ако съществува A^-1  Fn_xn, такава че

А.А^-1 = А^-1.А = Е; А^-1 наричаме обратна матрица на А;

detA^-1 = 1/detA;

Нека X  Fn_xn и X.A = E  A^-1 = E.A^-1 = (X.A).A^-1 = X.(A.A^-1) = X.E = X 

A^-1 е единствена;
Ще покажем, че detA  0 е достатъчно условие за обратимост на А;

Н
k=1

_k = _1j.A_1k + _2j.A_2k …+ _jj.A_jk + … + _nj.A_nk = A_jk; това адюнгирано количество от _k e същото като в , тъй като не съдържа елементи от k-ти стълб  x_kj = A_jk/, k = 1, 2, …, n

A₁₁ A₂₁ ……A_n1

A₁₂ A₂₂ ……A_n2

A^-1 =1/ …………………  Fn_xn

…………………

A_1n A_2n ……A_nn

n

=
k=1

А^-1 е единствена и се задава по следния начин:

A₁₁ A₂₁ ……A_n1

A₁₂ A₂₂ ……A_n2

A^-1 =1/ …………………  Fn_xn

…………………

A_1n A_2n ……A_nn

a₂₁ a₂₂

A₁₂ A₂₂ , т.е.

-a₂₁ a₁₁

1. 
   (A^-1)^-1 = A;
   
2. 
   A, B – неособени  A.B обратима; (A.B)^-1 = B^-1.A^-1;
   

(A.B) . (B^-1.A^-1) = A. (B.B^-1) . A^-1 = (A.E).A^-1 = A.A^-1 = E 

B^-1.A^-1 е обратната матрица на A.B (тя е единствена);
Нека A, B  Fn_xn, detA  0;

Уравнението А.X = B ( X  Fn_xn) има единствено решение

X = A^-1.B и то се нарича ляво частно на B и A;

доказателство:

A.X = B  A^-1.A.X = A^-1.B  E.X = A^-1.B  X = A^-1.B
Уравнението Y.А = B ( Y  Fn_xn) има единствено решение

Y = B.A^-1 и то се нарича дясно частно на B и A;

доказателство:

Y.A = B  Y.A.A^-1 = B.A^-1  Y.E = B.A^-1  Y = B.A^-1

Дефинираме A^k = A . A … A

k пъти

Дефинираме A⁰ = E

1. 
   A^k.A^l = A^k+l;
   
2. 
   (A^k)^l = A^{k .l};
   

Ако A e неособена, k  N;

Дефинираме A^-k = (A^-1)^k = (A^k)^-1;
При неособени матрици говорим за A^k за всяко k  Z;

равенствата 1. и 2. остават в сила за k, l  Z;